1.5.1　全稱量詞與存在量詞 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義，并會用數(shù)學(xué)語言表示全稱量詞命題和存在量詞命題，并能判斷其真假． 教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞的含義，含有量詞的命題的構(gòu)成以及全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判定． 教學(xué)難點(diǎn)：對全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判定． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點(diǎn)一　　　全稱量詞和全稱量詞命題 (1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞(universal quantifier)，并用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題(universal proposition)． (2)常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等． 知識點(diǎn)二　　　存在量詞和存在量詞命題 (1)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞(existential quantifier)，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題(existential proposition)． (2)常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對某些”“有的”等． 【新知拓展】 1．對全稱量詞和全稱量詞命題的理解 (1)全稱量詞往往有一定的限制范圍，該范圍直接影響著全稱量詞命題的真假．若對于給定范圍x∈M內(nèi)的一切值，都使p(x)成立，則全稱量詞命題為真命題．若能舉出反例，則為假命題． (2)有些全稱量詞命題在語言敘述上省略了全稱量詞，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來．例如，命題“平行四邊形的對角線互相平分”應(yīng)理解為“所有平行四邊形的對角線都互相平分”． 2．對存在量詞和存在量詞命題的理解 存在量詞也有一定的限制范圍，該范圍直接影響著存在量詞命題的真假．若對于給定的集合M，至少存在一個(gè)x∈M，使p(x)成立，則存在量詞命題為真命題．若不存在，則為假命題． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量．(　　) (2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”．(　　) (3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞，存在量詞命題一定含有存在量詞．(　　) (4)在全稱量詞命題和存在量詞命題中，量詞都可以省略．(　　) (5)四邊形的內(nèi)角和是360°是全稱量詞命題．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)命題“有些長方形是正方形”含有的量詞是________，該量詞是________量詞(填“全稱”或“存在”)． (2)“負(fù)數(shù)沒有平方根”是________命題(填“全稱量詞”或“存在量詞”)． (3)若命題“?x∈{x|x>3}，x>a”是真命題，則a的取值范圍是________． 答案　(1)有些　存在　(2)全稱量詞　(3)a≤3 題型一 全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“?”或“?”表示下列命題： (1)自然數(shù)的平方大于或等于零； (2)存在實(shí)數(shù)x，滿足x2≥2； (3)有些平行四邊形的對角線不互相垂直； (4)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大． [解]　(1)是全稱量詞命題，表示為?x∈N，x2≥0. (2)是存在量詞命題，表示為?x∈R，x2≥2. (3)是存在量詞命題，表示為?四邊形是平行四邊形，但四邊形的對角線不互相垂直． (4)是存在量詞命題，?a∈R，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大． 金版點(diǎn)睛 判斷一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟 (1)判斷語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱量詞命題或存在量詞命題． (2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題，含有存在量詞的命題是存在量詞命題． (3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)． 　判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題． (1)凸多邊形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素?cái)?shù)的和仍是素?cái)?shù)； (4)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對角線互相垂直． 解　(1)可以改寫為：所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題． (2)可以改寫為：所有的矩形都是正方形，故為全稱量詞命題． (3)含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題． (4)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題. 題型二 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 例2　指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假． (1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點(diǎn)； (2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)； (3)對任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋3＝0. [解]　(1)(3)是全稱量詞命題，(2)(4)是存在量詞命題． (1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，所以該命題是真命題． (2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對值不是正數(shù)，所以該命題是真命題． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以該命題是假命題． (4)由于x∈R，則x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在，所以該命題是假命題． 金版點(diǎn)睛 全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法 (1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”)． (2)判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性．若找到一個(gè)元素x0∈M，使p(x0)成立，則該命題是真命題；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，則該命題是假命題． 　判斷下列命題的真假． (1)對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)； (2)末位是零的整數(shù)，可以被5整除； (3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)； (4)某些平行四邊形是菱形． 解　(1)因?yàn)槭菬o理數(shù)，但()2＝2是有理數(shù)，所以全稱量詞命題“對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題． (2)因?yàn)槊恳粋€(gè)末位是零的整數(shù)，都能被5整除，所以全稱量詞命題“末位是零的整數(shù)，可以被5整除”是真命題． (3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以存在量詞命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題． (4)由于存在鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以存在量詞命題“某些平行四邊形是菱形”是真命題． 題型三 含有量詞的命題的應(yīng)用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　?a∈Z，使關(guān)于x的分式方程＋＝4的解為正數(shù)，且?y＜－2，關(guān)于y的不等式組成立．求符合條件的a的值． [解]　分式方程＋＝4的解為x＝且a≠2，∵關(guān)于x的分式方程＋＝4的解為正數(shù)，∴＞0且a≠2，∴a＜6且a≠2. 解不等式①，得y＜－2；解不等式②，得y≤a. ∵關(guān)于y的不等式組的解集為y＜－2，∴a≥－2.∴－2≤a＜6且a≠2. ∵a為整數(shù)，∴a＝－2，－1,0,1,3,4,5. 金版點(diǎn)睛 應(yīng)用全稱量詞命題與存在量詞命題求參數(shù)范圍的兩類題型 (1)全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決． (2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)． 　已知?a∈Z，使關(guān)于x的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程＋＝2的解為非負(fù)數(shù)，求符合條件的a的值． 解　根據(jù)題意，解不等式組得∵不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，∴0＜≤1，解得－2＜a≤2；解分式方程，得y＝2－a，∴2－a≥0，解得a≤2，∴a＝－1或0或1或2，但當(dāng)a＝1時(shí)，分式方程的解y＝1是增根，∴a＝－1,0和2. 1．下列命題中，不是全稱量詞命題的是(　　) A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘0都等于0 B．自然數(shù)都是正整數(shù) C．對于任意x∈Z,2x＋1是奇數(shù) D．一定存在沒有最大值的二次函數(shù) 答案　D 解析　D選項(xiàng)是存在量詞命題． 2．下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，故為全稱量詞命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也能被3整除”，是全稱量詞命題；命題④是全稱量詞命題．故有1個(gè)存在量詞命題． 3．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方法的是(　　) A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3 B．對有些x∈R，使得x2>3 C．任選一個(gè)x∈R，使得x2>3 D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3 答案　C 解析　“?x∈R，x2>3”是全稱量詞命題，改寫時(shí)應(yīng)使用全稱量詞． 4．對任意x>8，x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　a≤8 解析　∵對任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的數(shù)恒大于a，∴a≤8. 5．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題？并判斷其真假． (1)?x∈R，|x|＋2≤0； (2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使等式x2＋x＋8＝0成立； (3)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交． 解　(1)存在量詞命題． ∵?x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R， 使|x|＋2≤0.故命題為假命題． (2)存在量詞命題． ∵x2＋x＋8＝2＋>0，∴命題為假命題． (3)全稱量詞命題，假命題． 如存在y＝x2＋x＋1與x軸不相交． - 7 -