選修4­2矩陣與變換第1課時(shí)線性變換、二階矩陣及其乘法掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的平面變換的幾何表示及其幾何意義.掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的平面變換的幾何表示及其幾何意義，并能應(yīng)用這幾種常見的平面變換進(jìn)行解題.1. 已知矩陣M，MXY且Y，求矩陣X.解：設(shè)X，則，所以由得故X.2. 點(diǎn)（1，k）在伸壓變換矩陣之下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），求m，k的值.解：， 解得3. 已知在一個(gè)二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下，將點(diǎn)（1，1），（1，2）分別變換成（1，1），（2，4），求矩陣M.解：設(shè)M，則，即由題意可得，即聯(lián)立兩個(gè)方程組，解得即矩陣M.4. 已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對(duì)應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程.解：設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q（x，y），則，即x2yx，xy，所以xy，y.代入x22xy2y21，得y22y·21，即x2y22，所以曲線C1的方程為x2y22.5. 求使等式M成立的矩陣M.解：設(shè)M， . ， M.1. 二階矩陣與平面向量（1） 矩陣的概念在數(shù)學(xué)中，把形如，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣，其中，同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，而組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣的元素.（2） 行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則a11a12a11×b11a12×b21.（3） 二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則.2. 幾種常見的平面變換（1） 當(dāng)M時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換是恒等變換.（2） 由矩陣M或M（k>0，且k1）確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換.（3） 反射變換是軸反射變換、中心反射變換的總稱.（4） 當(dāng)M時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，即把平面圖形（或點(diǎn)）繞某個(gè)定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度.（5） 將一個(gè)平面圖形投影到某條直線（或某個(gè)點(diǎn)）的變換稱為投影變換.（6） 由矩陣M或M（kR，k0）確定的變換稱為切變變換.3. 線性變換的基本性質(zhì)（1） 設(shè)向量，則.（2） 設(shè)向量，則.（3） A是一個(gè)二階矩陣，是平面上任意兩個(gè)向量，是任一實(shí)數(shù)，則A（）A，A（）AA.（4） 二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變成直線（或一點(diǎn)）.4. 二階矩陣的乘法（1） A，B，則AB.（2） 矩陣乘法滿足結(jié)合律：（AB）CA（BC）.備課札記1二階矩陣的運(yùn)算1已知矩陣A，B，向量.若AB，求實(shí)數(shù)x，y的值.解：A，B，由AB，得解得變式訓(xùn)練已知矩陣A，B，滿足AXB，求矩陣X.解：設(shè)X，由，得解得此時(shí)X.,2求變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線方程),2)（1） （2017·蘇北四市期中）求橢圓C：1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程.（2） 設(shè)M，N，試求曲線ysin x在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下的曲線方程.解：（1） 設(shè)橢圓C上的點(diǎn)（x1，y1）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)（x，y），則，則代入橢圓方程1，得x2y21，所以所求曲線的方程為x2y21.（2） MN，設(shè)（x，y）是曲線ysin x上的任意一點(diǎn)，在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y）.則，所以即代入ysin x，得ysin 2x，即y2sin 2x.即曲線ysin x在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下的曲線方程為y2sin 2x.變式訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（1，2）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A，將點(diǎn)B（3，4）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo).解：設(shè)B（x，y），依題意，由，得A（1，2）.則（2，2），（x1，y2）.記旋轉(zhuǎn)矩陣N，則，即，解得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）.,3根據(jù)變換前后的曲線方程求矩陣),3)已知矩陣A，直線l：xy40在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xy2a0.（1） 求實(shí)數(shù)a的值；（2） 求A2.解：（1） 設(shè)直線l上任一點(diǎn)M0（x0，y0）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)閘上的點(diǎn)M（x，y），則，所以代入l方程得（ax0y0）（x0ay0）2a0，即（a1）x0（a1）y02a0.因?yàn)椋▁0，y0）滿足x0y040，所以4，解得a2.（2） 由A，得A2.變式訓(xùn)練（2017·鎮(zhèn)江期末）已知實(shí)數(shù)a，b，矩陣A對(duì)應(yīng)的變換將直線xy10變換為自身，求a，b的值.解：設(shè)直線xy10上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P（x，y），由，得因?yàn)镻（x，y）在直線xy10上，所以xy10，即（1b）x（a3）y10.因?yàn)镻（x，y）在直線xy10上，所以xy10.因此解得已知直線l：xy1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xy1，求矩陣A.解：設(shè)直線l：xy1上任意一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，變換為點(diǎn)M（x，y）.由，得又點(diǎn)M（x，y）在l上，所以xy1，即（mxny）y1.依題意解得所以A.,4平面變換的綜合應(yīng)用),4)已知M，N，向量.求證：（1） （MN）M（N）；（2） 這兩個(gè)矩陣不滿足MNNM.證明：（1） 因?yàn)镸N，所以（MN）.因?yàn)镹，所以M（N），所以（MN）M（N）.（2） 由（1）知MN，NM，所以這兩個(gè)矩陣不滿足MNNM.在直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0），B（1，2），C（0，3）.求ABC在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得到的圖形的面積.解：因?yàn)?，所以A（0，0），B（1，2），C（0，3）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得到的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0），B（2，1），C（3，0）.故SABCAC·|yB|.1. （2017·南京、鹽城模擬）設(shè)a，bR，若直線l：axy70在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l：9xy910.求實(shí)數(shù)a，b的值.解：（解法1）取直線l：axy70上點(diǎn)A（0，7），B（1，7a）.因?yàn)?，所以A（0，7），B（1，7a）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下分別得到點(diǎn)A（0，7b），B（3，b（7a）1）.由題意，知A，B在直線l：9xy910上，所以解得（解法2）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q（x，y）.因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q（x，y）在直線l上，所以9xy910.即27x（xby）910，也即26xby910.又點(diǎn)P（x，y）在直線l上，所以有axy70.所以，解得a2，b13.2. 已知在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下把點(diǎn)（1，1）變換成點(diǎn)（2，2）.（1） 求a，b的值，（2） 求曲線C：x2y21在矩陣A的變換作用下對(duì)應(yīng)的曲線方程.解：（1） 由，得 （2） 設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M（x0，y0）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)M（x，y）， A， ，即 點(diǎn)M在曲線C上， 1.故所求曲線方程為x2xyy21.3. 已知a，bR，若在矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換作用下把直線2xy3變換成自身，試求實(shí)數(shù)a，b.解：設(shè)直線2xy3上任意一點(diǎn)A（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A0（x0，y0），則，得 2x0y03， 2（xay）（bx3y）3.即（2b）x（2a3）y3.此直線即為2xy3， 解得4. 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，1）與（2，1）分別變換成點(diǎn)（1，1）與（0，2）.設(shè)直線l在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了直線m：xy4，求l的方程.解：設(shè)M，則有，所以解得所以M.設(shè)直線l上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P（x，y）.因?yàn)?，所以又m：xy4，所以直線l的方程為（x2y）（3x4y）4，即xy20.1. 求曲線|x|y|1在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積.解：設(shè)點(diǎn)（x0，y0）為曲線|x|y|1上的任意一點(diǎn)，在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（x，y），則，所以所以曲線|x|y|1在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為|x|3|y|1，所圍成的圖形為菱形，其面積為×2×.2. 已知直線l：axy1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xby1.（1） 求實(shí)數(shù)a，b的值；（2） 若點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上，且A，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解： （1） 設(shè)直線l上一點(diǎn)（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得點(diǎn)（x，y），則， 代入直線l，得2x（b3）y1， a2，b2.（2） 點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上， 2x0y01.由，得 P.3. 設(shè)數(shù)列an，bn滿足an12an3bn，bn12bn，且滿足M，求二階矩陣M.解： 依題設(shè)有，令A(yù)，則MA4，A2.MA4（A2）2.4. 已知直線l：axy0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線l，若直線l過點(diǎn)（1，1），求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)P（x，y）為直線l上任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l上的點(diǎn)P（x，y），則，即 代入axy0，整理，得（2a1）xay0.將點(diǎn)（1，1）代入上述方程，解得a1.幾種特殊的變換反射變換：M：點(diǎn)的變換為（x，y）（x，y），變換前后關(guān)于x軸對(duì)稱；M：點(diǎn)的變換為（x，y）（x，y），變換前后關(guān)于y軸對(duì)稱；M：點(diǎn)的變換為（x，y）（x，y），變換前后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；M：點(diǎn)的變換為（x，y）（y，x），變換前后關(guān)于直線yx對(duì)稱.投影變換：M：將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直投影到x軸上，點(diǎn)的變換為（x，y）（x，0）；M：將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直投影到y(tǒng)軸上，點(diǎn)的變換為（x，y）（0，y）；M：將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直于x軸方向投影到y(tǒng)x上，點(diǎn)的變換為（x，y）（x，x）；M：將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)平行于x軸方向投影到y(tǒng)x上，點(diǎn)的變換為（x，y）（y，y）；M：將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直于yx方向投影到y(tǒng)x上，點(diǎn)的變換為（x，y）.第2課時(shí)逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與 特征向量（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書（理）194197頁(yè)） 掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算. 會(huì)求二階矩陣的特征值和特征向量，會(huì)利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算. 理解逆矩陣的意義，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算. 會(huì)求二階矩陣的特征值和特征向量，會(huì)利用矩陣求解方程組，會(huì)利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算.1. 設(shè)二階矩陣A，B滿足A1，BA，求B1.解： BBAA1，設(shè)B1，則，即， 解得 B1.2. 已知矩陣A，B，求矩陣A1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則，即，所以a1，bc0，d，從而矩陣A的逆矩陣為A1，所以A1B.3. 已知矩陣M的一個(gè)特征值為2，求M2.解：將2代入2（x1）（x5）0，得x3. 矩陣M， M2.4. 設(shè)是矩陣M的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)是矩陣M屬于特征值的一個(gè)特征向量，則，故解得5. 已知矩陣M的屬于特征值8的一個(gè)特征向量是e，點(diǎn)P（1，2）在M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：由題意知8×，故解得 ， 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，4）.1. 逆變換與逆矩陣（1） 對(duì)于二階矩陣A，B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.（2） 若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且（AB）1B1A1.（3） 利用行列式解二元一次方程組.2. 特征值與特征向量（1） 設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使A，那么稱為A的一個(gè)特征值，而稱為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量.（2） 從幾何上看，特征向量經(jīng)過矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用后，與原向量保持在同一條直線上，這時(shí)特征向量或者方向不變（>0），或者方向相反（<0）.特別地，當(dāng)0時(shí)，特征向量就被變換成了零向量.,1求逆矩陣與逆變換),1)已知矩陣A，B.求矩陣C，使得ACB.解： 因?yàn)閐et（A）2×31×15，所以A1.由ACB，得（A1A）CA1B，所以CA1B.變式訓(xùn)練 （2017·常州期末）已知矩陣A，列向量X，B.若AXB，直接寫出A1，并求出X.解：由A，得A1.由AXB，得XA1B.,2求特征值與特征向量),2)求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.解：特征多項(xiàng)式f（）（3）21268.由f（）0，解得12，24.將12代入特征方程組，得xy0，可取為屬于特征值12的一個(gè)特征向量.同理，當(dāng)24時(shí)，由xy0，所以可取為屬于特征值24的一個(gè)特征向量.綜上所述，矩陣有兩個(gè)特征值12，24；屬于12的一個(gè)特征向量為，屬于24的一個(gè)特征向量為.變式訓(xùn)練（2017·蘇北三市模擬）已知矩陣A，若A，求矩陣A的特征值.解： 因?yàn)锳，所以 解得 所以A.所以矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（）（2）（1）6234.令f（）0，解得矩陣A的特征值為11，24.,3根據(jù)特征值或特征向量求矩陣),3)已知矩陣A.若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為1，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為2，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣.解：由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為1，可得6，即cd6.由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為2，可得，即3c2d2.聯(lián)立解得即A，所以A的逆矩陣是.已知二階矩陣M有特征值3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并且在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下將點(diǎn)（1，2）變換成（9，15），求矩陣M.解： 設(shè)M，則3，故，故聯(lián)立以上兩個(gè)方程組解得故M.,4特征值與特征向量的綜合應(yīng)用),4)已知矩陣A，向量，計(jì)算A5.解：因?yàn)閒（）256.由f（）0，得2或3.當(dāng)2時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為1；當(dāng)3時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為2.設(shè)mn，解得所以A52×251×35.變式訓(xùn)練已知矩陣M的兩個(gè)特征向量1，2.若，求M2.解：設(shè)矩陣M的特征向量1對(duì)應(yīng)的特征值為1，特征向量2對(duì)應(yīng)的特征值為2，則由可解得又2122，所以M2M2（122）12242.1. （2017·蘇州期初）已知為矩陣A屬于的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，的值及A2.解：由條件可知，所以解得因此A，所以A2.2. （2017·蘇州期中）已知二階矩陣M有特征值8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并且矩陣M將點(diǎn)（1，3）變換為（0，8）.（1） 求矩陣M；（2） 求曲線x3y20在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的新曲線方程.解：（1） 設(shè)M，由8及，得解得 M.（2） 設(shè)原曲線上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P（x，y），則，即解得代入x3y20并整理得x2y40，即曲線x3y20在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的新曲線方程為x2y40.3. （2017·南京、鹽城期末）設(shè)矩陣M的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，求實(shí)數(shù)m與的值.解：由題意得，則解得4. （2017·無錫期末）已知變換T將平面內(nèi)的點(diǎn)，（0，1）分別變換成點(diǎn)，.設(shè)變換T對(duì)應(yīng)的矩陣為M.（1） 求矩陣M；（2） 求矩陣M的特征值.解：（1） 設(shè)M，則，得a3，b，c4，d4， M.（2） 設(shè)矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（）， f（）（3）（4）6276.令f（）0，則11，26.1. 已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣A所對(duì)應(yīng)的變換T把點(diǎn)（2，3）變成點(diǎn)（3，4）.（1） 求a，b的值；（2） 若矩陣A的逆矩陣為B，求B2.解：（1） 由題意，得，故解得（2） 由（1），得A.由矩陣的逆矩陣公式得B.所以B2.2. （2017·南通、泰州模擬）設(shè)矩陣A滿足：A，求矩陣A的逆矩陣A1.解：（解法1）設(shè)矩陣A，則，所以a1，2a6b2，c0，2c6d3.解得b0，d，所以A.根據(jù)逆矩陣公式得A1.（解法2）在A兩邊同時(shí)左乘逆矩陣A1，得A1.設(shè)A1，則，所以a1，2a3b2，c0，2c3d6.解得a1，b0，c0，d2，從而A1.3. 已知矩陣M，求逆矩陣M1的特征值.解：設(shè)M1，則MM1，所以，所以解得所以M1.M1的特征多項(xiàng)式為f（）（1），令f（）0，解得1或.所以矩陣M的逆矩陣M1的特征值為1和.4. 已知矩陣M，計(jì)算M6.解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（）223.令f（）0，解得13，21，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為1，2.令m1n2，得m4，n3.M6M6（4132）4（M61）3（M62）4×363×（1）6.備課札記16