習(xí)題課 綜合法和分析法明目標(biāo)、知重點(diǎn)加深對(duì)綜合法、分析法的理解，應(yīng)用兩種方法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題1綜合法綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法綜合法的證明步驟用符號(hào)表示是：P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論)2分析法分析法是指從需證的問(wèn)題出發(fā)，分析出使這個(gè)問(wèn)題成立的充分條件，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定那些條件是否具備，其特點(diǎn)可以描述為“執(zhí)果索因”，即從未知看需知，逐步靠攏已知分析法的書(shū)寫形式一般為“因?yàn)?，為了證明，只需證明，即，因此，只需證明，因?yàn)槌闪?，所以，結(jié)論成立”分析法的證明步驟用符號(hào)表示是：P0(已知)Pn2Pn1Pn(結(jié)論)分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過(guò)程步步可逆題型一選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明不等式例1設(shè)a，b，c為任意三角形三邊長(zhǎng)，Iabc，Sabbcca，試證：3SI2<4S.證明I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S.欲證3SI2<4S，即證abbccaa2b2c2<2ab2bc2ca.先證明abbccaa2b2c2，只需證2a22b22c22ab2bc2ca，即(ab)2(ac)2(bc)20，顯然成立；再證明a2b2c2<2ab2bc2ca，只需證a2abacb2abbcc2bcca<0，即a(abc)b(bac)c(cba)<0，只需證a<bc，且b<ca，且c<ba，由于a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，上述三式顯然成立，故有3SI2<4S.反思與感悟本題要證明的結(jié)論要先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以使用分析法對(duì)于連續(xù)不等式的證明，可以分段來(lái)證，使證明過(guò)程層次清晰證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個(gè)：(1)a20(aR)(2)(ab)20(a、bR)，其變形有a2b22ab，()2ab，a2b2.(3)若a，b(0，)，則，特別地2.(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)跟蹤訓(xùn)練1已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：4.證明方法一a，b是正數(shù)且ab1，ab2，4.方法二a，b是正數(shù)，ab2>0，2>0，(ab)()4.又ab1，4.方法三1122 4.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”號(hào)題型二選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明等式例2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊為a，b，c，求證：.證明要證原式，只需證3，即證1，即只需證1，而由題意知AC2B，B，b2a2c2ac，1，原等式成立，即.反思與感悟綜合法推理清晰，易于書(shū)寫，分析法從結(jié)論入手易于尋找解題思路在實(shí)際證明命題時(shí)，常把分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證跟蹤訓(xùn)練2設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，試證：2.證明由已知條件得b2ac，2xab,2ybc.要證2，只要證aycx2xy，只要證2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命題得證題型三立體幾何中位置關(guān)系的證明例3如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)(1)證明：CDAE；(2)證明：PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA，E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，ABPD，又ABAEA，綜上得PD平面ABE.反思與感悟綜合法證明線面之間的垂直關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，利用垂直的判定定理和性質(zhì)定理可以進(jìn)行線線、線面以及面面之間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化另外，利用一些常見(jiàn)的結(jié)論還常常可以將線面間的垂直與平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化比如：兩條平行線中一條垂直于平面，則另外一條也垂直于平面；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行等跟蹤訓(xùn)練3如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1. (1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE.證明(1)如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋FAG，且EF1，AGAC1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG.因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)連接FG.因?yàn)镋FCG，EFCG1，且CE1，所以四邊形CEFG為菱形所以CFEG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BDAC.又因?yàn)槠矫鍭CEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知2分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)5