2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5
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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5
二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)習(xí)目標(biāo):1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式(重點(diǎn))2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式,了解貝努利不等式的應(yīng)用條件(難點(diǎn))教材整理用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式閱讀教材P50P53,完成下列問(wèn)題1貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù),且x>1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1x)n>1nx.2在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由nk成立,推導(dǎo)nk1成立時(shí),常常要與其他方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5 D6Cn取1,2,3,4時(shí)不等式不成立,起始值為5.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例1】已知Sn1(n>1,nN),求證:S2n>1(n2,nN)精彩點(diǎn)撥先求Sn 再證明比較困難,可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明,注意Sn表示前n項(xiàng)的和(n>1),首先驗(yàn)證n2;然后證明歸納遞推自主解答(1)當(dāng)n2時(shí),S221>1,即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k2,kN)時(shí)命題成立,即S2k1>1.當(dāng)nk1時(shí),S2k11>1>111.故當(dāng)nk1時(shí),命題也成立由(1)(2)知,對(duì)nN,n2,S2n>1都成立此題容易犯兩個(gè)錯(cuò)誤,一是由nk到nk1項(xiàng)數(shù)變化弄錯(cuò),認(rèn)為的后一項(xiàng)為,實(shí)際上應(yīng)為;二是共有多少項(xiàng)之和,實(shí)際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增,項(xiàng)數(shù)為2k1(2k1)12k.1若在本例中,條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)1(nN),由f(1)1>, f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,” .試問(wèn):f(2n1)與大小關(guān)系如何?試猜想并加以證明解數(shù)列1,3,7,15,通項(xiàng)公式為an2n1,數(shù)列,1,2,通項(xiàng)公式為an,猜想:f(2n1)>.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),f(211)f(1)1>,不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí)不等式成立,即f(2k1)>,當(dāng)nk1時(shí),f(2k11)f(2k1)>f(2k1)f(2k1)>.當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知對(duì)任何nN原不等式均成立【例2】證明:2n2>n2(nN)精彩點(diǎn)撥自主解答(1)當(dāng)n1時(shí),左邊2124;右邊1,左邊>右邊;當(dāng)n2時(shí),左2226,右224,所以左>右;當(dāng)n3時(shí),左23210,右329,所以左>右因此當(dāng)n1,2,3時(shí),不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí),不等式成立,即2k2k2(kN)當(dāng)nk1時(shí),2k122·2k22(2k2)2>2k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3),k3,(k1)(k3)0,(k1)2(k1)(k3)(k1)2,所以2k12>(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí),原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知,原不等式對(duì)于任何nN都成立1本例中,針對(duì)目標(biāo)k22k1,由于k的取值范圍(k1)太大,不便于縮小因此,用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1,2,3)的方法,使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3,促使放縮成功,達(dá)到目標(biāo)2利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為滿(mǎn)足題目的要求,常常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個(gè)難點(diǎn),解決這個(gè)難題一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu),二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累2用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù),不等式均成立證明(1)當(dāng)n2時(shí),左邊1;右邊.左邊右邊,不等式成立;(2)假設(shè)nk(k2,且kN)時(shí)不等式成立,即.則當(dāng)nk1時(shí),·.當(dāng)nk1時(shí),不等式也成立由(1)(2)知,對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.不等式中的探索、猜想、證明【例3】若不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論精彩點(diǎn)撥先通過(guò)n取值計(jì)算,求出a的最大值,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,證明時(shí),根據(jù)不等式特征,在第二步,運(yùn)用比差法較方便自主解答當(dāng)n1時(shí),>,則>,a<26.又aN,取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明>.(1)n1時(shí),已證(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)(k1,kN),>,當(dāng)nk1時(shí),>,>,>0,>也成立由(1)(2)可知,對(duì)一切nN,都有>,a的最大值為25.1不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,探究結(jié)論,但結(jié)論必須證明2本題中從nk到nk1時(shí),左邊添加項(xiàng)是.這一點(diǎn)必須清楚3設(shè)an1(nN),是否存在n的整式g(n),使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)對(duì)大于1的一切正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論解假設(shè)g(n)存在,那么當(dāng)n2時(shí),由a1g(2)(a21),即1g(2),g(2)2;當(dāng)n3時(shí),由a1a2g(3)(a31),即1g(3),g(3)3,當(dāng)n4時(shí),由a1a2a3g(4)(a41),即1g(4),g(4)4,由此猜想g(n)n(n2,nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n2,nN時(shí),等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)當(dāng)n2時(shí),a11,g(2)(a21)2×1,結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN)時(shí)結(jié)論成立,即a1a2a3ak1k(ak1)成立,那么當(dāng)nk1時(shí),a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11),說(shuō)明當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論也成立,由(1)(2)可知 ,對(duì)一切大于1的正整數(shù)n,存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立1數(shù)學(xué)歸納法適用于證明的命題的類(lèi)型是()A已知結(jié)論B結(jié)論已知C直接證明比較困難 D與正整數(shù)有關(guān)D數(shù)學(xué)歸納法證明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題故應(yīng)選D.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2,nN)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12 B12C12 D12An02時(shí),首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為.3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立,起始值至少取()A7 B8C9 D10B左邊等比數(shù)列求和Sn2,即1,n7,n取8,選B.4用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN,n>1)時(shí),第一步證明不等式_成立解析因?yàn)閚>1,所以第一步n2,即證明1<2成立答案1<25試證明:1<2(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí),不等式成立(2)假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),不等式成立,即1<2.那么nk1時(shí),<2< 2.這就是說(shuō),nk1時(shí),不等式也成立根據(jù)(1)(2)可知不等式對(duì)nN成立- 8 -