8.1.1向量數(shù)量積的概念學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義(難點(diǎn))2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系(重點(diǎn))3.會(huì)運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直(重點(diǎn)，難點(diǎn))1.通過(guò)物理學(xué)中力對(duì)物體做功引出向量的數(shù)量積概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)2.利用向量的投影領(lǐng)會(huì)向量的數(shù)量積的幾何意義，提高學(xué)生幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.兩個(gè)向量的夾角給定兩個(gè)非零向量a，b，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，作a，b，則稱0，內(nèi)的AOB為向量a與向量b的夾角，記作a，b(1)兩個(gè)向量夾角的取值范圍是0，且a，bb，a(2)當(dāng)a，b時(shí)，稱向量a與向量b垂直，記作ab.2.向量數(shù)量積的定義一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱|a|b|cosa，b為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，即a·b|a|b|·cosa，b(1)當(dāng)a，b時(shí)，a·b>0; 當(dāng)a，b時(shí)，a·b0；當(dāng)a，b時(shí)，a· b<0.(2)兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積的性質(zhì)：不等式|a·b| |a|b|恒等式a·aa2|a|2，即|a|向量垂直的充要條件ab a·b03.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(1)給定平面上的一個(gè)非零向量b，設(shè)b所在的直線為l，則向量a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影(2)一般地，如果a，b都是非零向量，則|a|cos a，b為向量a在向量b上的投影的數(shù)量(3)兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積這就是兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義1.已知|a|3，向量a與b的夾角為，則a在b方向上的投影為()ABCDD向量a在b方向上的投影為|a|cosa，b3×cos .故選D2.在ABC中，a，b，且b·a0，則ABC是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D無(wú)法確定C在ABC中，因?yàn)閎·a0，所以ba，故ABC為直角三角形3.如圖，在ABC中，的夾角與，的夾角的關(guān)系為_(kāi)互補(bǔ)根據(jù)向量夾角定義可知向量，夾角為BAC，而向量，夾角為BAC，故二者互補(bǔ)4如圖所示，一個(gè)大小為5 N，與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車(chē)上，小車(chē)沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車(chē)受到的阻力大小為3 N，方向水平向左小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)的距離為2 m的過(guò)程中，小車(chē)受到的各個(gè)力都沒(méi)有發(fā)生變化求在此過(guò)程中：拉力F對(duì)小車(chē)做的功(取cos37°0.8)為_(kāi)小車(chē)克服阻力做的功為_(kāi)8 J6 J拉力F對(duì)小車(chē)做的功WFFScos 5×2×0.8 J8 J，小車(chē)克服阻力做的功為W克fWf3×2 J6 J 平面向量的夾角【例1】(1)(2019·東營(yíng)高一檢測(cè))已知向量|a|2，|b|，且a·b3，則a，b()ABCD (2)已知ABC中， AB4，BC2，·4，則向量與的夾角為_(kāi)， 向量與的夾角為_(kāi)思路探究(1)由平面向量的夾角公式計(jì)算夾角的余弦值再求角(2)先由向量的數(shù)量積公式計(jì)算B，再由平面幾何性質(zhì)計(jì)算ACB，BAC，最后求向量的夾角(1)D(2)90°150° (1)因?yàn)橄蛄縷a|2，|b|，且a·b3，所以cos a，b，又a，b0, ，所以a，b.(2)在ABC中，因?yàn)锳B4，BC2，·4，所以|cos ，4，得4×2cos(B)4，所以cos B，得B60°.如圖，延長(zhǎng)BC到D，使CDBC，則ABD為等邊三角形，所以ACBC，BAC30°，所以向量與的夾角為90°，與的夾角為150°.求平面向量的夾角的方法技巧(1)已知平面向量的長(zhǎng)度和數(shù)量積，利用夾角余弦公式計(jì)算cos a，b，若是特殊角，再求向量的夾角.(2)在ABC中，注意三角形的內(nèi)角與平面向量的夾角的區(qū)別和聯(lián)系，常常利用幾何圖形確定是“相等”還是“互補(bǔ)”的關(guān)系.1.若兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于1，則這兩個(gè)單位向量的夾角為()A0 B C DD設(shè)兩個(gè)單位向量分別為e1，e2，則e1·e2cos e1，e21，由于e1，e20, ，所以e1，e2.2.已知a是單位向量，且3a·b|b|，則sina，b_.因?yàn)閍是單位向量，且3a·b|b|，則3|a|b|cos a，b|b|，得cos a，b， 又sin2a，bcos 2a，b1，得sin2a，b.又0a，b，得sina，b.與向量數(shù)量積有關(guān)的概念【例2】(1)以下四種說(shuō)法中正確的是_(填序號(hào))如果a·b0，則a0或b0；如果向量a與b滿足a·b<0，則a與b所成的角為鈍角；ABC中，如果·0，那么ABC為直角三角形；如果向量a與b是兩個(gè)單位向量，則a2b2.(2)已知等腰ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，則·_.思路探究根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及投影的定義解答(1)(2)8(1)由數(shù)量積的定義知a·b|a|b|·cos (為向量a，b的夾角)若a·b0，則90°或a0或b0，故錯(cuò)；若a·b<0，則為鈍角或180°，故錯(cuò)；由·0知B90°，故ABC為直角三角形，故正確；由a2|a|21，b2|b|21，故正確(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADBC，垂足為D因?yàn)锳BAC，所以BDBC2，于是|cosABC|×42，所以·|cosABC4×28.1.在書(shū)寫(xiě)數(shù)量積時(shí)，a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫(xiě)2.求平面向量數(shù)量積的方法：(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.3.給出下列判斷：若a2b20，則ab0；已知a，b，c是三個(gè)非零向量，若ab0，則|a·c|b·c|；a，b共線a·b|a|b|；|a|b|<a·b；a·a·a|a|3；a2b22a·b；向量a，b滿足：a·b>0，則a與b的夾角為銳角；若a，b的夾角為，則|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影長(zhǎng)其中正確的是_(填序號(hào))由于a20，b20，所以，若a2b20，則ab0，故正確；若ab0，則ab，又a，b，c是三個(gè)非零向量，所以a·cb·c，所以|a·c|b·c|，故正確；a，b共線a·b±|a|b|，所以不正確；對(duì)于應(yīng)有|a|b|a·b，所以不正確；對(duì)于，應(yīng)該是a·a·a|a|2a，所以不正確；a2b22|a|b|2a·b，故正確；當(dāng)a與b的夾角為0°時(shí)，也有a·b>0，因此錯(cuò)；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的正投影的數(shù)量，而非投影長(zhǎng)，故錯(cuò)綜上可知正確平面向量數(shù)量積的幾何意義【例3】(1)(2019·永州高一檢測(cè))已知向量b的模為1，且b在a方向上的投影的數(shù)量為，則a與b的夾角為()A30°B60° C120°D150°(2)已知平面向量|a|2，|b|6且a·b4，則a在b上投影的數(shù)量為_(kāi)，b在a上投影的數(shù)量為_(kāi)思路探究(1)向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos a，b，再求向量的夾角(2)先由平面向量數(shù)量積的公式計(jì)算cos a，b，再計(jì)算投影的數(shù)量(1)A(2)2(1)因?yàn)橄蛄縝的模為1.且b在a方向上的投影的數(shù)量為，則|b|cos a，b，得cos a，b，因?yàn)閍，b0, ，所以a，b30°.(2)因?yàn)槠矫嫦蛄縷a|2，|b|6且a·b4，所以|a|b|cos a，b4，得cos a，b.所以a在b上投影的數(shù)量為|a|cos a，b，b在a上投影的數(shù)量為|b|cos a，b2.關(guān)于平面向量數(shù)量積的幾何意義的兩點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)向量a在b所在直線上的投影是一個(gè)向量，向量a在b所在直線上的投影的數(shù)量是一個(gè)實(shí)數(shù).(2)向量a在向量b上的投影的數(shù)量是|a|cos a，b，向量b在向量a上的投影的數(shù)量是|b|cosa，b，二者不能混為一談.4(2019·青島高一檢測(cè))如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長(zhǎng)度為2，則 ·的值為()ArB2r C1D2D如圖，作AB的中點(diǎn)H，連接CH，則向量在方向上的投影的數(shù)量為AH|cos CAB，所以·|cos CAB|2.5已知向量a在向量b上的投影的數(shù)量是2，|b|3，則a·b_.6因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影的數(shù)量是2，|b|3，則a·b|a|b|cos a，b(|a|cos a，b)|b|2×36.1.對(duì)正投影的三點(diǎn)詮釋(1)a·b等于|a|與b在a方向上的正投影的乘積，也等于|b|與a在b方向上的正投影的乘積其中a在b方向上的正投影與b在a方向上的正投影是不同的(2)b在a方向上的正投影為|b|cos (是a與b的夾角)，也可以寫(xiě)成 .(3)正投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零2.知識(shí)導(dǎo)圖向量數(shù)量積1.已知平面向量|a|2，|b|3，a，b，則a·b()A2B3C6D0B因?yàn)閨a|2，|b|3，a，b，則a·b|a|b|cos 2×3×3.2.已知平面向量|a|1，|b|2，則a2b2()A2B3 C5D5C因?yàn)閨a|1，|b|2，所以a2b2|a|2|b|25.3.已知向量|a|6，|b|2，向量a，b的夾角為120°，則向量a在b上的投影的數(shù)量為()A1B3 C1D3D根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，向量a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos 120°6×3.4已知等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD和AC的夾角為_(kāi)，和的夾角為_(kāi)45°135°等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CDAB, CD和AC的夾角為45°，和的夾角為135°.8