5.立體幾何要點(diǎn)重溫·1幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖下面，側(cè)視圖放在正視圖右面，“長對(duì)正，高平齊，寬相等”由幾何體的三視圖確定幾何體時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體(2)注意圖中實(shí)、虛線，實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線(3)想象原形，并畫出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過調(diào)整準(zhǔn)確畫出原幾何體應(yīng)用1“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖11，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是() 圖11解析俯視圖是正方形，曲線在其上面的投影恰為正方形的對(duì)角線，故選B.答案B2空間幾何體表面積和體積的求法幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法應(yīng)用2如圖12所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804184】圖12A4B3C2D答案D應(yīng)用3如圖13，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)為PA，PD的中點(diǎn)，則平面BCFE將四棱錐P­ABCD所分成的上下兩部分的體積的比值為_圖13解析設(shè)棱錐的底面ABCD的面積為S，高為h，VP­ABCDSh，VF­BDC·SDBC···Sh，同理VP­ADB··hSh，由于四棱錐B­ADFE和三棱錐B­PAD等高，而，所以VB­ADFE·ShSh，所以下半部分的體積為Sh，上半部分的體積為ShShSh，所以上下兩部分體積之比為.答案3多面體與球接、切問題的求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，則4R2a2b2c2求解應(yīng)用4一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是()A96B16C24D48解析如圖，設(shè)球的半徑為R，由R3，得R2.所以正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則·a2，所以a4，所以V×(4)2×448.答案D應(yīng)用5已知三棱錐A­BCD內(nèi)接于球O，且BCBDCD2，若三棱錐A­BCD體積的最大值為4，則球O的表面積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804185】A16B25C36D64解析如圖，當(dāng)三棱錐的體積最大值為4，即××(2)2××h4，解得h4，點(diǎn)A在如圖所示的位置時(shí)，三棱錐的體積最大，即AO4，并且在如圖所示的三角形中，OAOCR，OO4R，OC2×2，所以在直角三角形OOC中，R2(4R)222，解得R，球的表面積為S4R225，故選B.答案B4空間平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等應(yīng)用6下列命題正確的序號(hào)是_(1)如果a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面(2)如果直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行(3)如果直線a，b和平面滿足a，b，那么ab.(4)如果直線a，b和平面滿足ab，a，b，那么b.答案(4)5空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有：等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等應(yīng)用7已知兩個(gè)平面垂直，下列命題一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線；一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A3B2C1D0答案B6平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”應(yīng)用8(1)如圖14(1)，在RtABC中，ABC90°，BAC60°，AB2，D、E分別為AC、BD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖14(2)所示圖14(1)圖14(2)(1)求證：AE平面BCD；(2)求平面AEF與平面ADC所成的銳二面角的余弦值；(3)在線段AF上是否存在點(diǎn)M使得EM平面ADC？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由解(1)證明：在RtABC中，ABC90°，D為AC的中點(diǎn)，ADBDDC，又BAC60°，所以三角形ABD為等邊三角形；又E為BD的中點(diǎn)，AEBD.因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，交線為BD，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由AE平面BCD可知AEEF.由題意知EFBD，AEBD，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E­xyz.由(1)得，ABBDDCAD2，BEED1，計(jì)算得AE，BC2，BF，則E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1,0)，A(0,0，)，F(xiàn)，C(，2,0)，則(，1,0)，(0,1，)，易知平面AEF的一個(gè)法向量為(0,1,0)設(shè)平面ADC的法向量為n(x，y，z)，則，即，令z1，得y，x1，n(1，1)cosn，.所以平面AEF與平面ADC所成的銳二面角的余弦值為(3)設(shè)，其中0,1，其中0,1，由·n0，解得(0,1)所以在線段AF上存在點(diǎn)M，使EM平面ADC，且AMAF34.7. “轉(zhuǎn)化法”求空間角(1)設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為，兩條直線的方向向量分別為a，b.因?yàn)?，故有cos |cosa，b|.(2)設(shè)直線l和平面所成的角為，l是斜線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosl，n|.(3)設(shè)二面角­l­的大小為，n1，n2是二面角­l­的兩個(gè)半平面的法向量，則|cos |cosn1，n2|，兩個(gè)角之間的關(guān)系需要根據(jù)二面角的取值范圍來確定應(yīng)用9在三棱錐P­ABC中，ABBC，ABBCPA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值解OP平面ABC，OAOC，ABBC，OAOB，OAOP，OBOP.以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為z軸正方向，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz(如圖)設(shè)ABa，則A，B，C，設(shè)OPh，則P(0,0，h)，由PAAB，則PA2a，則P，.可求得平面PBC的一個(gè)法向量為n，cos，n，設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則sin |cos，n|.8求點(diǎn)到平面的距離的方法(1)“等積法”：求解點(diǎn)到面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高，利用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離(2)“向量法”：如圖，設(shè)P在平面外，n為平面的法向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面的距離d.圖15應(yīng)用10正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804186】解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.設(shè)平面ABC1D1的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距離d.答案查缺補(bǔ)漏·1已知m，n為空間中兩條不同的直線，為空間中兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A若m，m，則B若m，mn，則nC若m，mn，則nD若m，m，則D對(duì)于選項(xiàng)A，若m，m，則可能，相交，或者，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若m，mn，則可能n，或n，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若m，mn，則n，或n，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若m，m，則由線面平行可得在平面內(nèi)存在一條直線l，使得ml，然后由m可得l，進(jìn)而得出，故選D.2. 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O­xyz中的坐標(biāo)分別是，(1,1,0)，(1,0,1)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以yOz平面為投影面，則得到的正視圖可以為()A由圖可得，故選A. 3如圖16，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()圖16A B C DB作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確4如圖17，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或虛線畫出某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804187】圖17A8B12C18D24B由題意得，根據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體為如圖所示的幾何體，是一個(gè)三棱錐與三棱柱的組合體，其中三棱錐的體積為V1××4×3×24，三棱柱的體積為V22V12×48，所以該幾何體的體積為V12，故選B.5.如圖18，已知六棱錐P­ABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()圖18APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45°D若PBAD，則ADAB，但AD與AB成60°角，A錯(cuò)誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯(cuò)誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯(cuò)誤；直線PD與平面ABC所成角為PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45°，D正確6設(shè)三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，BCA90°，BCCA2，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為()ABCDB由已知，若棱柱的所有頂點(diǎn)都在球面上，則同高的長方體8個(gè)頂點(diǎn)也在球面上，且外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線，由球體體積可得直徑為4，由于長方體底面為邊長為2的正方形，故側(cè)面的對(duì)角線為2，由余弦定理可知，直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為.7三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐外接球的表面積為()A.BC.DD由題意可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，x2322，解得x，R2x21(其中R為三棱錐外接球的半徑)，外接球的表面積S4R2，故選D.8在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804188】過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐·AB2·BC··CE2·DE×12×2×12×1.9如圖19，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則過A，M，C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為_圖193由圖形可知，當(dāng)AMMC1最小時(shí)，所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個(gè)平面AA1C1C，則AMMC1最短為AC13，所以截面的最小周長為33.10在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA15，則V的最大值是_由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切，設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，ABC的內(nèi)切球半徑為2，R2，又2R5，即R，取交集R2，Vmax×23.11如圖20，四棱錐P­ABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB與PAD都是等邊三角形圖20(1)證明：PBCD；(2)求二面角A­PD­B的余弦值解(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ADEB為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OE，OD，則由PAB和PAD都是等邊三角形可知PAPBPD，OAOBOD，即點(diǎn)O為正方形ADEB對(duì)角線的交點(diǎn)，故OEBD，從而OE平面PBD，OEPB，O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，OECD，因此PBCD.(2)由(1)可知，OE，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OE方向?yàn)閤軸正方向，OB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz，設(shè)AB2，則A(，0,0)，D(0，0)，P(0,0，)，(，0)，(，0，)，設(shè)平面PAD的法向量n(x，y，z)，n·xy0，n·xz0，取x1，得y1，z1，得n(1,1，1)，OE平面PBD，設(shè)平面PBD的法向量為m，取m(1,0,0)，由圖象可知二面角A­PD­B的大小為銳角，二面角A­PD­B的余弦值為cos .12已知三棱柱ABC­A1B1C1，側(cè)面BCC1B1底面ABC.圖21(1)若M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn)，求證：MN平面BCC1B1.(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為60°.問：在線段A1C1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P與PA1的比值；若不存在，說明理由解(1)證明：連接AC1，BC1，則ANNC1，AMMB，MNBC1.又BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O，面BCC1B1底面ABC，B1O面ABC.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)B1(0,0，)由可求出A1(1，)，C1(2,0，)設(shè)P(x，y，z)，解得P，則，(1,0，)設(shè)平面B1CP的法向量為n1(x，y，z)，由解得n1.同理可求出平面ACC1A1的法向量n2(，1，1)由面B1CP平面ACC1A1，得n1·n20，即310解得，3，所以A1C13A1P，從而C1PPA12.14