第1講函數(shù)圖象與性質(zhì)高考定位1.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值、奇偶性、單調(diào)性和周期性；2.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)，能用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；3.函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是高考的重要思想方法.真 題 感 悟1.(2018·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)的圖象大致為()解析f(x)為奇函數(shù)，排除A；當(dāng)x>0時(shí)，f(1)e>2，排除C，D，只有B項(xiàng)滿(mǎn)足.答案B2.(2018·全國(guó)卷)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50解析法一f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，且f(1x)f(1x)，f(4x)f(x)，f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4，又f(0)0，知f(2)f(0)，f(4)f(0)0，由f(1)2，知f(1)2，則f(3)f(1)2，從而f(1)f(2)f(3)f(4)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)12×0f(49)f(50)f(1)f(2)2，故選C.法二由題意可設(shè)f(x)2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)12×0f(1)f(2)2.答案C3.(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xln(2x)，則()A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減C.yf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)解析由題意知，f(x)ln xln(2x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，C正確，D錯(cuò)誤.答案C4.(2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)(xR)，且在區(qū)間(2，2上，f(x)則ff(15)的值為_(kāi).解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)(xR)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為4.又因?yàn)樵趨^(qū)間(2，2上，f(x)所以ff(15)ff(1)f cos .答案考 點(diǎn) 整 合1.函數(shù)的圖象(1)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點(diǎn)時(shí)，要注意結(jié)合其圖象研究.(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性若函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng)；若函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng).2.函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號(hào)和下結(jié)論.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.(2)奇偶性：若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x).若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)0.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.(3)周期性：若yf(x)對(duì)xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a>0)恒成立，則yf(x)是周期為2a的周期函數(shù).若yf(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù).若yf(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù).若f(xa)f(x)，則yf(x)是周期為2|a|的周期函數(shù).易錯(cuò)提醒錯(cuò)用集合運(yùn)算符號(hào)致誤：函數(shù)的多個(gè)單調(diào)區(qū)間若不連續(xù)，不能用符號(hào)“”連接，可用“和”或“，”連接.熱點(diǎn)一函數(shù)及其表示【例1】 (1)函數(shù)y的定義域?yàn)?)A.(，1B.1，1C.D.(2)(2018·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿(mǎn)足f(x1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析(1)函數(shù)有意義，則即所以函數(shù)的定義域?yàn)?(2)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)2x是減函數(shù)，則f(x)f(0)1.作出f(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使f(x1)f(2x)，則需或所以x<0.答案(1)C(2)D探究提高1.(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合，只需構(gòu)建不等式(組)求解即可.(2)抽象函數(shù)：根據(jù)f(g(x)中g(shù)(x)的范圍與f(x)中x的范圍相同求解.2.對(duì)于分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解；形如f(g(x)的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)函數(shù)y的定義域?yàn)锳，函數(shù)yln(1x)的定義域?yàn)锽，則AB()A.(1，2) B.(1，2 C.(2，1) D.2，1)(2)(2018·鄭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x) 且f(a)2.則f(14a)_.解析(1)由4x20得2x2，A2，2，由1x0得x1，B(，1).AB2，1).(2)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)2x1>0，由f(a)2，知log2(a1)22，a15.故f(14a)f(1)2111.答案(1)D(2)1熱點(diǎn)二函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函數(shù)y2|x|sin 2x的圖象可能是()(2)(2018·合肥調(diào)研)已知函數(shù)f(x) 若f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范圍為(1，8)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi).解析(1)設(shè)f(x)2|x|sin 2x，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(x)2|x|·sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)A，B；令f(x)0，則sin 2x0，所以x(kZ)，故排除選項(xiàng)C.故選D.(2)作出f(x)的圖象，如圖所示，可令x1<x2<x3，則由圖知點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，所以x1x21.又因?yàn)?<x1x2x3<8，所以2<x3<9.結(jié)合圖象可知A點(diǎn)坐標(biāo)為(9，3)，代入函數(shù)解析式得3log2(9m)，解得m1.答案(1)D(2)1探究提高1.已知函數(shù)的解析式，判斷其圖象的關(guān)鍵是由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，以及函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)，根據(jù)這些性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行具體分析判斷.2.(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.【訓(xùn)練2】 (1)(2017·全國(guó)卷)函數(shù)y1x的部分圖象大致為()(2)(2018·貴陽(yáng)質(zhì)檢)已知f(x)2x1，g(x)1x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)|f(x)|；當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)g(x)，則h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，無(wú)最小值C.有最小值1，無(wú)最大值D.有最大值1，無(wú)最小值解析(1)法一易知g(x)x為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以y1x的圖象只需把g(x)的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，選項(xiàng)D滿(mǎn)足.法二當(dāng)x1時(shí)，f(1)11sin 12sin 1>2，排除A，C.又當(dāng)x時(shí)，y，B項(xiàng)不滿(mǎn)足，D滿(mǎn)足.(2)畫(huà)出y|f(x)|2x1|與yg(x)1x2的圖象，它們交于A，B兩點(diǎn).由“規(guī)定”，在A，B兩側(cè)，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|<g(x)，故h(x)g(x).綜上可知，yh(x)的圖象是圖中的實(shí)線(xiàn)部分，因此h(x)有最小值1，無(wú)最大值.答案(1)D(2)C熱點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用考法1函數(shù)的奇偶性、周期性【例31】 (1)(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln(x)1，f(a)4，則f(a)_.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2).若當(dāng)x3，0時(shí)，f(x)6x，則f(919)_.解析(1)設(shè)g(x)f(x)1ln(x)，則g(x)為奇函數(shù).由f(a)4，知g(a)f(a)13.g(a)3，則f(a)1g(a)2.(2)f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，則T6是f(x)的周期.f(919)f(153×61)f(1)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，f(1)f(1)6(1)6，即f(919)6.答案(1)2(2)6考法2函數(shù)的單調(diào)性與最值【例32】 (1)(2018·湖北名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足f(32a1)f()，則a的最大值是()A.1 B. C. D.(2)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a解析(1)f(x)在R上是偶函數(shù)，且在(，0)上是增函數(shù)，f(x)在(0，)上是減函數(shù)，由f(32a1)f()f()，32a1，則2a1，a.故a的最大值是.(2)法一易知g(x)xf(x)在R上為偶函數(shù)，奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b.法二(特殊化)取f(x)x，則g(x)x2為偶函數(shù)且在(0，)上單調(diào)遞增，又3>log25.1>20.8，從而可得c>a>b.答案(1)D(2)C探究提高1.利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.2.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性.【訓(xùn)練3】 (1)(2018·濰坊模擬)若函數(shù)f(x) 為奇函數(shù)，則f(g(3)()A.3 B.2 C.1 D.0(2)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，且f(2)0.若f(x1)>0，則x的取值范圍是_.解析(1)由題意得g(3)f(3)f(3)2log331.因此fg(3)f(1)log3122.(2)由題意知f(x1)>f(2).又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在0，)上單調(diào)遞減，所以f(|x1|)>f(2)，即|x1|<2，解得1<x<3.答案(1)B(2)(1，3)1.解決函數(shù)問(wèn)題忽視函數(shù)的定義域或求錯(cuò)函數(shù)的定義域，如求函數(shù)f(x)的定義域時(shí)，只考慮x>0，忽視ln x0的限制.2.如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有意義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0；若f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)f(x).3.三種作函數(shù)圖象的基本思想方法(1)通過(guò)函數(shù)圖象變換利用已知函數(shù)圖象作圖；(2)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行恒等變換，轉(zhuǎn)化為已知方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)；(3)通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，明確函數(shù)圖象的位置和形狀.4.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心，函數(shù)思想是重要的思想方法，利用函數(shù)思想研究方程(不等式)才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)于給定的函數(shù)若不能直接求解或畫(huà)出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合直觀(guān)求解.一、選擇題1.設(shè)f(x)若f(a)f(a1)，則f()A.2 B.4 C.6 D.8解析由已知得a>0，a1>1，f(a)f(a1)，2(a11)，解得a，f f(4)2(41)6.答案C2.(2018·西安質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的圖象是()解析f(x)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B，由f(x)0，知x0或x±1，選項(xiàng)D滿(mǎn)足.答案D3.(2018·全國(guó)卷)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)yln x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)的是()A.yln(1x) B.yln(2x)C.yln(1x) D.yln(2x)解析法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于直線(xiàn)x1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x，y)，由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)(2x，y)在函數(shù)f(x)ln x的圖象上，所以yln(2x).法二由題意知，對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)(1，0)既在函數(shù)yln x的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn)，排除A，C，D，選B.答案B4.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.abc B.acbC.cab D.cba解析由f(x)2|xm|1是偶函數(shù)可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以c<a<b.答案C5.(2018·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)則ff(x)<2的解集為()A.(1ln 2，) B.(，1ln 2)C.(1ln 2，1) D.(1，1ln 2)解析因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，f(x)x3x2，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)2ex1<2，f(f(x)<2等價(jià)于f(x)<1，即2ex1<1.因此x<1ln 2.答案B6.已知定義在D4，4上的函數(shù)f(x)對(duì)任意xD，存在x1，x2D，使得f(x1)f(x)f(x2)，則|x1x2|的最大值與最小值之和為()A.7 B.8 C.9 D.10解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由任意xD，f(x1)f(x)f(x2)知，f(x1)，f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，由圖可知|x1x2|max8，|x1x2|min1，所以|x1x2|的最大值與最小值之和為9.答案C二、填空題7.(2018·成都診斷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi).解析由題意得：解得x>1.答案x|x>18.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)ax(a>0且a1)，且f(log4)3，則a的值為_(kāi).解析奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(log4)3，而log42<0，f(2)3，即f(2)3，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)ax(a>0且a1)，又2>0，f(2)a23，解之得a.答案9.如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線(xiàn)ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集是_.解析在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)與ylog2(x1)的圖象，如圖所示.根據(jù)圖象，當(dāng)x(1，1時(shí)，yf(x)的圖象在ylog2(x1)圖象的上方.所以不等式的解集為(1，1.答案(1，1三、解答題10.(2018·深圳中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若f(x)為奇函數(shù)，求滿(mǎn)足f(ax)<f(2)的x的范圍.解(1)f(0)aa1.(2)f(x)的定義域?yàn)镽，任取x1，x2R且x1<x2，則f(x1)f(x2)aa，y2x在R上單調(diào)遞增且x1<x2，0<2x1<2x2，2x12x2<0，2x11>0，2x21>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).f(x)在R上單調(diào)遞增.(3)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，即aa，解得a1(或用f(0)0去解).f(ax)<f(2)即為f(x)<f(2)，又f(x)在R上單調(diào)遞增，x<2.11.已知函數(shù)f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)k(x)f(x)h(x)，若函數(shù)k(x)在1，3上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，令f(x)2x0，得x1.當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值為1，無(wú)極大值.(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上單調(diào)遞減，在(2，3上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)k(x)取得最小值k(2)22ln 2a.因?yàn)楹瘮?shù)k(x)f(x)h(x)在區(qū)間1，3上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即有k(x)在1，2)和(2，3內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以即有解得22ln 2<a32ln 3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(22ln 2，32ln 3.12