第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考綱傳真1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型1有理數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；負分數(shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar·asars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)yaxa10a1圖像定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(0,1)當x0時，y1；x0時，0y1當x0時，0y1；x0時，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的關系如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像越高，底數(shù)越大基礎自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)4()(2)(1)(1)()(3)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(4)若aman(a0且a1)，則mn()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2化簡(2)6(1)0的結(jié)果為()A9B7C10 D9B原式(26)1817.3(教材改編)若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖像經(jīng)過點P，則f(1)等于()ABCD4B由題意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1).4函數(shù)yaxa(a0，且a1)的圖像可能是()A BC DC令yaxa0，得x1，即函數(shù)圖像必過定點(1,0)，符合條件的只有選項C5指數(shù)函數(shù)y(2a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是_(1,2)由題意知02a1，解得1a2.指數(shù)冪的化簡與求值1(2019·濟寧模擬)下列各式中成立的是()An7mBC(xy)DD(9)93，故選D.2若a0，b0，則化簡_.ab13化簡0.00210(2)130_.16原式50031010(2)316.4若xx3，則_.由xx3得xx129.所以xx17.同理由xx17可得x2x247.xx(xx)(xx11)3×618.所以.規(guī)律方法指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)(4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解題易錯警示：運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一指數(shù)函數(shù)的圖像及應用【例1】(1)函數(shù)f(x)axb的圖像如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)已知函數(shù)f(x)3a2x4的圖像恒過定點P，則點P的坐標是_(3)若曲線y|3x1|與直線yk只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_(1)D(2)(2,4)(3)01，)(1)由f(x)axb的圖像可以觀察出函數(shù)f(x)axb在定義域上是減少的，所遞減以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖像是在f(x)ax的基礎上向左平移得到的，所以b0.(2)令2x40得x2，且f(2)4，則點P的坐標為(2,4)(3)函數(shù)y|3x1|的圖像是由函數(shù)y3x的圖像向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖像如圖所示當k0或k1時，直線yk與函數(shù)y|3x1|的圖像有唯一的交點規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)圖像應用的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點，判斷所給的圖像是否過這些點，若不滿足則排除(3)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖像問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論(4)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解 (1)函數(shù)y(a1)的圖像大致是()A BCD(2)函數(shù)f(x)2|x1|的圖像是()ABCD(3)已知a0，且a1，若函數(shù)y|ax2|與y3a的圖像有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍是_(1)B(2)B(3)(1)y又a1，故選B(2)函數(shù)f(x)2|x1|的圖像可由y2|x|的圖像向右平移1個單位得到，故選B(3)當0a1時，如圖，所以03a2，即0a；當a1時，如圖，而y3a1不符合要求圖圖所以0a.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用考法1比較指數(shù)式的大小【例2】已知a3，b9，c121，則()AbacBabcCbcaDcabA因為a399b，c121119a，所以cab.故選A考法2解簡單的指數(shù)方程或不等式【例3】(1)設函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)(2)已知實數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_(1)C(2)(1)當a0時，不等式f(a)1可化為71，即a8，即a，因為01，所以a3，此時3a0；當a0時，不等式f(a)1可化為1，所以0a1.故a的取值范圍是(3,1)故選C(2)當a1時，41a21，解得a；當a1時，代入不成立故a的值為.考法3與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的值域或最值問題【例4】(1)已知函數(shù)f(x)axb(a0，a1)的定義域和值域都是1,0，則ab_.(2)已知0x2，則y4x3·2x5的最大值為_(1)(2)(1)當a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為增函數(shù)，由題意得無解當0a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.(2)y(2x)23·2x5.令t2x，由0x2得1t4，又yt23t5(t3)2，當t1時，y有最大值，最大值為.考法4復合函數(shù)的單調(diào)性、值域或最值【例5】函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是_，值域是_(，1令ux22x1，則u(x1)22.又yu在R上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間由此函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(，1因為u2，則f(x)，即函數(shù)f(x)的值域為.規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)性質(zhì)應用的?？碱}型及求解策略?？碱}型求解策略比較冪值的大小(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大小(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小解簡單指數(shù)不等式先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致易錯警示：在研究指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性時，當?shù)讛?shù)與“1”的大小關系不明確時，要分類討論 (1)(2019·信陽模擬)已知a，b，c，則a，b，c的大小關系是()AcabBabcCbacDcba(2)(2019·長春模擬)函數(shù)y4x2x11的值域為()A(0，)B(1，)C1，)D(，)(3)已知函數(shù)y2x2ax1在區(qū)間(，3)上是增加的，則a的取值范圍為_(4)函數(shù)y2x22x的值域為_(1)D(2)B(3)6，)(4)(0,2(1)c，則，即abc，故選D.(2)y4x2x11(2x)22·2x1，令t2x，則t0，yt22t1(t1)21，故選B(3)由題意知，函數(shù)ux2ax1在區(qū)間(，3)上是增加的，則3，即a6.(4)x22x(x1)211，則0y2.即函數(shù)y2x22x的值域為(0,2- 9 -