第一節(jié)平面向量的概念及線性運算考綱傳真1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量(5)相反向量：長度相等且方向相反的向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量(6)向量平行或共線：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)，使得ba.1一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即An1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量2若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則()3.xy(x，y為實數(shù))，若點A，B，C共線，則xy1.4ABC中，0點P為ABC的重心基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量()(2)若ab，bc，則ac()(3)ab是ab(R)的充要條件()(4)ABC中，D是BC的中點，則()()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是()AB與共線C與是相反向量D|D選項D中，故D錯誤3對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A由ab0得ab，根據(jù)向量共線定理知ab，但abDab0，故選A4(教材改編)如圖，ABCD的對角線交于M，若a，b，用a，b表示為()AabBabCabDabDab，故選D5(教材改編)化簡：(1)()_.(2)_.(1)(2)0(1)原式.(2)原式0.平面向量的有關(guān)概念1給出下列命題：若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若A，B，C，D是不共線的四點，且，則ABCD為平行四邊形；ab的充要條件是|a|b|且ab；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的個數(shù)是()A1 B2C3D4A是錯誤的，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點是正確的，因為，所以|且；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形是錯誤的，當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件是錯誤的，當(dāng)0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線2設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0 B1 C2D3D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.規(guī)律方法辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等(4)單位向量是長度都是一個單位長度的向量(5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線平面向量的線性運算【例1】(1)在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，則()ABCD(2)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC若12(1、2為實數(shù))，則12的值為_(1)B(2)(1)在四邊形ABCD中，如圖所示，因為，所以四邊形ABCD為平行四邊形由已知得，由題意知DEFBEA，則，所以()×，所以，故選B(2)()，所以1，2，即12.規(guī)律方法向量的線性運算的求解方法(1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解 (1)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()ABCD(2)在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.(1)A(2)(1)因為3，所以，所以().故選A(2)由題中條件得，()xy，所以x，y.共線向量定理的應(yīng)用【例2】設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)kab和akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k±1.規(guī)律方法共線向量定理的3個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)，使ab(b0)，則a與b共線(2)證明三點共線：若存在實數(shù)，使，則A，B，C三點共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點 (1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，則()AA，B，C三點共線BA，B，D三點共線CA，C，D三點共線DB，C，D三點共線(2)(2019·黃山模擬)已知向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m4ab與nab共線，則實數(shù)的值為()A4 B C D4(1)B(2)B(1)2a6b2(a3b)2，共線，又有公共點B，A，B，D三點共線故選B(2)由題意知mkn，即4abk(ab)解得故選B1(2018·全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則()ABCDA由題可得()，故選A2(2014·全國卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()ABCDC如圖，()·2.3(2015·全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得- 8 -