第三節(jié)統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體考綱傳真1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點.2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題1統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表是表達和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計圖表有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、象形統(tǒng)計圖、莖葉圖等2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)(x1x2xn)(2)方差和標準差方差：s2.標準差：s(x1)2(x2)2(xn)2其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)標準差的單位與原始測量單位相同，在統(tǒng)計中，通常用標準差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度3頻率分布直方圖與頻率分布折線圖(1)頻率分布直方圖：每個小矩形的寬度為xi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖(2)頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加上一個區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點就得到頻率分布折線圖4用樣本估計總體通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1頻率分布直方圖的3個結(jié)論(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差xi稱為組距，縱坐標，頻率組距×.(2)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比(3)小長方形的高，所有小長方形高的和為.2平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中. ()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次()答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A4B8C12D16B設(shè)頻數(shù)為n，則0.25，n32×8.3(教材改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92A這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是91.5，平均數(shù)91.5.4某校為了了解教科研工作開展狀況與教師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名教師按年齡分組，分組區(qū)間為35,40)，40,45)，45,50)，50,55)，55,60，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名教師中年齡小于45歲的有_人48由頻率分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5×(0.0400.080)0.6，所以共有80×0.648(人)5已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_0.15個數(shù)的平均數(shù)5.1，所以它們的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.莖葉圖的應(yīng)用1(2019·成都檢測)某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分數(shù)莖葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分數(shù)的極差與中位數(shù)之和為 ()A117B118C118.5D119.5B22次考試中，所得分數(shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為985642，將分數(shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76,76，所以中位數(shù)為76，所以此學(xué)生該門功課考試分數(shù)的極差與中位數(shù)之和為4276118.2(2019·泉州質(zhì)檢)某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則nm的值是 ()A5 B6 C7 D8B由甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，可得88，解得m3.由乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，可得n9，所以nm6，故選B.規(guī)律方法莖葉圖中的三個關(guān)注點(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小樣本的數(shù)字特征及應(yīng)用1(2019·濟南一中質(zhì)檢)2018年2月20日，摩拜單車在濟南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費騎”活動為了解單車使用情況，記者隨機抽取了五個投放區(qū)域，統(tǒng)計了半小時內(nèi)被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為 ()A9 B4 C3 D2B由莖葉圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(8789909193)90.方差為(8790)2(8990)2(9090)2(9190)2(9390)24.2甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ()甲乙A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差C甲的平均數(shù)是6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是2；乙的平均數(shù)是6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是，故選C3甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_甲甲乙9，s×(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s×(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定規(guī)律方法(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明地描述；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小(2)在計算平均數(shù)、方差時可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論頻率分布直方圖及應(yīng)用考法1求樣本的頻率、頻數(shù)【例1】(2019·石家莊檢測)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140D由直方圖可知每周自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.160.080.04)×2.50.7，則每周自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為0.7×200140.故選D考法2頻率分布直方圖與樣本的數(shù)字特征的綜合【例2】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)將數(shù)據(jù)按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5×a0.5×a，解得a0.30.(2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.1236 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸因為前5組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.73>0.5，又前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.48<0.5，所以2x<2.5.由0.50×(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸規(guī)律方法1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法(1)×組距頻率；(2)頻率，樣本容量，樣本容量×頻率頻數(shù)2頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和易錯警示：1.頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率，切莫與條形圖混淆2制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確 (1)為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()A64 B54 C48 D27B前兩組中的頻數(shù)為100×(0.050.11)16.因為后五組頻數(shù)和為62，所以前三組為38.所以第三組頻數(shù)為22.又最大頻率為0.32的最大頻數(shù)為0.32×10032.所以a223254.(2)某班100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績在50,90之外的人數(shù)分數(shù)段50,60)60,70)70,80)80,90xy11213445解估計這次語文成績的平均分55×0.0565×0.475×0.385×0.295×0.0573.所以這100名學(xué)生語文成績的平均分為73分分別求出語文成績在分數(shù)段50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人數(shù)依次為0.05×1005,0.4×10040,0.3×10030,0.2×10020.所以數(shù)學(xué)成績分數(shù)段在50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人數(shù)依次為5,20,40,25.所以數(shù)學(xué)成績在50,90之外的人數(shù)有100(5204025)10(人)1(2018·全國卷)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半A設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟收入的總量為2x.建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確；建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確；建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確；建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟收入總量的58%，故D正確2(2017·全國卷)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()Ax1，x2，xn的平均數(shù)Bx1，x2，xn的標準差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位數(shù)B因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差故選B.3(2017·全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)A對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確故選A4(2016·全國卷)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是()A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個D對于選項A，由圖易知各月的平均最低氣溫都在0 以上，A正確；對于選項B，七月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離大于一月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；對于選項C，三月和十一月的平均最高氣溫均為10 ，所以C正確；對于選項D，平均最高氣溫高于20 的月份有七月、八月，共2個月份，故D錯誤- 11 -