第五節(jié)綜合法、分析法、反證法、數學歸納法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點.3.了解數學歸納法的原理.4.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題1綜合法、分析法內容綜合法分析法定義從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結論，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法從求證的結論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件，直到歸結為這個命題的條件，或者歸結為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法實質由因導果執(zhí)果索因框圖表示得到一個明顯,成立的條件文字語言因為所以或由得要證只需證即證2.反證法(1)反證法的定義：在假定命題結論的反面成立的前提下，經過推理，若推出的結果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題結論成立的方法叫反證法(2)反證法的證題步驟：作出否定結論的假設；進行推理，導出矛盾；否定假設，肯定結論3數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(2)歸納遞推：假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立上述證明方法叫做數學歸納法常用結論利用歸納假設的技巧在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設此時既要看準目標，又要掌握nk與nk1之間的關系在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應用基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)用數學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結論成立 ()(2)綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(3)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件()(4)用反證法證明結論“a>b”時，應假設“a<b”()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2利用數學歸納法證明“1aa2an1(a1，nN*)”時，在驗證n1成立時，左邊應該是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3Cn1時，左邊1aa2，故選C.3命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”過程應用了 ()A分析法B綜合法C綜合法、分析法結合使用D間接證法B由證明過程看是用了綜合法的證明，故選B4設a，b，c都是正數，則a，b，c三個數()A都大于2B都小于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2D6，當且僅當abc時取等號，三個數中至少有一個不小于2.5用數學歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk的假設到證明nk1時，等式左邊應添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D(k1)2(k1)21B若nk時成立，即1222(k1)2k2(k1)22212成立，那么nk1時，左邊1222k2(k1)2k22212，對比nk時的式子可知，當nk1時，等式左邊應添加的式子是(k1)2k2，故選B分析法的應用1若a，b(1，)，證明.證明要證，只需證()2()2，只需證ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因為a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三個內角A，B，C成等差數列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立規(guī)律方法(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件正確把握轉化方向是使問題順利解決的關鍵(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證綜合法的應用【例1】設數列an的前n項和為Sn，已知3an2Sn2.(1)證明an是等比數列并求出通項公式an；(2)求證：SSnSn24×3n.證明(1)因為3an2Sn2，所以3an12Sn12，所以3an13an2(Sn1Sn)0.因為Sn1Snan1，所以3，所以an是等比數列當n1時，3a12S12，又S1a1，所以a12.所以an是以2為首項，以3為公比的等比數列，其通項公式為an2×3n1.(2)由(1)可得Sn3n1，Sn13n11，Sn23n21，故SSnSn2(3n11)2(3n1)(3n21)4×3n，即SSnSn24×3n.規(guī)律方法(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性(2)綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理 設a，b，c均為正數，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為a，b，c均為正數，b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.反證法的應用【例2】設a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設a2a<2與b2b<2同時成立，則由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時成立規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟(1)反設：假定所要證的結論不成立，而設結論的反面成立(否定結論)(2)歸謬：將“反設”作為條件，由此出發(fā)經過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾(推導矛盾)(3)立論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤既然原命題結論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立) 設數列an是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和(1)求證：數列Sn不是等比數列；(2)數列Sn是等差數列嗎？為什么？解(1)證明：假設數列Sn是等比數列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數列Sn不是等比數列(2)當q1時，Snna1，故Sn是等差數列；當q1時，Sn不是等差數列假設Sn是等差數列，則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當q1時，數列Sn是等差數列；當q1時，數列Sn不是等差數列數學歸納法的應用【例3】已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當n1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并給出證明解(1)當n1時，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當n2時，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當n3時，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用數學歸納法證明當n1,2,3時，不等式顯然成立假設當nk(k3，kN*)時不等式成立，即1，則當nk1時，f(k1)f(k).因為0，所以f(k1)g(k1)由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立規(guī)律方法1.應用數學歸納法證明不等式應注意的問題(1)當遇到與正整數n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數學歸納法(2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構造函數法等證明方法2利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現結論，然后經邏輯推理論證結論的正確性 設數列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數列an的通項公式解(1)由Sn2nan13n24n，得S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.綜上知a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1(nN*)，以下用數學歸納法證明：當n1時，猜想顯然成立；假設當nk(kN*，且k2)時，有ak2k1成立，則Sk357(2k1)·kk(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得ak12k32(k1)1，即當nk1時，猜想成立由知，數列an的通項公式為an2n1(nN*)- 8 -