第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表法考綱傳真1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法4數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成anf(n)，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式5an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an1數(shù)列an是遞增數(shù)列an1an恒成立2數(shù)列an是遞減數(shù)列an1an恒成立基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(3)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意nN*，都有an1Sn1Sn()(4)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan±Ban(1)n·Can(1)n1DanB由a11，代入檢驗(yàn)可知選B3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A15B16C49D64A當(dāng)n8時(shí)，a8S8S7827215.4把3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)則第6個(gè)三角形數(shù)是()A27 B28 C29 D30B由題圖可知，第6個(gè)三角形數(shù)是123456728.5在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5()A B C DDa212，a311，a41123，a511.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式1數(shù)列0，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)C注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可2數(shù)列an的前4項(xiàng)是，1，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.數(shù)列an的前4項(xiàng)可變形為，故an.3寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1,1，2,2，3,3.解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(1)n1表示每一項(xiàng)絕對(duì)值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，所以an(1)n1.(3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為1，2，3，可用表示，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，可用表示因此an規(guī)律方法由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN*處理由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式【例1】(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an_.(1)(2)(2)n1(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2)由Snan，得當(dāng)n2時(shí)，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，當(dāng)n2時(shí)，an2an1，即2.又n1時(shí)，S1a1a1，a11，an(2)n1.規(guī)律方法1.已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并2Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解；(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解 (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.(2)在數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.(1)(2)2n1(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1314，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n13n112·3n1.顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式an(2)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an2n1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式考法1形如an1anf(n)，求an【例2】在數(shù)列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1×(3×11)2符合公式，ann2.考法2形如an1anf(n)，求an【例3】已知數(shù)列an滿足a11，an12nan，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解an12nan，2n，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2.又a11適合上式，故an2.考法3形如an1AanB(A0且A1)，求an.【例4】已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.規(guī)律方法由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an，即an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an，即an·····a1.(3)已知a1且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列ank(4)形如an1(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解 根據(jù)下列條件，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)；(3)a11，an12an3；(4)a11，an1.解(1)由題意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因?yàn)閍nan1(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，所以，以上n1個(gè)式子相乘得········，即××2×1，所以an.當(dāng)n1時(shí)，a1，與已知a1相符，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數(shù)列an3是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，an34·2n12n1，an2n13.(4)因?yàn)閍n1，a11，所以an0，所以，即.又a11，則1，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列所以(n1)×.所以an(nN*)1(2014·全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a3×22a22.而a2，a1.2(2015·全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.3(2016·全國(guó)卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式解(1)由題意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以.故an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.- 9 -