高考專題突破四高考中的立體幾何問題【考點自測】1在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點，E為A1C1的中點，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為()A相交 B平行 C垂直相交 D不確定答案B解析如圖取B1C1的中點為F，連接EF，DF，則EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：x，y，z均為直線；x，y是直線，z是平面；z是直線，x，y是平面；x，y，z均為平面其中使“xz且yzxy”為真命題的是()A B C D答案C解析由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題3(2018屆遼寧凌源二中聯(lián)考)已知一幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是一個等腰直角三角形和半圓，則該幾何體的體積為()A2 B.C2 D.答案D解析結(jié)合三視圖可知，該幾何體是一個半圓柱與一個底面是等腰直角三角形的三棱錐組成的組合體，其體積為V××2×1×2××12×2，故選D.4(2017·天津濱海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A BC D答案B解析由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯故選B.5(2017·沈陽調(diào)研)設(shè)，是三個平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的序號填上)答案或解析由線面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)b，a時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，正確故應(yīng)填入的條件為或.題型一求簡單幾何體的表面積與體積例1 (2018屆衡水聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBCCC12，點D為AB的中點(1)證明：AC1平面B1CD；(2)求三棱錐A1CDB1的體積(1)證明連接BC1交B1C于點O，連接OD.在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是平行四邊形，點O是BC1的中點點D為AB的中點，ODAC1.又OD平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面B1CD.(2)解ACBC，ADBD，CDAB.在三棱柱ABCA1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC.又平面ABB1A1平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面ABB1A1，ACBC，ACBC2，ABA1B12，CD，V三棱錐ACDBV三棱錐CADB××2×2×.思維升華 (1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解跟蹤訓(xùn)練1 (2018·烏魯木齊質(zhì)檢)正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個球與它的四個面都相切(如圖)求：(1)這個正三棱錐的表面積；(2)這個正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積解(1)底面正三角形中心到一邊的距離為××2，則正棱錐側(cè)面的斜高為，S側(cè)3××2×9，S表S側(cè)S底9××(2)296.(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.V三棱錐PABCV三棱錐OPABV三棱錐OPBCV三棱錐OPACV三棱錐OABCS側(cè)·rSABC·rS表·r(32)r.又VPABC×××(2)2×12，(32)r2，得r2.S內(nèi)切球4(2)2(4016).V內(nèi)切球(2)3(922).題型二空間點、線、面的位置關(guān)系例2 (2017·廣州五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60°，E是AD的中點，點Q在側(cè)棱PC上(1)求證：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中點，求證：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，試求的值(1)證明由E是AD的中點，PAPD可得ADPE.因為底面ABCD是菱形，BAD60°，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE平面PBE，所以AD平面PBE.(2)證明連接AC，交BD于點O，連接OQ.因為O是AC的中點，Q是PC的中點，所以O(shè)QPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)解設(shè)四棱錐PBCDE，QABCD的高分別為h1，h2.所以V四棱錐PBCDES四邊形BCDEh1，V四棱錐QABCDS四邊形ABCDh2.又VPBCDE2VQABCD，且S四邊形BCDES四邊形ABCD，所以.思維升華 (1)平行問題的轉(zhuǎn)化利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序正好相反在實際的解題過程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運用(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB的中點，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，AF，AB平面SAB，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問題例3 五邊形ANB1C1C是由一個梯形ANB1B與一個矩形BB1C1C組成的，如圖甲所示，B為AC的中點，ACCC12AN8.沿虛線BB1將五邊形ANB1C1C折成直二面角ABB1C，如圖乙所示(1)求證：平面BNC平面C1B1N；(2)求圖乙中的多面體的體積(1)證明四邊形BB1C1C為矩形，故B1C1BB1，又由于二面角ABB1C為直二面角，故B1C1平面BB1A，又BN平面BB1A，故B1C1BN，由線段ACCC12AN8知，BBNBBN2，即BNNB1，又B1C1NB1B1，B1C1，NB1平面NB1C1，所以BN平面C1B1N，因為BN平面BNC，所以平面BNC平面C1B1N.(2)解連接CN，過N作NMBB1，垂足為M，V三棱錐CABN×BC·SABN×4××4×4，又B1C1平面ABB1N，所以平面CBB1C1平面ABB1N，且平面CBB1C1ABB1NBB1，NMBB1，NM平面ABB1N，所以NM平面B1C1CB，V四棱錐NBCCB×NM·S矩形BCCB×4×4×8，則此幾何體的體積VV三棱錐CABNV四棱錐NBCCB.思維升華 平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化跟蹤訓(xùn)練3 (2018屆珠海摸底)為了迎接某節(jié)日，商場進行促銷活動，某商場打算將進行促銷活動的禮品盒重新設(shè)計方案如下：將一塊邊長為10的正方形紙片ABCD剪去四個全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH，再將剩下的陰影部分折成一個四棱錐形狀的包裝盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于點O，E與E重合，F(xiàn)與F重合，G與G重合，H與H重合(如圖所示)(1)求證：平面SEG平面SFH；(2)已知AE，過O作OMSH交SH于點M，求cosEMO的值(1)證明折后A，B，C，D重合于一點O，拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，底面EFGH是正方形，故EGFH.連接SO.在原平面圖形中，SEESGG，SESG，EGSO，EGFH，EGSO，F(xiàn)HSOO，F(xiàn)H，SO平面SFH，EG平面SFH，又EG平面SEG，平面SEG平面SFH.(2)解由題意，當(dāng)AE時，OE，RtSHO中，SO5，SH，OM.由(1)知，EO平面SHF，又OM平面SHF，EOOM.在RtEMO中，EM，cosEMO.題型四立體幾何中的存在性問題例4 (2017·北京昌平區(qū)統(tǒng)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為正三角形，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABAD，CD2AB2AD4.(1)求證：平面PCD平面PAD；(2)求三棱錐PABC的體積；(3)在棱PC上是否存在點E，使得BE平面PAD？若存在，請確定點E的位置并證明；若不存在，請說明理由(1)證明因為ABCD，ABAD，所以CDAD.因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.因為CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD. (2)解取AD的中點O，連接PO.因為PAD為正三角形，所以POAD.因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，所以PO為三棱錐PABC的高因為PAD為正三角形，CD2AB2AD4，所以PO.所以V三棱錐PABCSABC·PO××2×2×.(3)解在棱PC上存在點E，當(dāng)E為PC的中點時，BE平面PAD.分別取CP，CD的中點E，F(xiàn)，連接BE，BF，EF，所以EFPD.因為ABCD，CD2AB，所以ABFD，ABFD，所以四邊形ABFD為平行四邊形，所以BFAD.因為BFEFF，ADPDD，所以平面BEF平面PAD.因為BE平面BEF，所以BE平面PAD.思維升華 對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)跟蹤訓(xùn)練4 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，DCAB，PA1，AB2，PDBC.(1)求證：平面PAD平面PCD；(2)試在棱PB上確定一點E，使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為21.(1)證明ADAB，DCAB，DCAD.PA平面ABCD，DC平面ABCD，DCPA.ADPAA，AD，PA平面PAD，DC平面PAD.DC平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)解作EFAB于F點，在ABP中，PAAB，EFPA，EF平面ABCD.設(shè)EFh，AD1，SABCAB·AD1，則V三棱錐EABCSABC·hh.V四棱錐PABCDS四邊形ABCD·PA××1.由VPDCEAV三棱錐EACB21，得h21，解得h.EFPA，故E為PB的中點1(2017·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A3 B2 C2 D2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD2.故選B.2(2018·沈陽月考)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內(nèi)的兩點，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是()A48 B16 C24 D144答案A解析由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因為DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點M，由題意知，PM平面.令BMt，則AM|6t|，PA2(6t)24PA2t2，所以PA24t12.所以PM，即為四棱錐PABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S×(48)×636.所以V×36×1212×448.3(2017·云南省十一校調(diào)研)設(shè)已知m，n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確命題的序號是_答案解析對于，當(dāng)兩個平面互相垂直時，分別位于這兩個平面內(nèi)的兩條直線未必垂直，因此不正確；對于，依據(jù)結(jié)論“由空間一點向一個二面角的兩個半平面(或半平面所在平面)引垂線，這兩條垂線所成的角與這個二面角的平面角相等或互補”可知正確；對于，分別與兩條平行直線平行的兩個平面未必平行，因此不正確；對于，由n得，在平面內(nèi)必存在直線n1平行于直線n，由m，得m，mn1，又n1n，因此有mn，正確綜上所述，所有正確命題的序號是.4.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_(填寫結(jié)論序號)答案解析因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯誤；設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當(dāng)BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當(dāng)點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤5.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，則點P到直線CC1的距離的最小值為_答案解析點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值連接DE，當(dāng)PCDE時，PC的長度最小，此時PC.6(2018屆永州市模擬)如圖，在三棱錐SABC中，SASB，ACBC，O為AB的中點，SO平面ABC，AB4，OC2，N是SA的中點，CN與SO所成的角為，且tan 2.(1)證明：OCON；(2)求三棱錐SABC的體積(1)證明ACBC，O為AB的中點，OCAB，又SO平面ABC，OC平面ABC，OCSO，又ABSOO，AB，SO平面SAB，OC平面SAB，又ON平面SAB，OCON.(2)解設(shè)OA的中點為M，連接MN，MC，則MNSO，故CNM即為CN與SO所成的角，又MCMN且tan 2，MC2MNSO，又MC，即SO，三棱錐SABC的體積VSh··2·4·.7(2018屆武漢調(diào)研)如圖1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點，將ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF平面D1AE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由(1)證明連接BE，ABCD為矩形且ADDEECBC2，AEB90°，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)解AMAB，取D1E的中點L，連接AL，F(xiàn)L，F(xiàn)LEC，ECAB，F(xiàn)LAB且FLAB，M，F(xiàn)，L，A四點共面，若MF平面AD1E，則MFAL.AMFL為平行四邊形，AMFLAB.故線段AB上存在滿足題意的點M，且.8.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDAB2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(1)求證：平面PAB平面EFG；(2)在線段PB上確定一點Q，使PC平面ADQ，并給出證明(1)證明在PCD中，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，EFCD，又四邊形ABCD為正方形，ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理EG平面PAB，EF，EG是平面EFG內(nèi)兩條相交直線，平面PAB平面EFG. (2)解當(dāng)Q為線段PB的中點時，PC平面ADQ.取PB的中點Q，連接DE，EQ，AQ，DQ，EQBCAD，且ADQE，四邊形ADEQ為梯形，由PD平面ABCD，AD平面ABCD，得ADPD，ADCD，PDCDD，PD，CD平面PCD，AD平面PDC，又PC平面PDC，ADPC.PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點，DEPC，AD，DE是平面ADQ內(nèi)的兩條相交直線，PC平面ADQ.9.如圖所示的幾何體PABCD中，四邊形ABCD為菱形，ABC120°，ABa，PBa，PBAB，平面ABCD平面PAB，ACBDO，E為PD的中點，G為平面PAB內(nèi)任一點(1)在平面PAB內(nèi)，過G點是否存在直線l使OEl？如果不存在，請說明理由，如果存在，請說明作法；(2)過A，C，E三點的平面將幾何體PABCD截去三棱錐DAEC，求剩余幾何體AECBP的體積解(1)過G點存在直線l使OEl，理由如下：由題意知O為BD的中點，又E為PD的中點，所以在PBD中，OEPB.若點G在直線PB上，則直線PB即為所求的直線l，所以有OEl；若點G不在直線PB上，在平面PAB內(nèi)，過點G作直線l，使lPB，又OEPB，所以O(shè)El，即過G點存在直線l使OEl.(2)連接EA，EC，則平面ACE將幾何體分成兩部分：三棱錐DAEC與幾何體AECBP(如圖所示)因為平面ABCD平面PAB，且交線為AB，又PBAB，PB平面PAB，所以PB平面ABCD.故PB為幾何體PABCD的高又四邊形ABCD為菱形，ABC120°，ABa，PBa，所以S四邊形ABCD2×a2a2，所以V四棱錐PABCDS四邊形ABCD·PB×a2×aa3.又OE綊PB，所以O(shè)E平面ACD，所以V三棱錐DAECV三棱錐EACDSACD·EOV四棱錐PABCDa3，所以幾何體AECBP的體積VV四棱錐PABCDV三棱錐DEACa3a3a3.19