《2019-2020學年高中數(shù)學 第2講 證明不等式的基本方法 3 反證法與放縮法學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學年高中數(shù)學 第2講 證明不等式的基本方法 3 反證法與放縮法學案 新人教A版選修4-5（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、三　反證法與放縮法 學習目標：1.掌握用反證法證明不等式的方法．(重點)2.了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式．(難點、易錯易混點) 教材整理1　反證法 閱讀教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列問題． 先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把這種證明問題的方法稱為反證法． 如果兩個正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個數(shù)(　　) A．兩個都是偶數(shù) B．一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù) C．至少一個是偶

2、數(shù) D．恰有一個是偶數(shù) C　[假設(shè)這兩個數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，所以這兩個數(shù)至少有一個為偶數(shù)．] 教材整理2　放縮法 閱讀教材P28～P29“習題”以上部分，完成下列問題． 證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． 若|a－c|＜h，|b－c|＜h，則下列不等式一定成立的是(　　) A．|a－b|＜2h　　　　 B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D．|a－b|＞h A　[|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.] 利用反證法證

3、“至多”“至少”型命題 【例1】　已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. [精彩點撥]　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論． (2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論． [自主解答]　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*) 又

4、|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2， ∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2與(*)矛盾，∴假設(shè)不成立． 故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 1．在證明中含有“至多”“至少”等字眼時，常使用反證法證明．在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設(shè)不成立． 2．在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾． 1．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，a

5、c＋bd＞1.求證：a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù)． [證明]　a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù)，即至少有一個是負數(shù)，故有假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 這與已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假設(shè)錯誤， 故a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 即a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù). 利用放縮法證明不等式 【例2】　已知an＝2n2，n∈N*，求證：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. [精彩點撥]　針對不等式的特點，對其通項進行放縮、列項． [自主解答]　∵當n≥

6、2時，an＝2n2＞2n(n－1)， ∴＝＜＝·＝， ∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋ ＝1＋ ＝1＋＝－＜， 即＋＋…＋＜. 1．放縮法在不等式的證明中無處不在，主要是根據(jù)不等式的傳遞性進行變換． 2．放縮法技巧性較強，放大或縮小時注意要適當，必須目標明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，否則，會出現(xiàn)錯誤結(jié)論，達不到預期目的，謹慎地添或減是放縮法的基本策略． 2．求證：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)． [證明]　∵k2＞k(k－1)， ∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)． 分別令k＝2,3，…，n得 ＜＝1－，＜＝－，…， ＜＝－. 因此1＋＋＋

7、…＋ ＜1＋＋＋…＋ ＝1＋1－＝2－. 故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋). 利用反證法證明不等式 [探究問題] 1．反證法的一般步驟是什么？ [提示]　證明的步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)從否定結(jié)論進行推理，導出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 2．反證法證題時常見數(shù)學語言的否定形式是怎樣的？ [提示]　常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設(shè)有： 常見詞語 至少有一個 至多有一個 唯一一個 是 有或存在 全 都是 否定假設(shè) 一個也沒有 有兩個或兩個以上 沒有或有兩個或兩個以上 不是 不存在 不全 不都是

8、【例3】　已知△ABC的三邊長a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B＜90°. [精彩點撥]　本題中的條件是三邊間的關(guān)系＝＋，而要證明的是∠B與90°的大小關(guān)系．結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯，考慮用反證法證明． [自主解答]　∵a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，∴＝＋.假設(shè)∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，則∠B是三角形的最大內(nèi)角，在三角形中，有大角對大邊， ∴b＞a＞0，b＞c＞0， ∴＜，＜， ∴＜＋， 這與＝＋相矛盾． ∴假設(shè)不成立，故∠B＜90°成立． 1．本題中從否定結(jié)論進行推理，即把結(jié)論的反面“∠B≥90°”作為條件進行推證是關(guān)鍵．要注意否定方法，“＞”否定為“≤”，

9、“＜”否定為“≥”等． 2．利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件通過正確推理，推出和已知條件或定理事實或假設(shè)相矛盾的結(jié)論． 3．若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2. [證明]　法一　假設(shè)a＋b>2， a2－ab＋b2＝＋b2≥0， 故取等號的條件為a＝b＝0，顯然不成立， ∴a2－ab＋b2>0. 則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)， 而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1， ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，從而ab<1， ∴a2＋b2<1＋ab<2， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4， ∴a＋b<2. 這

10、與假設(shè)矛盾，故a＋b≤2. 法二　假設(shè)a＋b>2，則a>2－b， 故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3， 即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0， 這顯然不成立，從而a＋b≤2. 法三　假設(shè)a＋b>2，則(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8. 由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2. 又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， ∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)， ∴a2－ab＋b2

11、b，c均不為0 B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0 C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0 D　[實數(shù)a，b，c不全為0的含義即a，b，c中至少有一個不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D.] 2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反證法求證a＞0，b＞0，c＞0時的假設(shè)為(　　) A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0　 B．a(chǎn)≤0，b＞0，c＞0 C．a(chǎn)，b，c不全是正數(shù) D．a(chǎn)bc＜0 C　[a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正數(shù)，故選C.] 3．要證明＋＜2，下列證明方法中，最為合理的是(　　) A．綜合法 B．放縮法 C．分析法 D．反證法 C　[由分析法的證明過程可知選C.] 4．A＝1＋＋＋…＋與(n∈N＋)的大小關(guān)系是________． [解析]　A＝＋＋＋…＋≥＝＝. [答案]　A≥ 5．若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2.求證：<2和<2中至少有一個成立． [證明]　假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時成立，因為x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一個成立． - 7 -