第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情考向·高考導航1高考對此部分內(nèi)容的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題2主要以選擇題、填空題的形式考查，難度為中等或偏下真題體驗1(2018·全國卷)已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A. B. C. D1解析：Bcos 2cos2sin2 ，tan2 ，tan ±，當tan 時，a，a，b，|ab|；當tan 時，a，a，b，|ab|.2(2017·全國卷)設函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調(diào)遞減解析：D當x時，x，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)本題選擇D選項3(2019·全國卷)若x1，x2是函數(shù)f(x)sin x(>0) 兩個相鄰的極值點，則()A2 B. C1 D.解析：A由正弦函數(shù)圖象可知x2x1，T，2.4(2019·天津卷)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函數(shù)，將yf(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數(shù)為g(x)若g(x)的最小正周期為2，且g，則f()A2 BC. D2解析：C在x0處有定義的奇函數(shù)必有f(0)0.f(x)為奇函數(shù)，可知f(0)Asin 0，由|可得0；把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得g(x)Asinx，由g(x)的最小正周期為2可得2，由g，可得A2，所以f(x)2sin 2x，f2sin.故選C.主干整合1三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在2k，2k(kZ)上遞增，在2k，2k(kZ)上遞減在2k，2k(kZ)上遞增，在2k，2k(kZ)上遞減在(k，k)(kZ)上都是增函數(shù)對稱中心坐標(k，0)，kZ(k，0)，kZ(，0)kZ對稱軸方程漸近線xk，kZxk，kZxk(kZ)2.三角函數(shù)圖象的兩種變換方法熱點一三角函數(shù)的定義、誘導公式及基本關系題組突破1(2020·資陽模擬)已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2,1)，則tan等于()A7BC. D7解析：A由角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.2(2020·衡水調(diào)研卷)已知sin (3)2sin，則等于()A. B.C. D解析：Dsin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，則.3(2020·衡水信息卷)已知曲線f(x)x32x2x在點(1，f(1)處的切線的傾斜角為，則cos22cos23sin(2)cos()的值為()A. BC. D解析：A由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sin(2)cos()(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .(1)涉及與圓及角有關的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關，與終邊上點的位置無關(2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等熱點二三角函數(shù)的圖象及應用直觀想象素養(yǎng)直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題主要包括：利用圖形描述數(shù)學問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思想.例1(1)(2020·東營模擬)已知函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度解析A由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x，把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)cos 2x的圖象，故選A.(2)(2020·廈門模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)(0，|)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為1,2，則_.解析由函數(shù)f(x)Asin(x)(0，|)的部分圖象，則A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，當x時，f2sin0，又|，解得，所以f(x)2sin，因為函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，所以g(x)2sin2cos 2x，若函數(shù)g(x)在上的值域為1,2，則2cos 21即k，kZ或k，kZ，故.答案(1)已知函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置(2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向(1)(2020·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)coscos 2x，若要得到一個奇函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)f(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度解析：Cf(x)coscos 2xcoscos 2xsin 2xcos 2x2sin2sin 2，所以將f(x)的圖象向左平移個單位長度可得到奇函數(shù)y2sin 2x的圖象，故選C.(2)(2019·哈爾濱三模)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0，|)的部分圖象如圖所示，已知點A(0，)，B，若將它的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸方程為()Ax BxCx Dx解析：Af(0)2sin ，sin ，又|，或，又f2sin0，k(kZ)，×6k2(kZ)，或×6k4(kZ)，又0，且，3，2，f(x)2sin，將其圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)2sin2sin，g(x)圖象的對稱軸方程滿足2xk(kZ)，x(kZ)，故選A.熱點三三角函數(shù)的性質(zhì)及應用例2(1)(2019·全國卷)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|解析A作出函數(shù)f(x)|cos 2x|的圖象，如圖由圖象可知f(x)|cos 2x|的周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可得f(x)|sin 2x|的周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，f(x)cos|x|的周期為2.f(x)sin|x|不是周期函數(shù)，排除B，C，D.故選A.(2)(2019·保定三模)已知函數(shù)f(x)2cos(0)滿足：ff，且在區(qū)間內(nèi)有最大值但沒有最小值給出下列四個命題：p1：f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減；p2：f(x)在最小正周期是4；p3：f(x)的圖象關于直線x對稱；p4：f(x)的圖象關于點對稱其中的真命題是()Ap1，p2 Bp1，p3Cp2，p4 Dp3，p4解析C由題意得，當x時，f(x)取得最大值，則cos1，2k，(kN*)，又易知T2，01，所以k1，f(x)2cos.故f(x)的最小正周期T4，p2是真命題，又f0，因此f(x)的圖象關于點對稱，p4是真命題故選C.(3)(2019·唐山調(diào)研)設函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A0，0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為_解析f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且ff，x和x均不是f(x)的極值點，其極值應該在x處取得，ff，x也不是函數(shù)f(x)的極值點，又f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，x為f(x)的另一個相鄰的極值點，故函數(shù)f(x)的最小正周期T2×.答案求解函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的三種意識(1)轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)Asin(x)的形式(2)整體意識：類比ysin x的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整體代入的方法求解令xk(kZ)，可求得對稱軸方程令xk(kZ)，可求得對稱中心的橫坐標將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，注意的符號(3)討論意識：當A為參數(shù)時，求最值應分情況討論(1)(2020·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)2sin(x)1，f()1，f()1，若|的最小值為，且f(x)的圖象關于點對稱，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：B(1)本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)由f()1，f()1可知f(x)的圖象關于直線x對稱，關于點(，1)對稱，所以最小正周期T4|min3，則，又f2sin11，則sin0，又|，則，則f(x)2sin1，由2kx2k，kZ得3kx3k，kZ，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ，故選B.(2)(2019·全國卷)關于函數(shù)f(x)sin|x|sin x|有下述四個結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增f(x)在，有4個零點f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號是()A BC D解析：Cf(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|，f(x)是偶函數(shù)，對；f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，錯；f(x)在，上有3個零點，錯；f(x)的最大值為2，對故選C.(3)(多選題)關于函數(shù)f(x)2sin 1，下列敘述正確的是()A其圖象關于直線x對稱B其圖象可由y2sin 1圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫紺其圖象關于點對稱D其值域1,3解析：BD本題考查三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用以及三角函數(shù)圖象的伸縮變換f2sin 11，不是函數(shù)的最值，因此函數(shù)f(x)的圖象不關于直線x對稱，故A錯誤；y2sin 1圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫絝(x)2sin 1的圖象，故B正確；設y2sin ，則當x時，y2sin 2sin 0，即函數(shù)y2sin 1的圖象關于點對稱，故C錯誤；當sin 1時，函數(shù)f(x)取得最大值3，當sin 1時，函數(shù)f(x)取得最小值1，即函數(shù)f(x)的值域是1,3，故D正確，故選BD.限時40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2020·南昌段考)已知角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點M(3,4)，則cos2sin2tan 的值為()AB.C D.解析：A設O為坐標原點，則由已知得|OM|5，因而cos ，sin ，tan ，則cos2sin2tan .2(2019·青島三模)如圖，這個美妙的螺旋叫做特奧多魯斯螺旋，是由公元5世紀古希臘哲學家特奧多魯斯給出的，螺旋由一系列直角三角形組成，如圖，第一個三角形是邊長為1的等腰直角三角形，以后每個直角三角形以上一個三角形的斜邊為直角邊，另一條直角邊為1.將這些直角三角形在公共頂點處的角依次記為1，2，3，則與1234最接近的角是()參考值：tan 55°1.428，tan 60°1.732，tan 65°2.145，1.414A120° B130°C135° D140°解析：C由題意可得，1，2，3，4都是銳角，且145°，tan 2，tan 3，所以330°，tan 4，所以1375°.又tan(24)1.87，接近tan 60°，故24接近60°，故與1234最接近的角是135°.3(2018·全國卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B.C D2解析：C由已知得f(x)sin x·cos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期為T，故選C.4(2019·成都二診)將函數(shù)y2sinsin的圖象向左平移(0)個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則的最小值為()A. B.C. D.解析：A由y2sinsin可得y2sincossin，該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)解析式為g(x)sinsin，因為g(x)sin為奇函數(shù)，所以2k(kZ)，(kZ)，又0，故的最小值為，選A.5(2020·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)sin(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為()A. B.C. D.解析：B通解：因為x，所以x，因為函數(shù)f(x)sin(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以又0，所以0，選B.優(yōu)解：取1，fsinsin0，fsinsin1，fsinsin，不滿足題意，排除A，C，D，選B.6(2019·洛陽統(tǒng)考)設函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)的圖象關于直線x0對稱，則yf(x)在的值域為()A，0 B2,0C(，0) D(2,0)解析：A由題意得函數(shù)f(x)2sin，因為其圖象關于直線x0對稱，所以2×0k(kZ)，即k(kZ)，又|，所以，f(x)2sin2cos 2x.當x時，2x，所以yf(x)在上的值域為，07(2018·天津卷)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)()A在區(qū)間上單調(diào)遞增B在區(qū)間上單調(diào)遞減C在區(qū)間上單調(diào)遞增D在區(qū)間上單調(diào)遞減解析：A由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將ysin 的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：ysin2sin x.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ) ，令k1可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ) ，令k1可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項8(2020·貴陽監(jiān)測)函數(shù)f(x)Asin(0)的圖象與x軸正半軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，若要得到函數(shù)g(x)Asin x的圖象，只要將f(x)的圖象()A向左平移個單位 B向右平移個單位C向左平移個單位 D向右平移個單位解析：D正弦函數(shù)圖象與x軸相鄰交點橫坐標相差為半個周期，即d，又因為d，所以2，則f(x)AsinAsin，所以只要將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位就能得到g(x)sin x的圖象9.(2019·德州三模)如圖是函數(shù)f(x)Asin(2x)圖象的一部分，對不同的x1，x2a，b，若f(x1)f(x2)，有f(x1x2)，則()Af(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增Bf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減Cf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增Df(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減解析：A根據(jù)圖象得出：A2，對稱軸方程為x，所以2sin(x1x2)2x1x2，所以x1x2，因為f(x1x2)，所以2sin，即sin()，因為|，所以，所以f(x)2sin，因為2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，即為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間10(2019·遼寧省五校協(xié)作體聯(lián)考)設0，將函數(shù)y2cos的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)y2sin的圖象重合，則的最小值是()A. B.C. D.解析：C通解將函數(shù)y2cos的圖象向右平移個單位長度后，得y2cos的圖象，由已知得2cos2sin，所以cossin，當時，coscossin；當時，coscossin；當時，coscossin，所以的最小值為.故選C.優(yōu)解將函數(shù)y2cos的圖象向右平移個單位長度后，得y2cos2cos的圖象，由已知得cossin，所以sinsin，所以2kx，kZ，所以10k，kZ，又0，所以的最小值為.故選C.11(多選題)在平面直角坐標系xOy中，角以Ox為始邊，終邊經(jīng)過點P(1，m)(m>0)，則下列各式的值一定為負的是()Asin cos Bsin cos Csin cos D. 解析：CD本題考查三角函數(shù)定義的應用及三角函數(shù)值符號的判斷由已知得r|OP|，則sin >0，cos <0，tan m<0，sin xcos 的符號不確定，sin cos >0，sin cos <0，cos <0.故選CD.12(2019·全國卷)設函數(shù)f(x)sin(0)，已知f(x)在0,2有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：f(x)在(0,2)有且僅有3個極大值點；f(x)在(0,2)有且僅有2個極小值點；f(x)在單調(diào)遞增；的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的編號是()A BC D解析：Df(x)sin(0)，在0,2有且僅有5個零點0x2，x2，526，正確如圖x1，x2，x3為極大值點為3個，正確；極小值點為2個或3個. 不正確當0x時，x，當時，.正確，故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13(2019·全國卷)函數(shù)f(x)sin3cos x的最小值為_解析：f(x)sin3cos xcos 2x3cos x，f(x)min4.答案：414(2019·吉林三模)將函數(shù)f(x)2cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，根據(jù)f(x)2cos 2x的圖象可知，0且2a，解得a.答案：15(2018·北京卷)設函數(shù)f(x)cos (>0)若f(x)f對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為_解析：本題考查三角函數(shù)f(x)f對任意xR恒成立，f為f(x)的最大值，fcos 1，2k，解得8k，kZ，又>0，的最小值為.答案：16(2019·煙臺三模)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)2sinx(0x4)的圖象的所有交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.解析：如圖，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，可知有4個交點，并且關于點(2,0)對稱，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.答案：- 18 -