第二節(jié)兩條直線的位置關系考綱傳真1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1：yk1xb1和yk2xb2(b1b2)，則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直：設直線l1：yk1xb1，直線l2：yk2xb2，則有l(wèi)1l2k1·k21.對于直線l1：xa，直線l2：yb，則有l(wèi)1l2.2兩條直線的交點的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解3三種距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離|P1P2|點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1直線系方程(1)平行于直線AxByC0的直線系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直線AxByC0的直線系方程：BxAy0.2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.4過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5與對稱問題相關的兩個結論(1)點P(x0，y0)關于A(a，b)的對稱點為P(2ax0,2by0)；(2)設點P(x0，y0)關于直線ykxb的對稱點為P(x，y)，則有可求出x，y.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(4)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，則a的值為()A.B2C1D1C由題意知1，|a1|，又a>0，a1.3直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于()A2B3 C2或3D2或3C直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有，故m2或3.故選C4已知直線l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，則實數(shù)a的值為_2由題意知a·12(3a)0，解得a2.5直線2x2y10，xy20之間的距離是_先將2x2y10化為xy0，則兩平行線間的距離為d.兩條直線的平行與垂直1(2019·梅州月考)設aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A當a1時，顯然l1l2，若l1l2，則a(a1)2×10，所以a1或a2.所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件2已知經(jīng)過點A(2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，1)和點Q(a，2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為_1或0l1的斜率k1a.當a0時，l2的斜率k2.因為l1l2，所以k1k21，即a·1，解得a1.當a0時，P(0，1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.規(guī)律方法解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”易錯警示：當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件兩條直線的交點與距離問題【例1】(1)求經(jīng)過兩條直線l1：xy40和l2：xy20的交點，且與直線2xy10垂直的直線方程為_. (2)直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(1)x2y70(2)x3y50或x1(1)由得l1與l2的交點坐標為(1,3)設與直線2xy10垂直的直線方程為x2yc0，則12×3c0，c7.所求直線方程為x2y70.(2)法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意法二：當ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當l過AB中點時，AB的中點為(1,4)，直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.規(guī)律方法1.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程2處理距離問題的兩大策略(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求(2)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算 (1)當0<k<時，直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2) 若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.B.CD(1)B(2)C(1)由得又0<k<，x<0，y>0，故直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在第二象限(2)因為，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.對稱問題 考法1點關于點的對稱問題【例2】(2018·泉州模擬)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_x4y40設l1與l的交點為A(a,82a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.考法2點關于直線的對稱問題【例3】如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A3 B6 C2 D2C直線AB的方程為xy4，點P(2,0)關于直線AB的對稱點為D(4,2)，關于y軸的對稱點為C(2,0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|2.考法3直線關于直線的對稱問題【例4】(2019·鄭州模擬)直線2xy30關于直線xy20對稱的直線方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10Dx2y10A設所求直線上任意一點P(x，y)，則P關于xy20的對稱點為P(x0，y0)，由得由點P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.規(guī)律方法解決兩類對稱問題的關鍵解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵要抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解 已知直線l：3xy30，求：(1)點P(4,5)關于l的對稱點；(2)直線xy20關于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關于(1,2)的對稱直線解(1)設P(x，y)關于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)，kPP·kl1，即×31.又PP的中點在直線3xy30上，3×30.由得把x4，y5代入得x2，y7，點P(4,5)關于直線l的對稱點P的坐標為(2,7)(2)用分別代換xy20中的x，y，得關于l對稱的直線方程為20，化簡得7xy220.(3)在直線l：3xy30上取點M(0,3)，關于(1,2)的對稱點M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l關于(1,2)的對稱直線平行于l，k3，對稱直線方程為y13×(x2)，即3xy50.- 7 -