三角恒等變換與解三角形【2019年高考考綱解讀】高考對本內容的考查主要有：(1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是C級要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B級要求，應用時要適當選擇公式，靈活應用(2)正弦定理、余弦定理及其應用，要求是B級，能夠應用定理實現三角形中邊和角的轉化，以及應用定理解決實際問題試題類型一般是填空題，同時在解答題中與三角函數、向量等綜合考查，構成中檔題.【重點、難點剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45°等“化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如()，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解8利用解三角形的知識解決實際問題的思路把實際問題中的要素歸入到一個或幾個相互關聯的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實際問題的答案注意要檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，從而得出正確結果.【題型示例】題型一、三角變換及應用【例1】(1)若0<<，<<0，cos，cos，則cos等于()A. B C. D(2)若，則cos sin 的值為()A B C. D.答案C解析(sin cos )，cos sin .【變式探究】【2017山東，文7】函數 最小正周期為A. B. C. D. 【答案】C【解析】因為,所以其周期,故選C 【變式探究】(1)(2016·高考全國乙卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.解析：基本法：將轉化為.由題意知sin，是第四象限角，所以cos>0，所以cos.tantan.答案：速解法：由題意知為第一象限角，設，tantantan.如圖，不妨設在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B.答案：(2)若tan 0，則()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角，則A，B錯；由sin 22sin cos 知sin 20，C正確；取時，cos 22cos212×210，D錯故選C.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0，故選C.答案：C【舉一反三】 (2015·新課標全國，2)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()A B. C D.解析sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°.答案D【變式探究】(2015·四川，12)sin 15°sin 75°的值是_解析sin 15°sin 75°sin 15°cos 15°sin(15°45°)sin 60°.答案【舉一反三】(2015·江蘇，8)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此類問題的著眼點是“一角、二名、三結構”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結構形式的差異，然后多角度使用三角公式求解(2)對于三角函數中角的求值問題，關鍵在于“變角”，將“目標角”變換成“已知角”若角所在象限沒有確定，則應分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運用，掌握其結構特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運用(3)求三角函數的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角【變式探究】(2015·廣東，11)設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1題型二、正、余弦定理的應用【例2】(2018·北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因為cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由題設知<B<，所以0<A<，所以A.(2)在ABC中，因為sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC邊上的高為asin C7×.【變式探究】【2017課標3，文15】ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_.【答案】75°【解析】由題意： ，即，結合 可得 ，則.【變式探究】【2016高考山東文數】 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）（）由（）知,所以 ，當且僅當時，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】 (2015·福建，12)若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析SAB·AC·sin A，sin A，在銳角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【變式探究】(2015·廣東，11)設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1【舉一反三】在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)已知4，ABC的面積為6，求邊長b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0<B<，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.【變式探究】ABC的面積是30，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A.(1)求A·A；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0<A<，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以A·Abccos A156×144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)12×156×25，所以a5?！疽?guī)律方法】 求解此類問題，一要注意從問題的不斷轉化中尋求解題的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面積及cos A，可求出sin A，二要注意求解本題第(2)問時，應該結合第(1)問中的結論題型三、解三角形【例3】(2018·全國)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，sin A.由余弦定理得cos A>0，cos A，bc，SABCbcsin A××.【變式探究】(2018·天津)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因為a<c，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.【變式探究】【2017課標1，文11】ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意得，即，所以由正弦定理得，即，因為c<a，所以C<A，所以，故選B【變式探究】【2016高考山東文數】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c; （）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）（）由（）知,所以 ，當且僅當時，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】(2015·新課標全國，17)ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD.因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【變式探究】(2015·浙江，16)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因為sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因為A，bcsin A3，所以bc6，故b3.【舉一反三】 (2015·陜西，17)ABC的內角A，B，C 所對的邊分別為a ，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行 (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面積解(1)因為mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因為c0，所以c3，故ABC的面積為Sbcsin A.13