2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學案 文(含解析)北師大版
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2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學案 文(含解析)北師大版
第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程考綱傳真1.在平面直角坐標系中,結合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關系1直線的傾斜角(1)定義:在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線l重合所成的角,叫作直線l的傾斜角當直線l與x軸平行時,它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為0°180°.2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°,則斜率ktan ,當90°時,直線斜率不存在(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0,A2B20平面內(nèi)所有直線都適用牢記傾斜角與斜率k的關系(1)當且由0增大到時,k的值由0增大到.(2)當時,k也是關于的單調(diào)函數(shù),當在此區(qū)間內(nèi)由增大到()時,k的值由趨近于0(k0)基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)直線的傾斜角越大,其斜率就越大()(4)過定點P0(x0,y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)2(教材改編)若過點M(2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為()A1B4C1或3D1或4A由題意得1,解得m1.3直線xya0的傾斜角為()A30° B60° C150° D120°B設直線的傾斜角為,則tan ,0°180°,60°.4(教材改編)經(jīng)過點M(1,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()Axy2Bxy1Cx1或y1Dxy2或xyD若直線過原點,則直線為yx,符合題意,若直線不過原點,設直線為1,代入點(1,1),解得m2,直線方程整理得xy20,故選D5如果A·C<0且B·C<0,那么直線AxByC0不通過()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C由已知得直線AxByC0在x軸上的截距>0,在y軸上的截距>0,故直線經(jīng)過第一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限直線的傾斜角和斜率1(2019·石家莊模擬)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A.B.C DB由直線方程可得該直線的斜率為,又10,所以傾斜角的取值范圍是.2若點A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點共線,則a的值為_4因為kAC1,kABa3.由于A,B,C三點共線,所以a31,即a4.3直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點的線段有公共點,則直線l斜率的取值范圍為_(,1,)如圖,kAP1,kBP,k(,1,)規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是0,),根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時,要分與兩種情況討論易錯警示:由直線的斜率k求傾斜角的范圍時,要對應正切函數(shù)的圖像來確定,要注意圖像的不連續(xù)性直線的方程【例1】根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)直線過點(4,0),傾斜角的正弦值為;(2)直線過點(3,4),且在兩坐標軸上的截距之和為12.解(1)由題設知,該直線的斜率存在,故可采用點斜式設傾斜角為,則sin (0),從而cos ±,則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設知橫截距與縱截距都不為0,設直線方程為1,又直線過點(3,4),從而1,解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.規(guī)律方法在求直線方程時,應先選擇適當?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件若采用截距式,應注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況 一條直線經(jīng)過點A(2,2),并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為_x2y20或2xy20設所求直線的方程為1.A(2,2)在直線上,1.又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1,|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1,即x2y20或2xy20為所求直線的方程直線方程的綜合應用【例2】過點P(4,1)作直線l分別交x軸,y軸正半軸于A,B兩點,O為坐標原點(1)當AOB面積最小時,求直線l的方程;(2)當|OA|OB|取最小值時,求直線l的方程解設直線l:1(a0,b0),因為直線l經(jīng)過點P(4,1),所以1.(1)12,所以ab16,當且僅當a8,b2時等號成立,所以當a8,b2時,AOB的面積最小,此時直線l的方程為1,即x4y80.(2)因為1,a0,b0,所以|OA|OB|ab(ab)·5529,當且僅當a6,b3時等號成立,所以當|OA|OB|取最小值時,直線l的方程為1,即x2y60.規(guī)律方法與直線方程有關的最值問題的解題思路(1)借助直線方程,用y表示x或用x表示y;(2)將問題轉化成關于x(或y)的函數(shù);(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值 已知直線l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,當0a2時,直線l1,l2與兩坐標軸圍成一個四邊形,當四邊形的面積最小時,求實數(shù)a的值解由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1在y軸上的截距為2a,直線l2在x軸上的截距為a22,所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a4,當a時,四邊形的面積最小,故實數(shù)a的值為.- 6 -