高考大題增分課函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點(diǎn)問題 命題解讀函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一，主要有以下命題角度：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；(2)利用單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)的取值范圍【例1】(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍 解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(0，)上遞增若a0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上無最大值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln aln aa1.因此f2a2，即ln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)在區(qū)間(0，)上遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0a1時(shí)，g(a)0；當(dāng)a1時(shí)，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1)規(guī)律方法(1)研究函數(shù)的性質(zhì)，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，最終歸結(jié)到判斷f(x)的符號(hào)問題上，而f(x)0或f(x)0，最終可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次不等式或一元二次不等式問題.(3)若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解. (2019·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ln x2mx2n(m，nR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有最大值ln 2，求mn的最小值解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)4mx，當(dāng)m0時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)上遞增；當(dāng)m0時(shí)，令f(x)0得0x，令f(x)0得x，f(x)在上遞增，在上遞減(2)由(1)知，當(dāng)m0時(shí)，f(x)在上遞增，在上遞減f(x)maxfln 2m·nln 2ln mnln 2，nln m，mnmln m.令h(x)xln x(x0)，則h(x)1，h(x)在上遞減，在上遞增，h(x)minhln 2，mn的最小值為ln 2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題研究函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負(fù)，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決，求解時(shí)應(yīng)注重等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍【例2】(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，則f(x)<0，所以f(x)在(，)遞減()若a>0，則由f(x)0得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)遞減，在(ln a，)遞增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)()若a>0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a.當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a(1，)時(shí)，由于1ln a0，即f(ln a)>0，故f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a(0,1)時(shí)，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e22>2e22>0，故f(x)在(，ln a)有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0,1)規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的兩種常用方法(1)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；或用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，再用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖像求解零點(diǎn)問題.(2)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決. 已知函數(shù)f(x)emx1x(m0)(1)若f(x)0在0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)探求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)當(dāng)x0時(shí)，設(shè)tmx0，則f(x)0g(t)et10，則g(t)et，當(dāng)m1時(shí)，g(t)et10，故g(t)在0，)上遞增，故g(t)g(0)0，所以f(x)0在0，)上恒成立；當(dāng)0m1時(shí)，令g(t)0，得0tln m，得g(t)在0，ln m上遞減，故g(ln m)g(0)0，此時(shí)不滿足f(x)0在0，)上恒成立綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1，)(2)設(shè)tmx，則f(x)0g(t)et10，g(t)et，令g(t)0，得tln m，記t0ln m，當(dāng)m1時(shí)，t00，則當(dāng)t0時(shí)，g(t)0，當(dāng)t0時(shí)，g(t)0，所以g(t)在(，0)上遞減，在(0，)上遞增，且g(0)0，所以g(t)有唯一零點(diǎn)，即f(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)m1時(shí)，令g(t)0，得tt0，所以g(t)在(t0，)上遞增，令g(t)0，得tt0，所以g(t)在(，t0)上遞減且g(t0)，設(shè)h(m)1ln mm，則h(m)，令h(m)0，得m1，當(dāng)0m1時(shí)，h(m)0；當(dāng)m1時(shí)，h(m)0，則h(m)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，所以h(m)h(1)0，所以g(t0)0.當(dāng)m1時(shí)，t00，由g(0)0，知g(t)在(t0，)上有一個(gè)零點(diǎn)，由g(t0m)et0m0，知g(t)在(，t0)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)0m1時(shí)，t00，由g(0)0，得g(t)在(，t0)上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)F(t)t2et(t0)，則F(t)t(2t)et，令F(t)0，得t2，當(dāng)0t2時(shí)，F(xiàn)(t)0；當(dāng)t2時(shí)，F(xiàn)(t)0，所以F(t)在(0,2)上遞增，在(2，)上遞減，得F(t)F(2)1，所以ett2，令t1t01，則t1t0，g(t1)et11t1210，得g(t)在(t0，)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)m1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0且m1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題【例3】(本題滿分12分)(2018·全國卷)已知函數(shù).(1)；(2)若，證明：a2.信息提取看到想到函數(shù)的定義域：真數(shù)大于零；看到想到對函數(shù)求導(dǎo)，然后解不等式，同時(shí)注意函數(shù)的定義域；看到想到x1，x2是f(x)0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根規(guī)范解答(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1·····························································1分()若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)f(x)0，所以f(x)在(0，)遞減. ·······················································2分()若a2，令f(x)0得，x或x.3分當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0. ····················5分所以f(x)在，遞減，在遞增. ······································6分(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21. ···················································8分由于1a2a2a，························································9分所以a2等價(jià)于x22ln x20.10分設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)遞減，又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0. ·····································11分所以x22ln x20，即a2. ····················12分易錯(cuò)與防范易錯(cuò)點(diǎn)防范措施不會(huì)求解含參數(shù)的一元二次不等式按照不等式的屬性、相應(yīng)方程有無實(shí)根、相應(yīng)根的大小是否確定、是否均落在定義域內(nèi)逐一討論求解.沒有注意到x1，x2的限制條件仔細(xì)審讀題設(shè)信息，同時(shí)要避免與“任意x1，x2使得a2”的區(qū)別.通性通法(1)解含參數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題時(shí)，容易產(chǎn)生討論的兩個(gè)地方：f(x)0有根與無根的討論；f(x)0有根，對根大小的討論(2)對于含有雙變量x1，x2的不等式證明問題，常借助某一橋梁建立x1，x2的等量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)“雙變量”向“單變量”的過渡進(jìn)而利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系證明不等式 (2019·河北五校聯(lián)考)已知f(x)x2a2ln x，a0.(1)若f(x)0，求a的取值范圍；(2)若f(x1)f(x2)，且x1x2，證明：x1x22a.解(1)f(x)x.當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0，f(x)遞減；當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)0，f(x)遞增當(dāng)xa時(shí)，f(x)取最小值f(a)a2a2ln a.令a2a2ln a0，解得0a.故a的取值范圍是(0，(2)由(1)知，f(x)在(0，a)上遞減，在(a，)上遞增，不失一般性，設(shè)0x1ax2，則2ax2a.要證x1x22a，即x12ax2，則只需證f(x1)f(2ax2)因f(x1)f(x2)，則只需證f(x2)f(2ax2)設(shè)g(x)f(x)f(2ax)，ax2a.則g(x)f(x)f(2ax)x2ax0，所以g(x)在a,2a)上遞減，從而g(x)g(a)0.又由題意得ax22a，于是g(x2)f(x2)f(2ax2)0，即f(x2)f(2ax2)因此x1x22a.大題增分專訓(xùn)1(2019·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)ax1ln x(aR)(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，任意x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上遞減f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得x，f(x)0得0x.f(x)在上遞減，在上遞增，即f(x)在x處有極小值綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上有一個(gè)極值點(diǎn)(2)函數(shù)f(x)在x1處取得極值，f(1)a10，則a1，從而f(x)x1ln x，由f(x)bx2，即1b，令g(x)1，則g(x)，由g(x)0得xe2，由g(x)0得0xe2，則g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，)上遞增，g(x)ming(e2)1，實(shí)數(shù)b的最大值是1.2(2018·鄭州一模)已知函數(shù)f(x)ln x，aR且a0.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x時(shí)，試判斷函數(shù)g(x)(ln x1)exxm的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)f(x)(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上遞增；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，函數(shù)f(x)在上遞增，在上遞減綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上遞增；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在上遞增，在上遞減(2)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)(ln x1)exxm的零點(diǎn)，即當(dāng)x時(shí)，方程(ln x1)exxm的根令h(x)(ln x1)exx，h(x)ex1.由(1)知當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln x1在上遞減，在(1，e)上遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)f(1)0.ln x10在x上恒成立h(x)ex1010，h(x)(ln x1)exx在x上遞增h(x)minh2e，h(x)maxe.當(dāng)m2e或me時(shí)，函數(shù)g(x)在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)2eme時(shí)，函數(shù)g(x)在上有一個(gè)零點(diǎn)3已知函數(shù)f(x)(aR)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線xy10垂直(1)試比較2 0192 020與2 0202 019的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)g(x)f(x)k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2e2.解(1)2 0192 0202 0202 019.理由如下：依題意得，f(x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x1處有意義，所以a1.所以f(1)，又由過點(diǎn)(1，f(1)的切線與直線xy10垂直可得，f(1)1，即1，解得a0.此時(shí)f(x)，f(x)，令f(x)0，即1ln x0，解得0xe；令f(x)0，即1ln x0，解得xe.所以f(x)的遞增區(qū)間為(0，e)，遞減區(qū)間為(e，)所以f(2 019)f(2 020)，即，則2 020ln 2 0192 019 ln 2 020，所以2 0192 0202 0202 019.(2)不妨設(shè)x1x20，因?yàn)間(x1)g(x2)0，所以ln x1kx10，ln x2kx20.可得ln x1ln x2k(x1x2)，ln x1ln x2k(x1x2)，要證x1x2e2，即證ln x1ln x22，也就是k(x1x2)2，因?yàn)閗，所以只需證，即ln ，令t，則t1，即證ln t.令h(t)ln t(t1)由h(t)0，得函數(shù)h(t)在(1，)上是增函數(shù)；所以h(t)h(1)0，即ln t.所以x1x2e2.- 11 -