8.1.3向量數(shù)量積的坐標運算學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.通過平面向量基本定理領會向量的坐標表示(難點)2.能利用向量的數(shù)量積的坐標公式進行計算(重點)1.通過平面向量基本定理掌握下列的坐標表示，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的數(shù)學素養(yǎng)2.利用向量數(shù)量積的坐標公式進行數(shù)量積運算，提升數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng).1.向量的數(shù)量積的坐標公式設平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)數(shù)量積公式：a·bx1x2y1y2.(2)向量垂直公式：aba·b0x1x2y1y20.思考1：平面向量的坐標：在平面直角坐標系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量e1，e2，如果對于平面向量a，有axe1ye2，則向量a的坐標為_，記作_，提示(x，y)a(x，y)2.三個重要公式(1)向量的模：a2xy|a|.(2)兩點間的距離公式：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.思考2：(1)若點A(3,0), B(3,0)，則|_.(2)若點A(3,3), B(3，5)，則|_.提示(1)6(2)10(3)向量的夾角公式：cos a，b.1.已知a(1，1)，b(2,3)，則a·b()A5B4C2D1Da·b(1，1)·(2,3)1×2(1)×31.2.(2019·全國卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，則|ab|()AB2 C5D50Aab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab| .故選A3.(2019·全國卷)已知向量a(2,2)，b(8,6)，則cos a，b_.a(2,2)，b(8,6)，a·b2×(8)2×64，|a|2 ，|b|10.cos a，b .4已知a(3，x)，|a|5，則x_.±4|a|5，x216.即x±4.利用向量數(shù)量積的坐標公式計算【例1】(1)已知向量a(2,3)，b(2,4)，c(1,2)，則a·(bc)_.(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，求a·b，|3ab|，(ab)·(2ab)思路探究(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標運算公式進行計算(2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標公式計算(1)12b(2,4)，c(1,2)，bc(2,4)(1,2)(3,6)又a(2,3)，a·(bc)(2,3)·(3,6)2×(3)3×661812.(2)解a·b1×23×517.因為3a3(1,3)(3,9)，b(2,5)，所以3ab(1,4)，所以|3ab|.因為ab(3,8)，2a(2,6)，所以2ab(2,6)(2,5)(0,1)，所以(ab)·(2ab)3×08×18.1.數(shù)量積坐標運算的技巧(1)進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式a·bx1x2y1y2，并能靈活運用以下幾個關系：|a|2a·a，(ab)·(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22a·b|b|2.(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標，一般來說應當先設出向量的坐標，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關系，利用數(shù)量積的坐標運算列出方程(組)進行求解2.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運算利用|a|2a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標表示下的運算若a(x，y)，則a·aa2|a|2x2y2，于是有|a|.1.已知O為坐標原點，點A(1,0)，B(0,2)，若OCAB于點C，則·()_.設點C的坐標為(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得(1,2)，(x1，y)，因為OCAB于點C，即，解得，(1,2)，所以·().2.已知向量a(，1)和b(1，)，若a·cb·c，試求模為的向量c的坐標解法一：設c(x，y)，則a·c(，1)·(x，y)xy，b·c(1，)·(x，y)xy，由a·cb·c及|c|，得解得或所以c或c.法二：由于a·b×1(1)×0，且|a|b|2，從而以a，b為鄰邊的平行四邊形是正方形，且由于a·cb·c，所以c與a，b的夾角相等，從而c與正方形的對角線共線此外，由于|c|，即其長度為正方形對角線長度(|b|2)的一半，故c(ab)或c(ab).向量數(shù)量積的坐標公式與夾角問題【例2】(1)已知向量a(1,2)，b(2，x)，若a與b垂直，則實數(shù)x的值是()A4 B4 C1 D1(2)已知平面向量a(1,3)，b(2，)，設a與b的夾角為.若120 °，求的值要使為銳角，求的取值范圍思路探究(1)根據(jù)向量垂直的坐標關系求解(2)由120 °求cos ，建立方程求的值要使為銳角，則cos >0，且a與b不能共線，建立不等式求的取值范圍(1)D因為a(1,2)，b(2，x)，a與b垂直，所以a·b0，即1×22x0，解得x1.故選D(2)解由于a(1,3)，b(2，)，則a·b23，當120 °時，cos 120 °，得，平方整理得13224120，解得，由于a·b23<0，所以<，得.由為銳角，得cos >0，且cos 1，a·b|a|b|·cos 0，a·b>0，即1×23>0，解得>.若ab，則1×2×30，即6.但若ab，則0或，這與為銳角相矛盾，所以6.綜上所述，>且6.利用向量法求夾角的方法技巧(1)若求向量a與b的夾角，利用公式cos a，b，當向量的夾角為特殊角時，再求出這個角(2)非零向量a與b的夾角與向量的數(shù)量積的關系：(1)若為直角，則充要條件為向量ab，則轉化為a·b0x1x2y1y20.(2)若為銳角，則充要條件為a·b>0，且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同)(3)若為鈍角，則充要條件為a·b<0，且a與b的夾角不能為(即a與b的方向不能相反)3.已知a(sin ，cos )，|b|2.(1)若向量b在a方向上的投影為1，求a·b及a與b的夾角.(2)若ab與b垂直，求|2ab|.解(1)由向量數(shù)量積的幾何意義知，a·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積，a·b1·(1)1.設a與b的夾角，0，則cos ，.(2)若ab與b垂直，(ab)·ba·bb20，a·b4，|2ab|2.向量數(shù)量積的坐標公式的綜合問題【例3】在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點，點E在線段AB上運動(1)求證：·為定值；(2)求·的最大值思路探究(1)利用向量的投影證明，也可以建立平面直角坐標系，利用向量的坐標計算數(shù)量積(2)利用向量的投影轉化為平面幾何性質求最大值，也可以建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標公式，建立函數(shù)求最大值解法一：(幾何法)(1)在邊長為1的正方形ABCD中，··|cos BCE|21(定值)(2)如圖，作CNEM，垂足為N，則EBMCNM，得，所以EM·MNCM·MB，所以·|cos CEN|(|cos CEN)|(|)|2|2 |21，所以當點E在點A時，·取得最大值.法二：(坐標法)以點A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，設E(x,0)，x0,1, (1)·(1x,1)·(0,1)1(定值)(2)由上述可知，C(1,1)，M，設E(x,0)，x0,1，則·(1x,1)·(1x)2，當x0,1時，(1x)2單調遞減，當x0時，·取得最大值.解決向量數(shù)量積的最值的方法技巧(1)“圖形化”技巧：利用平面向量線性運算以及數(shù)量積運算的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的直觀特征進行判斷.(2)“代數(shù)化”技巧：若已知條件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐標系，通過坐標運算轉化為函數(shù)的性質解決最值或取值范圍.4(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·()的最小值是()A2B CD1B如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設P(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以·()(x，y)·(2x，2y)2x22，當x0，y時，·()取得最小值為，選B5在矩形ABCD中， AB3，AD1，若M，N分別在邊BC，CD上運動(包括端點)，且滿足，則·的取值范圍是_1,9分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標系，則A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，設M(3，b)，N(x,1)，因為，所以b，則(x,1)， 故·x1(0x3)，所以1x19，所以·的取值范圍是1,91.利用數(shù)量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積利用向量數(shù)量積的坐標表示求出這兩個向量的數(shù)量積(2)求模利用|a| 計算兩向量的模(3)求夾角余弦值由公式cos 求夾角余弦值(4)求角由向量夾角的范圍及cos 求的值2.知識導圖1.已知a(1,2)，b(3,2)，則a·b()A1B2C3D4A因為a(1,2)，b(3,2)，所以a·b1×(3)2×21.2.已知a(1,2)，b(6，3)，則必有()AabBb3a CabDb3aC由a(1,2)，b(6，3)，得1×62×(3)0ab.3.已知向量a(2,2)，b(0，3)，則a與b的夾角為()A45°B60° C120°D135°D因為向量a(2,2)，b(0，3)，則a·b6，|a|2，|b|3，則cos a，b，又0°a，b180°，所以a與b的夾角為135°.4(2019·揚州高一檢測)已知向量 a(1，1)，向量b(1,2)，則(2ab)·a_.1由向量a(1，1)，b(1,2)，得2ab(1,0)，所以(2ab)·a(1,0)·(1，1)1×10×(1)1.9