(文)第2講概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 考情考向·高考導(dǎo)航1以客觀題的形式、考查古典概型、幾何概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度中低檔2在解答題中以實(shí)際生活為背景，考查概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用，概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)真題體驗(yàn)1(2018·全國(guó)卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A0.3B0.4C0.6 D0.7解析：B設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，則P(AB)P(A)P(B)P(AB)，因?yàn)镻(A)0.45，P(AB)0.15，P(AB)0.45P(B)0.151，所以P(B)0.4.2(2017·全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A. B.C. D.解析：B不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半由幾何概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為，選B.3(2019·天津卷)2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除，某單位老、中、青員工分別有72人，108人，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育××繼續(xù)教育×××大病醫(yī)療×××××住房貸款利息××住房租金×××××贍養(yǎng)老人×××(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪()試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；()設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率解：(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6910，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人(2)()從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，C，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，D，C，E，C，F(xiàn)，D，E，D，F(xiàn)，E，F(xiàn)，共15種()由表格知，符合題意的所有結(jié)果為A，B，A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，E，C，F(xiàn)，D，F(xiàn)，E，F(xiàn)，共11種所以，事件M發(fā)生的概率P(M).主干整合1隨機(jī)事件的概率(1)隨機(jī)事件的概率范圍：0P(A)1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.2互斥事件、對(duì)立事件的概率公式(1)P(AB)P(A)P(B)(2)P(A)1P(B)3古典概型的概率公式P(A).4幾何概型的概率公式P(A).1區(qū)分互斥、對(duì)立事件：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件2關(guān)注條件：概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽視只有當(dāng)AB，即A，B互斥時(shí)，P(AB)P(A)P(B)，此時(shí)P(AB)0.熱點(diǎn)一幾何概型數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模幾何概型中的核心素養(yǎng)以幾何概型為基礎(chǔ)，把數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題.題組突破1(2019·日照三模)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A. B. C. D.解析：B如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P.2從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.解析：C如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i1,2，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，由幾何概型的概率公式可得，故.3(2018·全國(guó)卷)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：A設(shè)直角三角形ABC的邊ABa，ACb，則BC，則區(qū)域的面積Sab，區(qū)域的面積S2ab(a2b2)ab，區(qū)域的面積S22S(a2b2)(a2b2)abab.SS，SS(a2b2)S，由幾何概型的概率公式可知p1p2，故選A.求解幾何概型的關(guān)注點(diǎn)(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域熱點(diǎn)二古典概型例1(1)(2019·全國(guó)卷)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為()A. B. C. D.解析B設(shè)5只兔子中測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過(guò)這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能其中恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為.故選B.(2)(2019·昆明二模)某校擬從高二年級(jí)2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)代表學(xué)校參加知識(shí)競(jìng)賽，其中每個(gè)人被選中的可能性均相等求被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的概率；求被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生的概率解析將2名文科生和4名理科生依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6，從2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)記為(a，b，c，d)，其結(jié)果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15種被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的結(jié)果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6種記“被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生”為事件A，則P(A).記“被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生”為事件B，則事件B包含有1名文科生或者2名文科生這兩種情況其對(duì)立事件為“被選中的4名同學(xué)中沒有文科生”，只有一種結(jié)果(3,4,5,6)所以P()，所以P(B)1P()1.利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù)(2)注意點(diǎn)：對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮求其對(duì)立事件的概率(1)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A. B. C. D.解析：C輸入一次密碼能成功開機(jī)的概率P.故選C.(2)(天津卷)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A. B. C. D.解析：C從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P.熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析概率與統(tǒng)計(jì)中的核心素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論. 概率與數(shù)字特征、統(tǒng)計(jì)圖表的交匯例21某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個(gè)企業(yè)各100名員工，得到了A企業(yè)員工月收入(單位：元)的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工月收入(單位：元)的統(tǒng)計(jì)圖如下A企業(yè)員工月收入的頻數(shù)分布表月收入/元人數(shù)2 000,3 000)53 000,4 000)104 000,5 000)205 000,6 000)426 000,7 000)187 000,8 000)38 000,9 000)19 000,10 0001B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計(jì)圖(1)若將頻率視為概率，現(xiàn)從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工月收入不低于5 000元的概率(2)()若從A企業(yè)的月收入在2 000,5 000)的員工中，按分層抽樣的方式抽取7人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，則這2人月收入都不在3 000,4 000)的概率是多少？()若你是一名即將就業(yè)的大學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)知識(shí)，你會(huì)選擇去哪個(gè)企業(yè)就業(yè)？并說(shuō)明理由審題指導(dǎo)(1)由題中B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計(jì)圖知100人中月收入超過(guò)5 000元的人數(shù)，即可得所求概率(2)()由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率；()分別求出A，B兩企業(yè)員工的平均月收入，結(jié)合所求說(shuō)出合理理由即可解析(1)由題中B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計(jì)圖知100人中月收入不低于5 000元的有68人，故所求概率為0.68.(2)()A企業(yè)月收入在2 000,3 000)，3 000,4 000)，4 000,5 000)的人數(shù)比為124，則按分層抽樣的方法抽取的7人中，月收入在3 000,4 000)的人數(shù)為2，設(shè)月收入在3 000,4 000)的2人分別為A，B，其余5人分別為a，b，c，d，e，從這7人中抽取2人共有21種情況，分別為(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，符合抽取的2人月收入都不在3 000,4 000)的情況有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種，故所求事件的概率為.()A企業(yè)員工的平均月收入為×(2 500×53 500×104 500×205 500×426 500×187 500×38 500×19 500×1)5 260(元)B企業(yè)員工的平均月收入為×(2 500×23 500×74 500×235 500×506 500×167 500×2)5 270(元)參考答案1選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高參考答案2選A企業(yè)，A企業(yè)員工的平均月收入只比B企業(yè)低10元，但是A企業(yè)有高收入的團(tuán)體，說(shuō)明發(fā)展空間較大，獲得8 000元以上的高收入是有可能的參考答案3選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高，且低收入人數(shù)少(如有其他情況，只要理由充分，也可)概率與統(tǒng)計(jì)案例的交匯例22(2020·武漢模擬)2019年，在慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年之際，又迎來(lái)了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為口號(hào)的第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)(以下簡(jiǎn)稱“軍運(yùn)會(huì)”)據(jù)悉，這次軍運(yùn)會(huì)于2019年10月18日至27日在美麗的江城武漢舉行，有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名軍人運(yùn)動(dòng)員參賽相對(duì)于奧運(yùn)會(huì)、亞運(yùn)會(huì)等大型綜合賽事，軍運(yùn)會(huì)或許對(duì)很多人來(lái)說(shuō)還很陌生，所以武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛地推介普及軍運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運(yùn)會(huì)”知識(shí)問答比賽為便于對(duì)答卷進(jìn)行對(duì)比研究，組委會(huì)抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他們的成績(jī)(單位：分)頻率分布直方圖如下：(注：答卷滿分為100分，成績(jī)80的答卷為“優(yōu)秀”等級(jí))(1)從現(xiàn)有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分別求答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率；(2)求下面列聯(lián)表中a，b，c，d的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”？男女總計(jì)優(yōu)秀abab非優(yōu)秀cdcd總計(jì)1 0001 0002 000(3)根據(jù)男、女生成績(jī)頻率分布直方圖，對(duì)他們的成績(jī)的優(yōu)劣進(jìn)行比較附：P(K2k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635K2，其中nabcd.審題指導(dǎo)(1)根據(jù)頻率分布直方圖求解即可；(2)首先由條件完成列聯(lián)表，然后由公式求得K2，從而與臨界表比較得出結(jié)論；(3)從中位數(shù)與成績(jī)分布的集中程度進(jìn)行分析得出結(jié)論解析(1)男生答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率P(0.0580.0340.0140.010)×50.58，女生答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率P1(0.0460.0340.0160.010)×50.53.(2)男女總計(jì)優(yōu)秀5805301 110非優(yōu)秀420470890總計(jì)1 0001 0002 000a580，b530，c420，d470.由K2得，K25.0615.024，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”(3)根據(jù)男、女生成績(jī)頻率分布直方圖可得，男、女生成績(jī)的中位數(shù)均在80到85之間，但男生的成績(jī)分布集中程度較女生成績(jī)分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為男生的成績(jī)較好且穩(wěn)定以實(shí)際問題為背景，以統(tǒng)計(jì)圖表為載體考查抽樣方法、數(shù)字特征、概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)是高考常考點(diǎn)，處理的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確獲取信息，成功地將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)概率問題求解(2019·南昌二模)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過(guò)5 000小時(shí)經(jīng)銷商對(duì)B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年新店面只需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營(yíng)業(yè)經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝已知A型和B型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí)假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時(shí)間為3 600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了立即購(gòu)買同型燈管更換(用頻率估計(jì)概率)(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p，那么n支燈管估計(jì)需要更換np支，若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的數(shù)量；(3)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)由題圖可知，各組中值依次為3 100,3 300，3 500，3 700，對(duì)應(yīng)的頻率依次為0.1,0.3,0.4,0.2，故B型節(jié)能燈的平均使用壽命為3 100×0.13 300×0.33 500×0.43 700×0.23 400(小時(shí))(2)由題圖可知，使用壽命不超過(guò)3 600小時(shí)的頻率為0.8，將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為0.8，故估計(jì)一年內(nèi)5支B型節(jié)能燈需更換5×0.84(支)(3)若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5×1203 600×5×20×0.75×103870(元)；若選擇B型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)(54)×253 600×5×55×0.75×103967.5(元)因?yàn)?67.5870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈限時(shí)50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.(2020·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，它形象地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對(duì)統(tǒng)一的形式美按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被y3sinx的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A.B.C. D.解析：B由題意，所求事件的概率模型是一個(gè)與面積相關(guān)的幾何概型由圖可知，大圓的直徑等于函數(shù)y3sinx的周期T.設(shè)大圓的半徑為R，則R×6，則大圓面積為S1R236.兩個(gè)小圓的半徑都為1，故其面積和為S2×12×22，由幾何概型可得，所求事件的概率P.故選B.2(課標(biāo)全國(guó))為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A. B.C. D.解析：C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事件的概率P，故選C.3(2020·?？谀M)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課，每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘，第一節(jié)課上課時(shí)間為7：508：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請(qǐng)假后返校，若他在8：509：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是()A. B.C. D.解析：B他在8：509：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長(zhǎng)度為40，他聽第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘，則他在8：509：00之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長(zhǎng)度為10，所以他在8：509：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是.4(2019·全國(guó)卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A. B.C. D.解析：D本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取等同法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解題兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是.故選D.5(2020·保定模擬)甲、乙、丙三名同學(xué)6次數(shù)學(xué)成績(jī)及班級(jí)平均分(單位：分)如表所示：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲958792938794乙888085788672丙696372717474全班887281807577則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)高于班級(jí)平均水平，且較穩(wěn)定B乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)平均值是81.5分C從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取2次，這2次中至少有1次成績(jī)超過(guò)70分的概率為D在6次數(shù)學(xué)成績(jī)中，乙同學(xué)成績(jī)超過(guò)班級(jí)平均分的概率為解析：D由統(tǒng)計(jì)表知，甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)高于班級(jí)平均水平，且較穩(wěn)定，故A正確；乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)平均值是×(888085788672)81.5，故B正確；從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取2次的所有可能情況為(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6種，至少有1次成績(jī)超過(guò)70分的情況為(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5種，故所求概率為，故C正確；在6次數(shù)學(xué)成績(jī)中，乙同學(xué)成績(jī)超過(guò)班級(jí)平均分的次數(shù)為2，所以超過(guò)班級(jí)平均分的概率為，故D不正確故選D.6(2019·濰坊三模)某商場(chǎng)對(duì)某一商品搞活動(dòng)，已知該商品每一個(gè)的進(jìn)價(jià)為3元，銷售價(jià)為8元，每天銷售的第20個(gè)及之后的商品按半價(jià)出售，該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷售量，如圖所示設(shè)x為這種商品每天的銷售量，y為該商場(chǎng)每天銷售這種商品的利潤(rùn)從日利潤(rùn)不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤(rùn)都是97元的概率為()A. B.C. D.解析：B當(dāng)日銷售量不少于20個(gè)時(shí)，日利潤(rùn)不少于96元，其中日銷售量為20個(gè)時(shí)，日利潤(rùn)為96元；日銷售量為21個(gè)時(shí)，日利潤(rùn)為97元從條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，日銷售量為20個(gè)的3天，日銷售量為21個(gè)的有2天日銷售量為20個(gè)的3天，分別記為a，b，c，日銷售量為21個(gè)的2天，分別記為A，B，從這5天中任選2天，可能的情況有10種：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中選出的2天日銷售量都為21個(gè)的情況只有1種，故所求概率P.二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7已知1,4,2,8，y這5個(gè)數(shù)的平均值為4，在2,0,1，y這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則2是取出的3個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的概率為_解析：由題意得4×51428y，得y5，從數(shù)2,0,1,5中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4種不同情況，其中2是取出的3個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2種，對(duì)應(yīng)的概率P.答案：8(2019·江蘇卷)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_解析：計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán)在處理問題的過(guò)程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，設(shè)3名男同學(xué)為A1、A2、A3,2名女同學(xué)為B1、B2，則從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10種情況若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有B1B2共1種情況，所以所求的概率為.答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9(2020·武漢模擬)某公司為了提高利潤(rùn)，從2013年至2019年每年都對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額x(單位：萬(wàn)元)與年利潤(rùn)增長(zhǎng)量y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如表：年份2013201420152016201720182019投資金額x/萬(wàn)元4.55.05.56.06.57.07.5年利潤(rùn)增長(zhǎng)量y/萬(wàn)元6.07.07.48.18.99.611.1(1)請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程如果2020年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬(wàn)元，估計(jì)該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)量為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)現(xiàn)從2013年至2019年這7年中抽出兩年進(jìn)行調(diào)查，記年利潤(rùn)增長(zhǎng)量投資金額，求這兩年都是2萬(wàn)元的概率解析：(1)6，8.3,7 348.6，8.31.571×61.1261.13，所以回歸直線方程為1.57x1.13.將x8代入方程得1.57×81.1311.43，即該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)量大約為11.43萬(wàn)元(2)由題意可知，年份2013201420152016201720182019/萬(wàn)元1.521.92.12.42.63.62013年至2019年這7年分別記為1,2,3,4,5,6,7，則總的基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21種，抽出的兩年都是2萬(wàn)元的情況為(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6種，所以抽出的兩年都是2萬(wàn)元的概率P.10(2019·北京卷)改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變，近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2 000元大于2 000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由解析：本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力(1)由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，由題意知A，B兩種支付方式都不使用的有5人，所以樣本中兩種支付方式都使用的有1003025540，所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有×1 000400(人)(2)因?yàn)闃颖局袃H使用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2 000元，所以該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率為.(3)由(2)知支付金額大于2 000元的概率為，因?yàn)閺膬H使用B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個(gè)月多答案：(1)400人(2)(3)見解析11(2020·遼寧六校協(xié)作體聯(lián)考)十九大報(bào)告指出，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進(jìn)行銷售為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚測(cè)量它們的質(zhì)量(單位：克)，其質(zhì)量分布在區(qū)間1 500,3 000內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在1 750,2 000)，2 000，2 250)內(nèi)的蜜柚中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚的質(zhì)量均小于2 000克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5 000個(gè)蜜柚待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A所有蜜柚均以40元/千克的價(jià)格收購(gòu)；B質(zhì)量低于2 250克的蜜柚以60元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)，質(zhì)量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案解析：(1)由題意得蜜柚質(zhì)量在1 750,2 000)內(nèi)和在2 000，2 250)內(nèi)的比例為23，所以應(yīng)分別從質(zhì)量在1 750,2 000)內(nèi)和在2 000，2 250)內(nèi)的蜜柚中各抽取2個(gè)和3個(gè)記抽取質(zhì)量在1 750,2 000)內(nèi)的蜜柚為A1，A2，質(zhì)量在2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚為B1，B2，B3，則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有以下10種：A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3其中2個(gè)蜜柚的質(zhì)量均小于2 000克的僅有A1，A2這1種情況，故所求概率為.(2)方案A好，理由如下由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在1 500,1 750)內(nèi)的頻率為250×0.000 40.1，同理可得，蜜柚質(zhì)量在1 750,2 000)，2 000,2 250)，2 250，2 500)，2 500,2 750)，2 750,3 000內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收購(gòu)，根據(jù)題意可得各組蜜柚的個(gè)數(shù)依次為500,500,750，2 000，1 000,250.則總收益為(×500×500×750×2 000×1 000×250)×40÷1 000×250×(67)×2(78)×2(89)×3(910)×8(1011)×4(1112)×1×40÷1 0001 250×(2630511528423)457 500(元)若按方案B收購(gòu)，易知蜜柚質(zhì)量低于2 250克的個(gè)數(shù)為(0.10.10.15)×5 0001 750，蜜柚質(zhì)量不低于2 250的個(gè)數(shù)為5 0001 7503 250.所以總收益為1 750×603 250×80250×20×(7×313×4)365 000(元)因?yàn)?57 500365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以應(yīng)該選擇方案A.(文)高考解答題·審題與規(guī)范(六)概率與統(tǒng)計(jì)類考題重在“辨析”“辨型”“辨圖”思維流程概率與統(tǒng)計(jì)問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型找到，問題便迎刃而解而概率與統(tǒng)計(jì)模型的提取往往需要經(jīng)過(guò)觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過(guò)程，同時(shí)，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別，合理劃分復(fù)雜事件.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2018·全國(guó)卷)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)(1)利用頻數(shù)計(jì)算出頻率，然后根據(jù)頻率/組距畫出頻率分布直方圖；(2)計(jì)算出日用水量小于0.35 m3的頻率即可估計(jì)概率；(3)首先計(jì)算出50天未使用節(jié)水龍頭的日用水量的平均數(shù)和使用了節(jié)水龍頭的日用水量的平均數(shù)，再求出一年能節(jié)省的水量即可.審圖表、數(shù)據(jù)題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問題的基本信息，也往往暗示著解決問題的目標(biāo)和方向在審題時(shí)，認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，常?？梢哉业浇鉀Q問題的思路和方法.規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則解析(1)4分(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.11×0.12.6×0.12×0.050.48，8分因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35 m3的概率的估計(jì)值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量的平均數(shù)為1(0.05×10.15×30.25×20.35×40.45×90.55×260.65×5)0.48.9分該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天的日用水量的平均數(shù)為2(0.05×10.15×50.25×130.35×100.45×160.55×5)0.35.10分估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.480.35)×36547.45(m3).12分第(1)問踩點(diǎn)得分畫出頻率分布直方圖，正確得4分，有一處正確均得1分第(2)問踩點(diǎn)得分正確求出使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率得4分，寫對(duì)式子得2分，計(jì)算正確再得2分第(3)問踩點(diǎn)得分計(jì)算出該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)，得1分計(jì)算出該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)，得1分計(jì)算結(jié)果正確得2分，結(jié)果錯(cuò)誤不得分.- 19 -