第六節(jié)幾何概型考綱傳真(教師用書獨具)1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義(對應學生用書第181頁)基礎知識填充1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，與區(qū)域的形狀，位置無關，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個(2)等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性3幾何概型的概率公式P(A).基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(2)從區(qū)間1,10內任取一個數(shù)，取到1的概率是.()(3)概率為0的事件一定是不可能事件()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()答案(1)(2)×(3)×(4)2(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是()AP(A)，P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)>P(C)P(D)>P(B)3已知函數(shù)f(x)x22x3，x1,4，則f(x)為增函數(shù)的概率為()ABCDCf(x)x22x3(x1)24，x1,4，f(x)在1,4上是增函數(shù)f(x)為增函數(shù)的概率為P.4(2017·全國卷)如圖10­6­1，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()圖10­6­1ABCDB不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內切圓的半徑為1，可得S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑S白S圓，所以由幾何概型知所求概率P.故選B5如圖10­6­2所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為_圖10­6­20.18由題意知，0.18.S正1，S陰0.18.(對應學生用書第181頁)與長度(角度)有關的幾何概型(1)(2016·全國卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()ABCD(2)如圖10­6­3所示，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，在DAB內作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為_圖10­6­3(1)B(2)(1)如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P.故選B(2)以A為圓心，以AD1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點P在上任何位置是等可能的，若射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P在上發(fā)生”又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率規(guī)律方法1.與長度有關的幾何概型,如果試驗結果構成的區(qū)域可用長度度量，則其概率的計算公式為P(A).2.與角度有關的幾何概型,當涉及射線的轉動、扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.跟蹤訓練(1)(2018·廣州綜合測試(二)在區(qū)間1,5上隨機地取一個實數(shù)a，則方程x22ax4a30有兩個正根的概率為()ABCD(2)(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)的定義域為D在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_(1)C(2)(1)因為方程x22ax4a30有兩個正根，所以解得<a1或a3，所以所求概率P，故選C(2)由6xx20，解得2x3，D2,3如圖，區(qū)間4,5的長度為9，定義域D的長度為5，P.與面積有關的幾何概型角度1與平面圖形面積有關的幾何概型(2018·成都二診)兩位同學約定下午5：306：00在圖書館見面，且他們在5：306：00之間到達的時刻是等可能的，先到同學須等待，15分鐘后還未見面便離開則兩位同學能夠見面的概率是() 【導學號：79140362】ABCDD從下午5：30開始計時，設兩位同學到達的時刻分別為x，y分鐘，則x，y應滿足如圖中正方形OABC所示，若兩位同學能夠見面，則x，y應滿足|xy|15，如圖中陰影部分(含邊界)所示，所以所求概率P，故選D角度2與線性規(guī)劃交匯的問題(2017·廣州綜合測試)在平面區(qū)域(x，y)|0x1,1y2內隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y2x的概率為()ABCDA依題意作出圖像如圖，則P(y2x).角度3與定積分交匯的問題(2018·鄭州第二次質量預測)在區(qū)間1，e上任取實數(shù)a，在區(qū)間0,2上任取實數(shù)b，使函數(shù)f(x)ax2xb有兩個相異零點的概率是()ABCDA函數(shù)f(x)ax2xb有兩個相異零點，即方程ax2xb0有兩個不等的實數(shù)根，則1ab>0，b<.所有試驗結果為(a，b)|1ae,0b2，面積為2(e1)，使函數(shù)f(x)有兩個相異零點的事件為1，面積為dalna|101，則所求概率為P(A)，故選A規(guī)律方法1.與平面幾何、解析幾何等知識交匯問題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關知識，先確定基本事件對應區(qū)域的形狀，再選擇恰當?shù)姆椒ê凸剑嬎愠銎涿娣e，進而代入公式求概率.2.與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進而代入公式求概率.3.與定積分交匯問題的解題思路先確定基本事件對應區(qū)域的形狀構成，再將其面積轉化為某定積分的計算，并求其大小，進而代入公式求概率.跟蹤訓練(1)(2018·云南二檢)RAND(0,1)表示生成一個在(0,1)內的隨機數(shù)(實數(shù))，若xRAND(0,1)，yRAND(0,1)，則x2y2<1的概率為()AB1CD1(2)如圖10­6­4，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_圖10­6­4(1)A(2)(1)由幾何概型的概率計算公式知，所求概率P，故選A(2)由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx，所以所求概率P.與體積有關的幾何概型在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_1如圖，與點O距離不大于1的點的軌跡是一個半球，其體積V1××13.事件“點P與點O距離大于1的概率”對應的區(qū)域體積為23，根據(jù)幾何概型概率公式得，點P與點O距離大于1的概率P1.規(guī)律方法與體積有關的幾何概型問題求法的關鍵點對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的事件也可利用其對立事件去求.跟蹤訓練一個多面體的直觀圖和三視圖如圖10­6­5所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF­BCE內自由飛翔，則它飛入幾何體F­AMCD內的概率為() 【導學號：79140363】圖10­6­5A B C DD由題圖可知VF­AMCD×SAMCD×DFa3，VADF­BCEa3，所以它飛入幾何體F­AMCD內的概率為.8