第53講曲線與方程考綱要求考情分析命題趨勢了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.2017·全國卷，202016·全國卷，20(1)2016·全國卷，20(2)求滿足條件的動點軌跡及軌跡方程，用直接法和定義法較為普遍.分值：35分1曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是_這個方程_的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是_曲線上_的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點的集合，也可看作是適合某種條件的點的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx表示的曲線是一個點和一條直線(×)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2y2.( ×)(4)方程y與xy2表示同一曲線(×)解析 (1)正確由f(x0，y0)0可知點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上時，有f(x0，y0)0.所以f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件(2)錯誤方程變?yōu)閤(xy1)0，所以x0或xy10，故方程表示直線x0或直線xy10.(3)錯誤當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x軸，y軸時，是x2y2，否則不正確(4)錯誤因為方程y表示的曲線只是方程xy2表示曲線的一部分，故其不正確2和點O(0,0)，A(c,0)距離的平方和為常數(shù)c(c0)的點的軌跡方程為_2x22y22cxc2c0_.解析 設(shè)點的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知()2()2c，即x2y2(xc)2y2c，即2x22y22cxc2c0.3MA和MB分別是動點M(x，y)與兩定點A(1,0)和B(1,0)的連線，則使AMB為直角的動點M的軌跡方程是_x2y21(x±1)_.解析 點M在以A，B為直徑的圓上，但不能是A，B兩點4平面內(nèi)有三個點A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_y28x(x0)_解析 ，由，得·0.即2x·0.動點C的軌跡方程為y28x(x0)5圓的方程為x2y24，拋物線過點A(1,0)，B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點的軌跡方程是_1(y0) _.解析 設(shè)拋物線焦點為F，過A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則24，由拋物線定義得，4，故F點的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)一定義法求軌跡方程應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解【例1】 已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程解析 由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以(Rr1)(r2R)r1r242.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為1(x2)二直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略(1)題中給出等量關(guān)系，求軌跡方程直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程【例2】 (2016·全國卷)已知拋物線C：y22x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程解析 由題知F.設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.(1)由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以ARFQ.(2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題設(shè)可得|ba|，解得x11.設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)當(dāng)AB與x軸不垂直時，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，故所求軌跡方程為y2x1.三相關(guān)點法求軌跡方程相關(guān)點法求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標(biāo)為(x，y)，主動點坐標(biāo)為(x1，y1)，(2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程【例3】 (2018·安徽合肥高三調(diào)研)已知M為橢圓C：1上的動點，過點M作x軸的垂線，垂足為D，點P滿足.(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)若A，B兩點分別為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為橢圓C的左焦點，直線PB與橢圓C交于點Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y0.由M，得(mx，y)(0，n)，則有又M(m，n)為橢圓C：1上的點，1，即x2y225，故動點P的軌跡E的方程為x2y225(y0)(2)依題意知A(5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)Q(x0，y0)，線段AB為圓E的直徑，APBP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kPA，kQFkPBkQFkQB·，點P不同于A，B兩點且直線QF的斜率存在，5<x0<5且x04，又y在(5，4)和(4,5)上都是減函數(shù)，(，0)，故的取值范圍是(，0).1已知點A(4,4)，B(4,4)，直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與BM的斜率之差為2，點M的軌跡為曲線C，則曲線C的軌跡方程為_x24y(x±4)_解析 設(shè)M(x，y)，由已知得kAMkBM2，化簡得x24y(x±4)2已知圓C的方程為(x3)2y2100，點A的坐標(biāo)為(3,0)，M為圓C上任一點，線段AM的垂直平分線交CM于點P，則點P的軌跡方程為1.解析 由題可知C(3,0)，r10，由中垂線性質(zhì)知，故10，即P點的軌跡為以原點為中心，點A，C為焦點的橢圓，2a10，c3，b4，故點P的軌跡方程為1.3已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且4.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線解析 如圖所示，以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由4，得O1(2,0)，O2(2,0)設(shè)動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內(nèi)切，有r1，由動圓M與圓O2外切，有r2，3，點M的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支，a，c2，b2c2a2，點M的軌跡方程為1.4如圖所示，A(m，m)和B(n，n)兩點分別在射線OS，OT(點S，T分別在第一、四象限)上移動，且·，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足.(1)求mn的值；(2)求動點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？解析 (1)·(m，m)·(n，n)2mn，mn.(2)設(shè)P(x，y)(x0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)整理得x24mn，又mn，P點的軌跡方程為x21(x0)它表示以原點為中心，焦點在x軸上，實軸長為2，焦距為4的雙曲線x21的右支易錯點軌跡方程與實際的軌跡不對應(yīng)錯因分析：要注意參數(shù)的取值影響x，y的取值范圍；曲線的方程與方程的曲線要對應(yīng)【例1】 如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(10,0)，點C的坐標(biāo)為(0,10)，分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*，1i9)求證：點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求P的軌跡方程解析 依題意，過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由得yx2，即x210y.所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.由于i1,9，所以x0,10，y0,10，從而點P的軌跡方程為x210y(x0,10)【跟蹤訓(xùn)練1】 方程(x2y24)0的曲線形狀是(C)解析 由題意得xy10或x2y24(xy10)表示直線xy10和圓x2y24在直線xy10右上方的部分課時達(dá)標(biāo)第53講解密考綱求曲線的軌跡方程，經(jīng)常通過定義法或直接法，在解答題的第(1)問中出現(xiàn)一、選擇題1已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則動點P的軌跡是(B)A直線B圓C橢圓D雙曲線解析 設(shè)P(x，y)，則2，整理得x2y24x0，又D2E24F16>0，所以動點P的軌跡是圓2(2017·全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為(B)A1B1C1D1解析 根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為yx，可知，又橢圓1的焦點坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)，所以a2b29，根據(jù)可知a24，b25，故選B3已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則Q點的軌跡方程是(D)A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析 設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得Q點的軌跡方程為2xy50.4設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為(D)A1B1C1D1解析 M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡是以定點C，A為焦點的橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點，若2，且·1，則點P的軌跡方程是(A)Ax23y21(x>0，y>0)Bx23y21(x>0，y>0)C3x2y21(x>0，y>0)D3x2y21(x>0，y>0)解析 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax>0，b3y>0，點Q(x，y)，故由·1，得(x，y)·(a，b)1，即axby1.將a，b代入axby1得所求的軌跡方程為x23y21(x>0，y>0)6已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足條件的圓錐曲線的個數(shù)為(B)A4B3C2D1解析 e是方程2x25x20的根，e2或e，mx24y24m可化為1，當(dāng)它表示焦點在x軸上的橢圓時，有，m3；當(dāng)它表示焦點在y軸上的橢圓時，有，m；當(dāng)它表示焦點在x軸上的雙曲線時，可化為1，有2，m12，滿足條件的圓錐曲線有3個，故選B二、填空題7已知ABC的頂點 A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_1(x>3)_.解析 如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)8在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(1,0)，B(2,2)，若點C滿足OOt(OO)，其中tR，則點C的軌跡方程是_2xy20_.解析 設(shè) C(x，y)，則(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去參數(shù)t得點C的軌跡方程為y2x2.9P是橢圓1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，有一動點Q滿足O，則動點Q的軌跡方程是1.解析 作P關(guān)于O的對稱點M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形，所以22.又，所以，設(shè)Q(x，y)，則，即點P坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.三、解答題10已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點O，且恰好與直線l1：xy20相切(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點A為圓上一動點，ANx軸于點N，若動點Q滿足m(1m)(其中m為非零常數(shù))，試求動點Q的軌跡方程C2.解析 (1)依題意圓的半徑為圓心(0,0)到直線l1的距離2，故圓C1的方程為x2y24.(2)設(shè)動點Q(x，y)，A(x0，y0)ANx軸交于點N，N(x0,0)，由題意，得(x，y)m(x0，y0)(1m)·(x0,0)，即將A，代入x2y24，得1.即動點Q的軌跡方程為1.11(2018·河北唐山統(tǒng)考)已知動點P到直線l：x1的距離等于它到圓C：x2y24x10的切線長(P到切點的距離)記動點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過圓心C作直線AB：xmy2交曲線E于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為D，過圓心C作直線CQ垂直于直線AB交直線l于點Q，求的取值范圍解析 (1)由已知得圓的方程為(x2)2y23，則圓心為C(2,0)，半徑r.設(shè)P(x，y)，依題意可得|x1|，整理得y26x.故曲線E的方程為y26x.(2)又直線AB的方程為myx2，則直線CQ的方程為ym(x2)，可得Q(1,3m)將myx2代入y26x并整理可得y26my120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y26m，y1y212，AB的中點D的坐標(biāo)為，即D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|·2，所以2，故的取值范圍是.12(2017·全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 .(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線x3上，且·1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在橢圓C上，所以1.因此點P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過點F存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.12