第六章不 等 式第1課時一元二次不等式及其解法掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系并能靈活運用 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型. 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系. 會解含參數(shù)的一元二次不等式1. (必修5P77練習(xí)2(2)改編)不等式3x2x40的解集是_. 答案：解析：由3x2x40，得(3x4)(x1)0，解得1x.2. (必修5P75例1(1)改編)不等式2x2x1>0的解集是_答案：解析： 2x2x1>0， (2x1)(x1)>0， x>1或x<.3. (必修5P77練習(xí)3(1)改編)不等式x22x3>0的解集為_答案：x|3<x<1解析：原不等式可化為x22x3<0，得3<x<1.4. (必修5P80習(xí)題8(2)改編)已知不等式x22xk23>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：k>2或k<2解析：由44(k23)<0，解得k>2或k<2.5. 已知不等式ax2bx10的解集是，則不等式x2bxa0的解集是_答案：x|2<x<3解析：由題意知，是方程ax2bx10的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得解得不等式x2bxa0即為x25x60，解得2<x<3.1. 一元二次不等式的解法在二次函數(shù)yax2bxc(a0)中，令y0，得到一元二次方程ax2bxc0(a0)若將等號“”改為不等號“”或“”，便得到一元二次不等式ax2bxc0(或0)因此，可以通過yax2bxc(a0)圖象與x軸的交點求得一元二次不等式的解，具體如表所示：2. 用一個流程圖來描述求解一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)的算法過程1一元二次不等式的解法1解關(guān)于x的不等式：ax2(a2)x20.解： 當(dāng)a0時，原不等式化為x10，解得x1. 當(dāng)a0時，原不等式化為(x1)0，解得x或x1. 當(dāng)a0時，原不等式化為(x1)0.當(dāng)1，即a2時，解得1x；當(dāng)1，即a2時，解得x1；當(dāng)1，即a2時，解得x1.綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時，不等式的解集為；當(dāng)2a0時，不等式的解集為；當(dāng)a2時，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a2時，不等式的解集為.變式訓(xùn)練解關(guān)于x的不等式：ax2ax10.解：當(dāng)0a4時，解集為；當(dāng)a4時，x；當(dāng)a0時，x或x>.,2一元二次不等式的恒成立問題),2)設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1) 若對于一切實數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2) 若對于x1，3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范圍解：(1) 要使mx2mx1<0恒成立，若m0，顯然1<0；若m0，則解得4<m<0，綜上，4<m0.(2) 要使f(x)<m5在x1，3上恒成立，即mm6<0在x1，3上恒成立(解法1)令g(x)mm6，x1，3當(dāng)m>0時，g(x)在1，3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<，所以0<m<；當(dāng)m0時，6<0恒成立；當(dāng)m<0時，g(x)在1，3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述，m的取值范圍是.(解法2)因為x2x1>0，m(x2x1)6<0，所以m<.因為函數(shù)y在1，3上的最小值為，所以只需m<即可，所以m的取值范圍是.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x2ax3.(1) 當(dāng)xR時，f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2) 當(dāng)x2，2時，f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 當(dāng)xR時，f(x)a恒成立，即x2ax3a0對任意實數(shù)x恒成立，則a24(3a)0，解得6a2， 實數(shù)a的取值范圍是6，2(2) 當(dāng)x2，2時，f(x)a恒成立，即x2ax3a0對任意x2，2恒成立，令g(x)x2ax3a， 0或或解得7a2. 實數(shù)a的取值范圍是7，2,3三個二次之間的關(guān)系),3)(1) 已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為0，)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為x|m<x<m6，則實數(shù)c的值為_；(2) 已知函數(shù)f(x).若對任意x1，)，f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(1) 9(2) a|a>3解析：(1) 由題意知f(x)x2axbb. f(x)的值域為0，)， b0，即b， f(x). f(x)<c， <c，即<x<. ，得26， c9.(2) x1，)時，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立，即當(dāng)x1時，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減， g(x)maxg(1)3，故a>3. 實數(shù)a的取值范圍是(3，) 已知x2pxq0的解集為，則不等式qx2px10的解集為_答案： x|2x3解析： x2pxq0的解集為， ，是方程x2pxq0的兩實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 不等式qx2px10可化為x2x1>0，即x2x60，解得2x3， 不等式qx2px10的解集為x|2x3,4一元二次不等式的應(yīng)用),4)一個服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關(guān)系為p1602x，生產(chǎn)x件的成本R50030x(元)(1) 該廠月產(chǎn)量多大時，月利潤不少于1 300元？(2) 當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？解：(1) 由題意知，月利潤ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利潤不少于1 300元，得2x2130x5001 300，即x265x9000，解得20x45，故該廠月產(chǎn)量在2045件時，月利潤不少于1 300元(2) 由(1)得，y2x2130x5002，由題意知，x為正整數(shù)，故當(dāng)x32或33時，y最大為1 612，所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612元某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本固定成本生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求下列問題(1) 要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(2) 工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使贏利最多？解：依題意，G(x)x2，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則f(x)(1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，當(dāng)0x5時，解不等式0.4x23.2x2.8>0，即x28x7<0，得1<x<7， 1<x5.當(dāng)x>5時，解不等式8.2x>0，得 x<8.2， 5<x<8.2.綜上所述，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1<x<8.2，即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)(2) 當(dāng)0x5時，f(x)0.4(x4)23.6，故當(dāng)x4時，f(x)有最大值3.6；而當(dāng)x>5時，f(x)<8.253.2，所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最多1. (2017·蘇州期中)函數(shù)y的定義域為_答案：(2，1解析：由02<x1，得函數(shù)的定義域為(2，12. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知集合U1，2，3，4，5，6，7，Mx|x26x50，xZ，則UM_答案：6，7解析：Mx|1x5，xZ1，2，3，4，5，而U1，2，3，4，5，6，7，則UM6，73. 函數(shù)f(x)的定義域是_答案：2，2解析：因為lg(5x2)0，所以5x21，x24，則2x2.4. 已知函數(shù)f(x)則不等式f(f(x)3的解集為_答案：x|x解析：當(dāng)x0時，f(f(x)f(x2)(x2)22x23，即(x23)(x21)0，解得0x；當(dāng)2x0時，f(f(x)f(x22x)(x22x)22(x22x)3，即(x22x1)(x22x3)0，即2x0；當(dāng)x2時，f(f(x)f(x22x)(x22x)23，解得x2.綜上，不等式的解集為x|x1. 已知函數(shù)f(x)若f(3a2)f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(3，1)解析：如圖，畫出f(x)的圖象，由圖象易得f(x)在R上單調(diào)遞減 f(3a2)f(2a)， 3a22a，解得3a1.2. 定義在R上的運算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)y的取值范圍是_答案：解析： (xy)*(xy)(xy)(1xy)xx2yy21， yy2x2x1，要使該不等式對一切實數(shù)x恒成立，則需有yy2(x2x1)min，解得y.3. 已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么不等式f(x2)<5的解集是_答案：x|7<x<3解析：令x<0，則x>0， x0時，f(x)x24x， f(x)(x)24(x)x24x.又f(x)為偶函數(shù)， f(x)f(x)， x<0時，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)<5的解，由得0x5；由得5<x<0，即f(x)<5的解集為(5，5)由于f(x)向左平移兩個單位即得f(x2)，故f(x2)<5的解集為x|7<x<34. 已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，則實數(shù)x的取值范圍是_答案：解析：由題意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.對1a1，恒有g(shù)(x)<0，即(a)<0， 即解得<x<1.1. 一元二次不等式ax2bxc>0，ax2bxc<0的解就是使二次函數(shù)yax2bxc的函數(shù)值大于0或小于0時x的范圍，應(yīng)充分和二次函數(shù)圖象結(jié)合去理解一元二次不等式的解集2. 解含參數(shù)的不等式(xa)(xb)>0，應(yīng)先討論a與b的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項系數(shù)的符號)，二算(計算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)3. 應(yīng)注意討論ax2bxc>0的二次項系數(shù)a是否為0.4. 要注意體會數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想分類討論要做到“不重”“不漏”“最簡”的三原則備課札記第2課時二元一次不等式(組)與 簡單的線性規(guī)劃(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)9596頁)會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組. 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決1. (必修5P84練習(xí)3改編)點(3，1)和(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是_答案：7a24解析：點(3，1)和(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，說明將這兩點坐標(biāo)代入3x2ya后，符號相反，所以(92a)(1212a)0，解得7a24.2. (必修5P86練習(xí)2(1)改編)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是_答案：25解析：直線xy40與直線xy0的交點為A(2，2)，直線xy40與直線x3的交點為B(3，7)，直線xy0與直線x3的交點為C(3，3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個以點A(2，2)，B(3，7)，C(3，3)為頂點的三角形，所以其面積為SABC×5×1025.3. 設(shè)實數(shù)x，y滿足則z3x2y的最大值是_答案：7解析：由題設(shè)可知可行域的四個頂點坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)因此(3x2y)max3×12×27.4. (必修5P89練習(xí)2改編)設(shè)變量x，y滿足約束條件：則zx3y的最小值為_答案：8解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(2，2)處取最小值8.5. 已知實數(shù)x，y滿足不等式組則z2xy的最大值為_答案：8解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示由圖可知z2xy在點A(4，0)處取最大值，即zmax8.1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1) 二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線ykxb把平面分成兩個區(qū)域，y>kxb表示直線ykxb上方的平面區(qū)域，y<kxb表示直線ykxb下方的平面區(qū)域(2) 選點法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域 任選一個不在直線上的點； 檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式； 若滿足，則該點所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的平面區(qū)域，否則，直線的另一側(cè)區(qū)域為不等式所表示的平面區(qū)域(3) 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域不等式組中各個不等式表示平面區(qū)域的公共區(qū)域2. 線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義約束條件變量x，y滿足的一次不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的線性函數(shù)可行域約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題,1二元一次不等式表示的平面區(qū)域),1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為_答案：1解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由解得交點B(t，t1)在yx1中，令x0得y1，即直線yx1與y軸的交點為C(0，1)由平面區(qū)域的面積S，得t22t30，解得t1或t3(不合題意，舍去)變式訓(xùn)練若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m_答案：1解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則2m2，m1.由解得即A(1m，1m)由解得即B.所圍成的區(qū)域為ABC，則SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)·(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.,2線性規(guī)劃問題),2)(1) 設(shè)變量x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最小值為_；(2) 變量x，y滿足約束條件若z2xy的最大值為2，則實數(shù)m_答案：(1) 7(2) 1解析：(1) 作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z2x3y的幾何意義是直線yx在y軸上的截距為，因此z的最小值也就是直線截距的最小值，平移直線yx，經(jīng)過點B(2，1)時，zmin2×23×17.(2) 如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z2xy取最大值2，即y2x2時，畫出表示的區(qū)域，由于mxy0過定點(0，0)，要使z2xy取最大值2，則目標(biāo)函數(shù)必過兩直線x2y20與y2x2的交點A(2，2)，因此直線mxy0過點A(2，2)，故有2m20，解得m1.變式訓(xùn)練已知實數(shù)x，y滿足(1) 若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2) 若zx2y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍解：由作出可行域，如圖中陰影部分所示(1) z表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜率，因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1，2)， kOB2，即zmin2， z的取值范圍是2，)(2) zx2y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點之間距離的平方因此x2y2的值最小為OA2(取不到)，最大值為OB2.由得A(0，1)， OA202121，OB212225. zmax5，z無最小值 z的取值范圍是(1，5,3線性規(guī)劃的實際應(yīng)用),3)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，求該企業(yè)可獲得的最大利潤解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別需生產(chǎn)x，y噸，利潤為z萬元，則z5x3y.由題意可得，x，y滿足約束條件作出可行域如圖所示由圖可知當(dāng)z5x3y經(jīng)過可行域中的點(3，4)時，直線z5x3y在y軸上的截距最大，故該企業(yè)可獲得的最大利潤zmax5×33×427(萬元)1. (2017·課標(biāo))設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是_答案：15解析：目標(biāo)函數(shù)即y2xz，其中z表示斜率為k2的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點B(6，3)處取得最小值z12315.2. (2017·南京、鹽城)已知實數(shù)x，y滿足則的最小值是_答案：解析：表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，作出可行域，發(fā)現(xiàn)可行域內(nèi)的點(4，3)為最優(yōu)解，代入可得的最小值是.3. (2017·課標(biāo))設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_答案：5解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，易求得A(1，1)，B，C，由z3x2y得yx在y軸上的截距越大，z就越小，所以當(dāng)直線z3x2y過點A時，z取得最小值，所以z的最小值為3×(1)2×15.4. (2017·無錫期末)設(shè)不等式表示的平面區(qū)域為M.若直線ykx2上存在M內(nèi)的點，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：2，5解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示因為函數(shù)ykx2的圖象是過點A(0，2)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過點B(1，3)時，k取最大值5，當(dāng)直線l過點C(2，2)時，k取最小值2，故實數(shù)k的取值范圍是2，51. 已知實數(shù)x，y滿足則z2xy的最大值是_答案：5解析：作出可行域如圖陰影部分所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線z2xy過點C(3，1)時，目標(biāo)函數(shù)z取最大值，且最大值為5.2. 若實數(shù)x，y滿足則z2x3y的最大值為_答案：8解析：由約束條件作出可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個頂點分別為(0，1)，(1，0)，(1，2)，由圖可得，目標(biāo)函數(shù)過點(1，2)時，z取最大值，故z2x3y的最大值為8.3. 已知實數(shù)x，y滿足若不等式4x2y2axy0恒成立，則實數(shù)a的最小值為_答案：5解析：由得24.由已知得a，則實數(shù)a的最小值為5.4. 已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(x，y)使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，則m_.答案：1解析：作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示若m0，則zx，目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意；若m0，則目標(biāo)函數(shù)zxmy可看作斜率為的動直線yx.若m<0，則>0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；若m>0，則<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，即1，則m1.綜上可知，m1.1. 確定不等式AxByC>0(<0，0，0)表示直線AxByC0的哪一側(cè)區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側(cè)取一特殊點；二是將不等式化為y>kxb(<，)2. 在線性約束條件下，當(dāng)b>0時，求目標(biāo)函數(shù)zaxbyc的最值的步驟：(1) 作出可行域；(2) 作出直線l0：axby0；(3) 平移直線l0：axby0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點；(4) 解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最值3. 常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：(1) 表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；(2) 表示點(x，y)與點(a，b)的距離；(3) 表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率值；(4) 表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率值備課札記第3課時基本不等式(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)9798頁)掌握基本不等式，能利用基本不等式推導(dǎo)不等式，能利用基本不等式求最大(小)值 了解基本不等式的證明過程. 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題1. (必修5P99練習(xí)4改編)若實數(shù)a，b滿足ab2，則3a3b的最小值是_答案：6解析：由基本不等式，得3a3b226，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時取等號，所以3a3b的最小值是6.2. (必修5P105復(fù)習(xí)題9改編)若f(x)x2(x0)，則f(x)的最大值為_答案：4解析： x0， f(x)(x)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時取等號3. (必修5P105復(fù)習(xí)題10改編)若x>3，則x的最小值為_答案：23解析： x3>0， x(x3)32323，當(dāng)且僅當(dāng)x3，即x3時取等號4. (原創(chuàng))若對任意x>0，a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：解析：因為a恒成立，所以a.又，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時等號成立，所以a.5. (原創(chuàng))已知a>0，b>0，若不等式恒成立，則m的最大值為_答案：9解析：原不等式恒成立等價于m，而(2ab)5529，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立所以m9，即m的最大值為9.1. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)2. 基本不等式(1) 基本不等式成立的條件：a0，b0；(2) 等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號；(3) 結(jié)論：兩個非負(fù)數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)3. 幾個重要的不等式(1) 重要不等式：a2b22ab(a，bR)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(2) ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(3) (a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號備課札記,1通過配湊法利用基本不等式求最值),1)(1) 已知x<，則f(x)4x2的最大值為_；(2) 若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a_答案：(1) 1(2) 3解析：(1) 因為x<，所以54x>0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時等號成立故f(x)4x2的最大值為1.(2) 因為x>2，所以x2>0，則f(x)x(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時取等號所以當(dāng)f(x)取最小值時，x3，即a3.變式訓(xùn)練若4x1，求的最大值解：·(x1). 4x1， (x1)0，0.從而2，1，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)，即x0時取等號即1.正數(shù)x，y滿足1.(1) 求xy的最小值；(2) 求x2y的最小值解：(1) 由12得xy36，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2，y18時取等號，故xy的最小值為36.(2) 由題意可得x2y(x2y)19192196，當(dāng)且僅當(dāng)，即9x22y2時取等號，故x2y的最小值為196.,2通過常數(shù)代換法或消元法利用基本不等式求最值),2)(1) 已知x>0，y>0且xy1，則的最小值為_；(2) 已知x>0，y>0，x3yxy9，則x3y的最小值為_答案：(1) 18(2) 6解析：(1) (常數(shù)代換法) x>0，y>0且xy1， (xy)1010218.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時等號成立， 當(dāng)x，y時，有最小值18.(2) 由已知得x.(解法1：消元法) x>0，y>0， y<3， x3y3y(3y3)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3y3，即y1，x3時，(x3y)min6.(解法2) x>0，y>0， 9(x3y)xyx·(3y)·，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時等號成立設(shè)x3yt>0，則t212t1080， (t6)(t18)0.又t>0， t6.故當(dāng)x3，y1時，(x3y)min6.變式訓(xùn)練(1) 已知正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_；(2) 若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_答案：(1) 23(2) 18解析：(1) 由xy2xy4，解得y，則xyx2(x1)323，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立(2) 由2x8yxy0，得2x8yxy， 1， xy(xy)10102102×218，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時取等號又2x8yxy0， x12，y6，即當(dāng)x12，y6時，xy取最小值18.,3基本不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用),3)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_答案：解析：對任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，可得a3.設(shè)g(x)x，xN*. g(x)在(0，2上單調(diào)遞減，在2，)上單調(diào)遞增，而xN*， g(x)在x取距離2較近的整數(shù)值時達(dá)到最小，而距離2較近的整數(shù)為2和3，且g(2)6，g(3). g(2)>g(3)， g(x)min. 3， a，故a的取值范圍是.變式訓(xùn)練要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5 m2，其中四邊形ABCD是一個矩形，四邊形EFCD是一個等腰梯形，梯形高h(yuǎn)AB，tanFED，設(shè)ABx m，BCy m.(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2) 怎樣設(shè)計x，y的長度，才能使所用材料最少？解：(1) 如圖，作DHEF于點H.依題意，DHABx，EH×xx， xyxxyx2， yx. x0，y0， x0，解得0x， 所求解析式為yx.(2) 在RtDEH中， tanFED， sinFED， DEx×x，設(shè)框架的周長為l m.則l(2x2y)2×x2y6xx6xx2 26.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x3時取等號，此時yx4， AB3 m，BC4 m時，能使整個框架所用材料最少,4基本不等式的實際應(yīng)用),4)某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條直線段圍成的按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30 m，其中大圓弧所在圓的半徑為10 m設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x m，圓心角為(弧度)(1) 求關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2) 已知在花壇的邊緣(實線部分)進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出x為何值時，y取得最大值解：(1) 由題意可得，30(10x)2(10x)，所以(0x10)(2) 花壇的面積為(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10)裝飾總費用為9(10x)8(10x)17010x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比y.令t17x，則y，當(dāng)且僅當(dāng)t18時取等號，此時x1，.所以當(dāng)x1時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為8元，月銷售5萬只(1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤月銷售總收入月總成本)，該口罩每只售價最多為多少元？(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進(jìn)行營銷策略改革，計劃每只售價x(x9)元，并投入(x9)萬元作為營銷策略改革費用據(jù)市場調(diào)查，每只售價每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少萬只則當(dāng)每只售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤解：(1) 設(shè)每只售價為x元(x>8)，則月銷售量為萬只，由已知得(x6)(86)×5， x2x0，即2x253x2960，解得8x，即每只售價最多為18.5元(2) 下月的月總利潤y(x6)(x9)xx. x9， 2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x10時取等號，ymax14.答：當(dāng)x10時，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元1. (2017·蘇北四市模擬)若實數(shù)x，y滿足xy3x3，則的最小值是_答案：8解析：由已知得x，而0x，所以y3.則y3y368，當(dāng)且僅當(dāng)y4，x時等號成立即8.2. (2017·蘇州期末)已知正數(shù)x，y滿足xy1，則的最小值為_答案：解析：由xy1，得x2y14，(x2y1)41(54)，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時取等號即.3. (2017·泰州、南通模擬)若正實數(shù)x，y滿足xy1，則的最小值是_答案：8解析：(xy)148.當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時取等號4. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知a，b均為正數(shù)，且aba2b0，則b2的最小值為_答案：7解析： a，b均為正數(shù)，且aba2b0，即a2bab， 1.則b2b21.b2224，當(dāng)且僅當(dāng)a4，b2時取等號 b28，當(dāng)且僅當(dāng)a4，b2時取等號 b2b217.5. (2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_答案：8解析：(解法1) sin A2sin Bsin C，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C， sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，兩邊同除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan C·tan Btan C，由三角形為銳角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A>0，即tan Btan C1>0.令tan Btan C1t(t>0)，則tan Atan Btan C2t48，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即tan Btan C2時取等號(解法2)同解法1可得tan Btan C2tan Btan C，又tan Atan Btan Ctan A(1tan Btan C)·tan(BC)tan Atan Atan Atan Btan Ctan A·tan Btan C， tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2tan Atan Btan C8，當(dāng)且僅當(dāng)tan A2tan Btan C4時取等號,7. 忽視最值取得的條件致誤)典例(1) 已知x0，y0，且1，則xy的最小值是_；(2) 函數(shù)y12x(x0)的最小值為_易錯分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件如： 12， 2， xy24， (xy)min4.(2) 沒有注意到x0這個條件，誤用基本不等式得2x2.解析：(1) x0，y0， xy(xy)332(當(dāng)且僅當(dāng)yx時取等號)， 當(dāng)x1，y2時，(xy)min32.(2) x0， y12x1(2x)1212，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，故y的最小值為12.答案：(1) 32(2) 12特別提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2) 盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致1. 已知正數(shù)a，b滿足5，則ab的最小值為_答案：36解析：由52，得ab560，解得6，ab36.2. 已知ab2，b0，當(dāng)取最小值時，實數(shù)a的值是_答案：2解析：2，當(dāng)且僅當(dāng)a2，b4時等號成立3. (2017·南京三模)已知a，b，c為正實數(shù)，且a2b8c，則的取值范圍是_答案：27，30解析：因為a，b，c為正實數(shù)，對a2b8c的左右兩邊同除以c，得8；對的左右兩邊同乘c，得2；令x，y，則條件可轉(zhuǎn)化為再進(jìn)行化簡，可得即求z3x8y的取值范圍，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對y求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)值為，可得切點橫坐標(biāo)為3，代入曲線，計算出切點坐標(biāo)為，利用線性規(guī)劃，可知z3x8y分別在(2，3)和處取最值，可得的取值范圍是27，304. (2017·無錫期末)已知a>0，b>0，c>2，且ab2，則的最小值為_答案：解析：由a0，b0，c2，且ab2，得c.由2，可得，當(dāng)且僅當(dāng)ba時等號成立，則原式c·.當(dāng)且僅當(dāng)c2時等號成立1. a2b22ab成立的條件是a，bR，而成立的條件是a0，b0，使用時要注意公式成立的前提條件2. 在運用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”(即條件中字母為正數(shù))“二定”(不等式的另一邊必須為定值)“三相等”(等號取得的條件)3. 正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”4. 連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致5. 掌握函數(shù)yax(a>0，b>0)的單調(diào)性，特別是當(dāng)運用基本不等式不能滿足“三相等”時備課札記第4課時不等式的綜合應(yīng)用(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)99100頁)掌握不等式的綜合應(yīng)用；掌握基本不等式的綜合應(yīng)用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識的綜合應(yīng)用解決應(yīng)用性問題的基本思路：讀題(背景、結(jié)論)條件建模解題反思作答1. (必修5P102習(xí)題7改編)函數(shù)yx(x0)的值域是_答案：(，44，)解析：當(dāng)x>0時，yx24；當(dāng)x<0時，yx24.2. (必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%.其中p>q>0，上述三種方案中提價最多的是_答案：方案丙解析：設(shè)原來價格為A，方案甲：經(jīng)兩次提價后價格為AA；方案乙：經(jīng)兩次提價后價格為A；方案丙：經(jīng)兩次提價后價格為AA1·因為>，所以方案丙提價最多3. 設(shè)xR，f(x)，若不等式f(x)f(2x)k對于任意的xR恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：k2解析：不等式轉(zhuǎn)化為k，因為(0，1，所以k2.4. (必修5P106復(fù)習(xí)題16改編)已知x>0，y>0且滿足1，則xy的最小值是_ .答案：18解析： x>0，y>0， xy(xy)2810218，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立又1， 當(dāng)x6，y12時，xy有最小值18.5. 若正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_答案：9，)解析：由a>0，b>0，得ab2，則abab323，即ab230(3)(1)03， ab9.備課札記,1含參數(shù)的不等式問題),1)若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有2，求k的取值范圍解：由x2x2>0得x1或x2，由2x2(52k)x5k0得(2x5)(xk)0，因為2是原不等式組的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因為原不等式組的整數(shù)解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范圍是3，2)變式訓(xùn)練解關(guān)于x的不等式0 (aR)解：原不等式等價于(ax1)(x1)0. 當(dāng)a0時，由(x1)0，得x1； 當(dāng)a0時，不等式化為(x1)0，解得x1或x； 當(dāng)a0時，不等式化為(x1)0；若1，即1a0，則x1；若1，即a1，則不等式解集為空集；若1，即a1，則1x.綜上所述，a1時，解集為；a1時，原不等式無解；1a0時，解集為；a0時，解集為x|x1；a0時，解集為.,2不等式在實際問題中的應(yīng)用),2)某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60x120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為L，其中k為常數(shù)，且60k100.(1) 若汽車以120 km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過9 L，求x的取值范圍；(2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值解：(1) 由題意，當(dāng)x120時，11.5，所以k100.由9，得x2145x4 5000， 45x100. 60x120， 60x100.(2) 設(shè)該汽車行駛100 km的油耗為y L，則y·20(60x120)令t，則t， y90 000t220kt2090 00020.對稱軸為直線t. 60k100， . 若，即75k100，則當(dāng)t，即x時，ymin20； 若，即60k75，則當(dāng)t，即x120時，ymin.答：當(dāng)75k100時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L；當(dāng)60k75時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L.現(xiàn)有一占地1 800 m2的矩形地塊，中間三個矩形設(shè)計為花圃(如圖)，種植不同品種的觀賞花卉，周圍則均是寬為1 m的賞花小徑，設(shè)花圃占地面積為S m2，設(shè)矩形一邊的長為x(如圖所示)(1) 試將S表示為x的函數(shù)；(2) 問應(yīng)該如何設(shè)計矩形地塊的邊長，使花圃占地面積S取得最大值？解：(1) 由題知Sa(x2)2a(x3)a(3x8)，又3a3，則a1，所以S(3x8)1 8083x.(2) S1 8083x1 80831 8082401 568(當(dāng)且僅當(dāng)x40時取等號)，此時另一邊長為45 m .答：當(dāng)x40 m，另一邊長為45 m時花圃占地面積S取得最大值1 568 m2.,3基本不等式的靈活運用),3)設(shè)x，y均為正實數(shù)，且1，則xy的最小值為_答案：16解析：由1，得xy8xy. x，y均為正實數(shù)， xy8xy82(當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立)，即xy280，解得4，即xy16.故xy的最小值為16.變式訓(xùn)練已知xy1，y0，x0，則的最小值為_答案：解析：將xy1代入中，得.設(shè)t0，則原式·(12t)1×2，當(dāng)且僅當(dāng)t，即x，y時等號成立1. 已知正數(shù)x，y滿足x2y1，則的最大值為_答案：解析： 正數(shù)x，y滿足x2y1， (x2y)·1010218，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時取等號， 的最小值為18， 的最大值為.2. 若x0，y0，則的最小值為_答案：解析：設(shè)t0，則t(2t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t時取等號3. 若x，y，z均為正實數(shù)，且x2y2z21，則的最小值為_答案：32解析：x，y，z均為正實數(shù)，且x2y2z21，可得1z2x2y22xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號，則32.當(dāng)且僅當(dāng)z1，即xy時，取得最小值32.4. 已知xy0，且xy2，則的最小值為_答案：解析：由xy0，可得x3y0，xy0，(x3y)(xy)5529，可得.當(dāng)且僅當(dāng)2(xy)x3y，即x5y時，取得最小值.5. (2017·蘇州期中)如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC2百米，CD 1百米，BCD120°，擬過線段BC上一點E設(shè)計一條直路EF(點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度)，EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍設(shè)EC x百米，EFy百米(1) 當(dāng)點F與點D重合時，試確定點E的位置；(2) 試求x的值，使路EF的長度y最短解：(1) 平行四邊形ABCD的面積為SABCD2××1×2sin 120°，當(dāng)點F與點D重合時，SCFECE·CD·sin 120°x. SCFESABCD， x， x1， E是BC的中點(2) 當(dāng)點F在CD上時， SCFECE·CF·sin 120°SABCD， CF.在CFE中，EF2CE2CF22CE·CF·cos 120°， y，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，此時E在BC中點處且F與D重合，符合題意； 當(dāng)點F在DA上時， S梯形CEFD·SABCD， DF1x.() 當(dāng)CEDF時，過E作EGCD交DA于G，在EGF中，EG1，GF12x，EGF60°，由余弦定理得y；() 當(dāng)CEDF時，過E作EGCD交DA于G，在EGF中，EG1，