第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式考綱傳真1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>bb<a；(雙向性)(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(單向性)(3)可加性：a>bac>bc；(雙向性)(4)加法法則：a>b，c>dac>bd；(單向性)(5)可乘性：a>b，c>0ac>bc；(單向性)a>b，c<0ac<bc；(單向性)(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0ac>bd；(單向性)(7)乘方法則：a>b>0an>bn(n2，nN)；(單向性)(8)開方法則：a>b>0>(n2，nN)；(單向性)3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖像一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1<x<x21有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若ab0，m0，則(1)；(bm0)；(2)；(bm0)2有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)ab，ab0.3ab0,0cd.4簡(jiǎn)單的分式不等式(1)0(2)0基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)a>bac2>bc2()(2)a>b>0，c>d>0>()(3)若不等式ax2bxc<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0()(4)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc>0的解集為R()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)下列四個(gè)結(jié)論，正確的是()a>b，c<dac>bd；a>b>0，c<d<0ac>bd；a>b>0>；a>b>0>.A BCDD利用不等式的同向可加性可知正確；對(duì)于，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知ac<bd，故不正確；因?yàn)楹瘮?shù)yx是遞增的，所以正確；對(duì)于，由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以不正確3(教材改編)設(shè)a，b，cR，且ab，則()AacbcBCa2b2Da3b3D取a1，b2，c1，排除A，B，C，故選D4(教材改編)不等式(x1)(x2)0的解集為()Ax|2x1Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x1或x2A方程(x1)(x2)0的兩根為x2或x1，則不等式(x1)(x2)0的解集為x|2x1，故選A5不等式x2ax40的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(，44，)由題意知a2420，解得a4或a4.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1若ab0，cd0，則一定有()ABCDB由cd0得0，則0，故選B2(2016·北京高考)已知x，yR，且x>y>0，則()A>0Bsin xsin y>0C <0Dln xln y>0C函數(shù)y在(0，)上為減函數(shù)，當(dāng)x>y>0時(shí)， <，即 <0，故C正確；函數(shù)y在(0，)上為減函數(shù)，由x>y>0<<0，故A錯(cuò)誤；函數(shù)ysin x在(0，)上不單調(diào)，當(dāng)x>y>0時(shí)，不能比較sin x與sin y的大小，故B錯(cuò)誤；x>y>0xy>0ln(xy)>0 ln xln y0，故D錯(cuò)誤3若a20.6，blog3，clog2，則()AabcBbacCcabDbcaA因?yàn)閍20.6201，又log1log3log，所以0b1，clog2sinlog210，于是abc.故選A4已知角，滿足，0，則3的范圍是_(，2)設(shè)3m()n()，則解得從而32()()，又2()，0，2()()2.規(guī)律方法利用不等式的性質(zhì)判斷正誤及求代數(shù)式的范圍的方法(1)利用不等式的范圍判斷正誤時(shí)，常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案(2)比較大小常用的方法作差(商)法：作差(商)變形判斷，構(gòu)造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取0或1作為中間量(3)由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d求F(x，y)的取值范圍，要利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F(x，y)的取值范圍一元二次不等式的解法考法1不含參數(shù)的一元二次不等式【例1】(1)不等式2x2x30的解集為_(2)不等式x23x4>0的解集為_(用區(qū)間表示)(1)(2)(4,1)(1)方程2x2x30的兩根為x11，x2，則不等式2x2x30的解集為.(2)由x23x4>0得x23x4<0，解得4<x<1，所以不等式x23x4>0的解集為(4,1)考法2含參數(shù)的一元二次不等式【例2】(1)解關(guān)于x的不等式：x2(a1)xa0.解原不等式可化為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為(a,1)(2)解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x10.解若a0，原不等式等價(jià)于x10，解得x1.若a0，原不等式等價(jià)于(x1)0，解得x或x1.若a0，原不等式等價(jià)于(x1)0.當(dāng)a1時(shí)，1，(x1)0無解；當(dāng)a1時(shí)，1，解(x1)0，得x1；當(dāng)0a1時(shí)，1，解(x1)0，得1x.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)0a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為.規(guī)律方法1.解一元二次不等式的步驟：(1)使一端為0且把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)先考慮因式分解法，再考慮求根公式法或配方法或判別式法；(3)寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系；(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式 (1)已知不等式ax2bx1>0的解集是，則不等式x2bxa0的解集是()Ax|2<x<3Bx|x2或x3CDB不等式ax2bx1>0的解集是x<x<，ax2bx10的解是x1和x2，且a<0，解得則不等式x2bxa0即為x25x60，解得x2或x3.(2)解不等式x2ax10(aR)解a24.當(dāng)a240，即2a2時(shí)，原不等式無解當(dāng)a240，即a2或a2時(shí)，方程x2ax10的兩根為x1，x2，則原不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)2a2時(shí)，原不等式無解當(dāng)a2或a2時(shí)，原不等式的解集為.一元二次不等式恒成立問題【例3】已知函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對(duì)于x1,3，f(x)5m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)m0時(shí)，f(x)10恒成立當(dāng)m0時(shí)，則即4m0.綜上，4m0，故m的取值范圍是(4,0(2)不等式f(x)5m，即(x2x1)m6，x2x10，m對(duì)于x1,3恒成立，只需求的最小值，記g(x)，x1,3，記h(x)x2x12，h(x)在x1,3上為增函數(shù)，則g(x)在1,3上為減函數(shù)，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范圍是.規(guī)律方法與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是 (1)若不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0(2)若不等式x2mx10對(duì)于任意xm，m1都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(1) D(2)(1)當(dāng)k0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k0時(shí)，即一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立則解得3k0.綜上，滿足不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(3,0(2)由題意得，函數(shù)f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又拋物線f(x)x2mx1開口向上，所以只需即解得m0.一元二次不等式的應(yīng)用【例4】甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100·元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)解(1)根據(jù)題意，得2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，x的取值范圍是3,10(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則y·1009×1049×104，故當(dāng)x6時(shí)，ymax457 500元即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457 500元規(guī)律方法求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟：(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義；(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果 汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素在一個(gè)限速為40 km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？解由題意知，對(duì)于甲車，有0.1x0.01x212，即x210x1 2000，解得x30或x40(不合實(shí)際意義，舍去)，這表明甲車的車速超過30 km/h.但根據(jù)題意剎車距離略超過12 m，由此估計(jì)甲車車速不會(huì)超過限速40 km/h.對(duì)于乙車，有0.05x0.005x210，即x210x2 0000，解得x40或x50(不合實(shí)際意義，舍去)，這表明乙車的車速超過40 km/h，超過規(guī)定限速- 10 -