《2019-2020學年高中數學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運算 3.1.2 空間向量的數乘運算學案 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運算 3.1.2 空間向量的數乘運算學案 新人教A版選修2-1（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、3.1.1　空間向量及其加減運算3.1.2　空間向量的數乘運算 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1．理解空間向量的概念．(難點) 2．掌握空間向量的線性運算．(重點) 3．掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應用．(重點、難點) 1．通過空間向量有關概念的學習，培養(yǎng)學生的數學抽象核心素養(yǎng)． 2．借助向量的線性運算、共線向量及共面向量的學習，提升學生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng). 1．空間向量 (1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)長度或模：向量的大?。? (3)表示方法： ①幾何表示法：空間向量用有向線段表示； ②字母表示法：用字母a，

2、b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：，其模記為|a|或||． 2．幾類常見的空間向量 名稱 方向 模 記法 零向量 任意 0 0 單位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.向量的加法、減法 空間向量的運算 加法 ＝＋＝a＋b 減法 ＝－＝a－b 加法 運算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 4.空間向量的數乘運算 (1)定義：實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．當

3、λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍． (2)運算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a． 5．共線向量和共面向量 (1)共線向量 ①定義：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量． ②共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ使a＝λb． ③點P在直線AB上的充要條件：存在實數t，使＝＋t． (2)共面向量 ①定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量． ②共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量

4、p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝x_a＋y_b． ③空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對(x，y) 使＝x＋y或對空間任意一點O，有＝＋x＋y． 思考：(1)空間中任意兩個向量一定是共面向量嗎？ (2)若空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，滿足＝＋＋，則點P與點A，B，C是否共面？ [提示]　(1)空間中任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一個平面的兩個向量，因此一定是共面向量． (2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－) 即＝＋，因此點P與點A，B，C共面． 1．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，

5、可作為直線A1B1的方向向量的有(　　) A．1個　　　B．2個　　　C．3個　　　D．4個 D　[共四條：AB，A1B1，CD，C1D1.] 2．已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A．a＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c C　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.] 3．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則＋－－化簡的結果為________． 0　[延長DE交邊BC于點F，則有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡向量表達式－＋－的結果為________．

6、2　[－＋－＝(＋)－(＋) ＝－＝2.] 　空間向量的有關概念 【例1】　(1)給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|； ③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，＝； ④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p. 其中正確命題的序號是________． (2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量相等的向量有________；與向量相反的向量有________．(要求寫出所有適合條件的向量) (1)②③④　(2)，，　，，，　[(1)對于①，向量a與b的

7、方向不一定相同或相反，故①錯； 對于②，根據相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確； 對于③，根據相等向量的定義知，＝，故③正確； 對于④，根據相等向量的定義知正確．] (2)根據相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，.與向量相反的向量有，，，.] 解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點 (1)關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向． (2)注意點：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性． ②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. ③兩個向量模相等，不一定是相等向量

8、；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 1．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中， (1)試寫出與相等的所有向量； (2)試寫出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． [解]　(1)與向量相等的向量有，，，，共3個； (2)向量的相反向量為，，，，共4個； (3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3. 　空間向量的線性運算 【例2】　(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的有(　　)

9、①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個 (2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量： ①； ②； ③＋. 思路探究：(1)根據向量的三角形法則和平行四邊形法則求解． (2)根據數乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解． (1)D　[對于①，(＋)＋＝＋＝， 對于②，(＋)＋＝＋＝， 對于③，(＋)＋＝＋＝， 對于④，(＋)＋＝＋＝.] (2)解：①∵點P是C1D1的中點，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋

10、b， ②∵點N是BC的中點，∴＝＋＋ ＝－＋＋＝－a＋b＋c， ③∵點M是AA1的中點，∴＋＝＋＋＋＋ ＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c. 1．空間向量加法、減法運算的兩個技巧 (1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果． 2．利用數乘運算進行向量表示的技巧 (1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．

11、 (2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質． 2.如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN，設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量. [解]　＝＋ ＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋ ＝＋ ＝＋＋＝a＋b＋c. 　共線問題 【例3】　(1)設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數k＝________． (2)如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且A1O＝，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線

12、． 思路探究：(1)根據向量共線的充要條件求解． (2)用向量，，分別表示和. (1)1　[＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 設＝λ，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以，解得k＝1.] (2)解：設＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋) ＝＋－－＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋， ＝a＋b＋c， ∴＝3，又直線MC1與直線MO有公共點M， ∴C1，O，M三點共線． 1.判斷向量共線的策略 (1)熟記共線向量的充要條件：①若a∥b，b≠0，則存在唯一實

13、數λ使a＝λb；②若存在唯一實數λ，使a＝λb，b≠0)，則a∥b. (2)判斷向量共線的關鍵：找到實數λ. 2.證明空間三點共線的三種思路 對于空間三點P，A，B可通過證明下列結論來證明三點共線. (1)存在實數λ，使＝λ成立. (2)對空間任一點O，有＝＋t（t∈R）. (3)對空間任一點O，有＝x＋y（x＋y＝1）. 3．(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　) A．A，B，D　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[因為＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b

14、 所以＝3. 又直線AB，AD有公共點A，故A，B，D三點共線．] (2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在對角線A1C上，且＝. 求證：E，F，B三點共線． [證明]　設＝a，＝b，＝c， 因為＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，所以E，F，B三點共線． 　向量共面問題 [探究問題] 1．能說明P，A，B，C四點共面的結論有哪些？ [提示]　(1)存在有序實數對(x，y)，使得＝x＋y. (2)空間一點P在平面A

15、BC內的充要條件是存在有序實數組(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)． (3)∥. 2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試判斷p，m，n是否共面． [提示]　設p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c. 因為a，b，c不共面，所以 而此方程組無解，所以p不能用m，n表示， 即p，m，n不共面． 【例4】　如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE. 求證：向量，

16、，共面． 思路探究：可通過證明＝x＋y求證． [證明]　因為M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋＝＋＝＋. 又與不共線，根據向量共面的充要條件可知，，共面． 1．利用四點共面求參數 向量共面的充要條件的實質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數的值． 2．證明空間向量共面或四點共面的方法 (1)向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面． (2)若存在有序實數組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有＝x

17、＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面． (3)用平面：尋找一個平面，設法證明這些向量與該平面平行． 4．已知A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外的任意一點，若點P分別滿足下列關系： (1)＋2＝6－3； (2)＋＝4－. 試判斷點P是否與點A，B，C共面． [解]　法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)， ∴3＝＋2，即＝－2－3. 根據共面向量定理的推論知：點P與點A，B，C共面． (2)設＝＋x＋y(x，y∈R)，則 ＋x＋y＋＝4－， ∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－， ∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，

18、 由題意知，，均為非零向量，所以x，y滿足： 顯然此方程組無解，故點P與點A，B，C不共面． 法二：(1)由題意，＝＋＋， ∵＋＋＝1，∴點P與點A，B，C共面． (2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1， ∴點P與點A，B，C不共面． 1．一些特殊向量的特性 (1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的． (2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. (3)兩個向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 2．四點P，A，B，C共面?對空間任意一點O，都有＝x＋y＋z，且x＋

19、y＋z＝1. 3．＝＋x＋y稱為空間平面ABC的向量表達式．由此可知空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定． 4．證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“對空間任意一點O，有＝t＋(1－t)”來證明三點A，B，C共線． 5．空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對(x，y)，使＝x＋y，滿足這個關系式的點都在平面MAB內；反之，平面MAB內的任一點都滿足這個關系式．這個充要條件常用于證明四點共面. 1．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(　　) A.＝2－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0

20、 C　[由MA＋MB＋MC＝0得＝－－，故M，A，B，C四點共面．] 2．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是上底面A1C1的中點，若＝x＋y＋z，x＋y＋z＝________． 2　[∵＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋， ∴x＝，y＝，z＝1， ∴x＋y＋z＝2.] 3．已知O是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且＝2x＋3y＋4z，則2x＋3y＋4z＝________． －1　[由＝2x＋3y＋4z得＝－2x－3y－4z， 所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.] 4.如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F分別為邊CD和AD的中點，試化簡＋－，并在圖中標出化簡結果的向量． [解]　∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線， ∴＝. 又＝(－) ＝－＝－＝， ∴＋－ ＝＋－＝(如圖所示)． - 13 -