2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1. 理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理(重點)2.能應(yīng)用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題(重點、難點)3.理解平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化(易錯點)1.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的性質(zhì)，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線思考：過一點有幾條直線與已知平面垂直？提示有且僅有一條假設(shè)過一點有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行，應(yīng)無公共點，這與過同一點相矛盾，故只有一條直線2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直 作面的垂線思考：如果，則內(nèi)的直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？提示正確若設(shè)l，a，b，bl，則ab，故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線1直線n平面，nl，直線m，則l、m的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直D由題意可知l，所以lm.2若平面平面，平面平面，則()A BC與相交但不垂直 D以上都有可能D可能平行，也可能相交如圖，與平行，與垂直3已知直線a，b，平面，且a，下列條件中，能推出ab的是()Ab BbCb Db與相交C由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b，a時，ab.4平面平面，直線l，直線m，則直線l，m的位置關(guān)系是_相交、平行或異面根據(jù)題意，l，m可能相交、平行或異面線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN平面A1DC.求證：MNAD1.證明因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1A1D.又因為CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因為A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因為MN平面A1DC，所以MNAD1.證明線線平行常用如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.1如圖，已知平面平面l，EA，垂足為A，EB，直線a，aAB.求證：al.證明因為EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因為EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得al.面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖，在三棱錐P­ABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作ADPB于點D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.1證明或判定線面垂直的常用方法：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若ab，a，則b(a、b為直線，為平面)；(4)若a，則a(a為直線，為平面)；2兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線2如圖，四棱錐V­ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求證：平面VBC平面VAC.證明面VAB面ABCD，且BCAB，面VAB面ABCDAB，BC平面ABCD.BC面VAB，又VA平面VAB，BCVA，又VB面VAD，VBVA，又VBBCB，VA面VBC，VA面VAC，平面VBC平面VAC.線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用探究問題試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系提示垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：【例3】如圖所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中點，求證：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.思路探究：(1)設(shè)出BD，分別求出DE、DA的長度或證明DMAE，即證DM為AE的中垂線即可(2)(3)只需證明DM平面ECA即可證明(1)設(shè)BDa，如圖，作DFBC交CE于F，則CFDBa.因為CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因為DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MNCEDB. 所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MDBN.又因為EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M為EA的中點，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.本例條件不變，試求平面ADE與平面ABC所成二面角的大小解如圖延長ED交CB延長線于點N，連接AN，設(shè)BDa，由例題知，CEACBCAB2a，在CEN中，由知B為CN中點，CBBN2a.ABN中，ABN120°，BANBNA30°，CAN90°，即NACA.又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，NAAE，NAAC，且AN為平面ADE與平面ABC的交線CAE為平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45°.所以平面ADE與平面ABC所成二面角為45°.垂直關(guān)系的互化及解題策略：空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則，解題時，要抓住幾何圖形自身的特點，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等.還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題.1線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)2面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1直線a與直線b垂直，直線b平面，則直線a與平面的位置關(guān)系是()AaBaCa Da或aDab，b，則a或a.選D.2已知l平面，直線m平面.有下面四個命題：lm；lm；lm；lm.其中正確的兩個命題是()A B C DDl，l，m，lm，故正確；lm，l，m，又m，故正確3如圖所示，三棱錐P­ABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，則()APD平面ABCBPD平面ABCCPD與平面ABC相交但不垂直DPD平面ABCBPAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.4如圖所示，在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.證明因為底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因為BC平面SBC.所以平面SCD平面SBC.- 8 -