第3講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用考情考向·高考導(dǎo)航1此部分內(nèi)容是高考命題的熱點內(nèi)容在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較小2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，多在選擇題、填空題最后幾題的位置考查，難度屬中等偏上，屬綜合性問題有時也常在解答題的第一問中考查，難度中檔真題體驗1(2019·全國卷)曲線y2sin xcos x在點(，1)處的切線方程為()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10解析：Cy2cos xsin x，切線斜率k2cos sin 2，在點(，1)處的切線方程為y12(x)，即2xy210.2(全國卷)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)·ex1的極值點，則f(x)的極小值為()A1 B2e3C5e3 D1解析：Af(x)x2(a2)xa1·ex1，則f(2)42(a2)a1·e30a1，則f(x)(x2x1)·ex1，f(x)(x2x2)·ex1，令f(x)0，得x2或x1，當(dāng)x2或x1時，f(x)0；當(dāng)2x1時，f(x)0，則f(x)極小值為f(1)1.3(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)exln x，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為_解析：由函數(shù)的解析式可得：f(x)ex×ln xex×ex(ln x)，則：f(1)e1×(ln 1)e.即f(1)的值為e.答案：e4(2019·天津卷)已知aR，設(shè)函數(shù)f(x)若關(guān)于x的不等式f(x)0在R上恒成立，則a的取值范圍為()A0,1 B0,2C0，e D1，e解析：C首先f(0)0，即a0，當(dāng)0a1時，f(x)x22ax2a(xa)22aa22aa2a(2a)0，當(dāng)a1時，f(1)10，故當(dāng)a0時，x22ax2a0在(，1上恒成立；若xaln x0在(1，)上恒成立，即a在(1，)上恒成立，令g(x)，則g(x)，易知xe為函數(shù)g(x)在(1，)唯一的極小值點、也是最小值點，故g(x)maxg(e)e，所以ae.綜上可知，a的取值范圍是0，e故選C.主干整合1導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點xx0處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，其切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性3可導(dǎo)函數(shù)極值的理解(1)函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定，也有可能極小值大于極大值(2)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x)0”是“f(x)在xx0處取得極值”的必要不充分條件(3)注意導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)由正變負(fù)的零點是原函數(shù)的極大值點，導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正的零點是原函數(shù)的極小值點4函數(shù)的極值與最值(1)函數(shù)的極值是局部范圍內(nèi)討論的問題，函數(shù)的最值是對整個定義域而言的，是在整個范圍內(nèi)討論的問題(2)函數(shù)在其定義區(qū)間的最大值、最小值最多有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有(3)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值一定是函數(shù)的最值熱點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1(1)(2019·全國卷)已知曲線yaexxln x在點(1，ae)處的切線方程為y2xb，則()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析Dyaexln x1，ky|x1ae1，切線方程為yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切線方程為y2xb，即ae1，b1.故選D.(2)(2019·成都二模)已知曲線C1：y2tx(y0，t0)在點M處的切線與曲線C2：yex11也相切，則tln的值為()A4e2 B8eC2 D8解析D曲線C1：y，y.當(dāng)x時，y，切線方程為y2，化簡為yx1.與曲線C2相切，設(shè)切點為(x0，y0)，y|xx0ex01，x0ln1，那么y0ex0111，切線方程為y，化簡為yxln1，是同一方程，所以ln11ln，即t4，那么tln4ln e28，故選D.求曲線yf(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求yf(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f(x0)，由點斜式寫出方程(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程(3)已知切線上一點(非切點)，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程(1)(2019·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線yln x上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(e，1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標(biāo)是_解析：導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點設(shè)點A(x0，y0)，則y0ln x0.又y，當(dāng)xx0時，y，點A在曲線yln x上的切線為yy0(xx0)，即yln x01，代入點(e，1)，得1ln x01，即x0ln x0e，考查函數(shù)H(x)xln x，當(dāng)x(0,1)時，H(x)0，當(dāng)x(1，)時，H(x)0，且H(x)ln x1，當(dāng)x1時，H(x)0，H(x)單調(diào)遞增，注意到H(e)e，故x0ln x0e存在唯一的實數(shù)根x0e，此時y01，故點A的坐標(biāo)為A(e,1)答案：(e,1)(2)(2019·煙臺三模)函數(shù)f(x)exsin x的圖象在點(0，f(0)處的切線方程是_解析：由f(x)exsin x，得f(x)exsin xexcos x，所以f(0)0且f(0)1，則切線的斜率為1，切點坐標(biāo)為(0,0)，所以切線方程為yx.答案：yx熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性邏輯推理素養(yǎng)邏輯推理分類與整合思想研究函數(shù)的單調(diào)性含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論，常見有以下幾種可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定義域內(nèi)；若根在定義域內(nèi)且有兩個，比較根的大小是常見的分類方法.例2(1)(2019·青島三模)若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是_解析由已知得f(x)x2ax1，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，f(x)0在區(qū)間上恒成立，即解得a，實數(shù)a的取值范圍為.答案(2)(2019·吉林三模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)ln xax11，當(dāng)a0時，討論f(x)的單調(diào)性解f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.當(dāng)a0時，f(x)，此時，在(0,1)上f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，在(1，)上f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x).()當(dāng)1，即a時，f(x)0在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；()當(dāng)a0時，1，此時在(0,1)，上f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，在上f(x)0，f(x)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)a0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)在(0,1)，上單調(diào)遞減，f(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)a時f(x)在(0，)上單調(diào)遞減求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的解題策略討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：(1)在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論(2)在不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論注意討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制(2019·廣州二模)已知x1是f(x)2xln x的一個極值點(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間1,2內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2，x(0，)因為x1是f(x)2xln x的一個極值點，所以f(1)0，即2b10.解得b3，經(jīng)檢驗，適合題意，所以b3.因為f(x)2，解f(x)0，得0x1.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1(2)g(x)f(x)2xln x(x0)，g(x)2(x0)因為函數(shù)g(x)在1,2上單調(diào)遞增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在1,2上恒成立，所以a2x2x在1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，x1,2因為在1,2上，(2x2x)max3，所以a3.熱點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值例3(2019·銀川二模)已知函數(shù)f(x)ln xax2(a2)x.(1)若f(x)在x1處取得極值，求a的值(2)求函數(shù)yf(x)在a2，a上的最大值審題指導(dǎo)(1)要求a的值，只需要令f(1)0即可(2)要求f(x)的最大值，就要根據(jù)與區(qū)間a2，a的關(guān)系分類討論，依據(jù)單調(diào)性求解解析(1)因為f(x)ln xax2(a2)x，所以函數(shù)的定義域為(0，)所以f(x)2ax(a2).因為f(x)在x1處取得極值，即f(1)(21)(a1)0，解得a1.當(dāng)a1時，在上f(x)0，在(1，)上f(x)0，此時x1是函數(shù)f(x)的極小值點，所以a1.(2)因為a2a，所以0a1，f(x)，因為x(0，)，所以ax10，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)0a時，f(x)在a2，a上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(a)ln aa3a22a；當(dāng)即a時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)maxfln 21ln 2；當(dāng)a2，即a1時，f(x)在a2，a上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2.綜上所述，當(dāng)0a時，函數(shù)yf(x)在a2，a上的最大值是ln aa3a22a；當(dāng)a時，函數(shù)yf(x)在a2，a上的最大值是1ln 2；當(dāng)a1時，函數(shù)yf(x)在a2，a上的最大值是2ln aa5a32a2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左、右函數(shù)值的符號(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值幾點注意：求函數(shù)極值時，一定要注意分析導(dǎo)函數(shù)的零點是不是函數(shù)的極值點；求函數(shù)最值時，務(wù)必將極值與端點值比較得出最大(小)值；對于含參數(shù)的函數(shù)解析式或區(qū)間求極值、最值問題，務(wù)必要對參數(shù)分類討論(2019·惠州二模)已知函數(shù)f(x)(1)求f(x)在區(qū)間(，1)上的極小值和極大值點；(2)求f(x)在1，e(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值解析：(1)當(dāng)x1時，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0f(x)00f(x)極小值極大值故當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)取得極小值為f(0)0，函數(shù)f(x)的極大值點為x.(2)當(dāng)1x1時，由(1)知，函數(shù)f(x)在1,0)和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增因為f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1，1)上的最大值為2.當(dāng)1xe，f(x)aln x，當(dāng)a0時，f(x)0；當(dāng)a0時，f(x)在1，e上單調(diào)遞增，則f(x)在1，e上的最大值為f(e)a.故當(dāng)a2時，f(x)在1，e上的最大值為a；當(dāng)a2時，f(x)在1，e上的最大值為2.限時50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2020·南開中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)g(x)2x且曲線yg(x)在x1處的切線為y2x1，則曲線yf(x)在x1處的切線的斜率為()A2B4C6 D8解析：B曲線yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，g(1)2.函數(shù)f(x)g(x)2x，f(x)g(x)2，f(1)g(1)2，f(1)224，即曲線yf(x)在x1處的切線的斜率為4.故選B.2(2019·南京三模)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A(，2 B(，1C2，) D1，)解析：D因為f(x)kxln x，所以f(x)k.因為f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，f(x)k0恒成立，即k在區(qū)間(1，)上恒成立因為x1，所以01，所以k1.故選D.3(2019·保定三模)函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是()A0,1) B(1,1)C. D(0,1)解析：Df(x)3x23a3(x2a)當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，無最小值當(dāng)a0時，f(x)3(x)(x)當(dāng)x(，)和(，)時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，)時，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)1，即0a1時，f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值4(2020·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax23x1有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，) B(，)C(，) D(，)(，)解析：Df(x)x22ax3.由題意知方程f(x)0有兩個不相等的實數(shù)根，所以4a2120，解得a或a.5(2019·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x)f(x)0，其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)af(0)，b2f(ln 2)，cef(1)，則a，b，c的大小關(guān)系是()Acba BabcCcab Dbca解析：A令g(x)exf(x)，則g(x)exf(x)f(x)0，所以函數(shù)g(x)在定義域R上單調(diào)遞增，從而g(0)g(ln 2)g(1)，得f(0)2f(ln 2)ef(1)，即abc.故選A.6(山東卷)若函數(shù)yf(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱yf(x)具有T性質(zhì)下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：A當(dāng)ysin x時，ycos x，cos 0·cos 1，所以在函數(shù)ysin x圖象存在兩點x0，x使條件成立，故A正確；函數(shù)yln x，yex，yx3的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選A.二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7(2019·廈門三模)已知直線ykx2與曲線yxln x相切，則實數(shù)k的值為_解析：由yxln x知yln x1，設(shè)切點為(x0，x0ln x0)，則切線方程為yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因為切線ykx2過定點(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2.答案：1ln 28(2019·濰坊三模)設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍是_解析：f(x)的定義域為(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，當(dāng)0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；所以x1是f(x)的極大值點若a0，由f(x)0，得x1或x.因為x1是f(x)的極大值點，所以1，解得1a0.綜合得a的取值范圍是(1，)答案：(1，)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9(2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為0，求a；(2)若f(x)在x1處取得極小值，求a的取值范圍解：(1)f(x)ax2(3a1)x3a2exf(x)ax2(a1)x1exf(2)(2a1)e20a(2)f(x)(ax1)(x1)ex當(dāng)a0時，令f(x)0得x1f(x)，f(x)隨x變化如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)極大值f(x)在x1處取得極大值(舍)當(dāng)a0時，令f(x)0得x1，x21a當(dāng)x1x2，即a1時，f(x)(x1)2ex0f(x)在R上單調(diào)遞增f(x)無極值(舍)b當(dāng)x1x2，即0a1時，f(x)，f(x)隨x變化如下表：x(，1)1f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在x1處取極大值(舍)c當(dāng)x1x2，即a1時f(x)，f(x)隨x變化如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在x1處取極小值即a1成立當(dāng)a0時，令f(x)0得x1，x21f(x)，f(x)隨x變化如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在x1處取極大值(舍)綜上所述：a的取值范圍為(1，)10(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2x3ax2b.(1)討論f(x)的單調(diào)性(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由解析：這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算思考量不大，由計算量補(bǔ)充(1)對f(x)2x3ax2b求導(dǎo)得f(x)6x22ax6x.所以有當(dāng)a0時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，(0，)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，(，)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，(，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增(2)若f(x)在區(qū)間0,1有最大值1和最小值1，所以若a0，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，(0，)區(qū)間上單調(diào)遞增；此時在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，所以f(0)1，f(1)1代入解得b1，a0，與a0矛盾，所以a0不成立若a0，(，)區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間0.1所以f(0)1，f(1)1代入解得.若0a2，(，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增即f(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間0,1上最小值為f而f(0)b，f(1)2abf(0)，故所以區(qū)間0,1上最大值為f(1). 即相減得2a2，即a(a3)(a3)0，又因為0a2，所以無解若2a3，(，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增即f(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間0,1上最小值為f而f(0)b，f(1)2abf(0)，故所以區(qū)間0,1上最大值為f(0). 即相減得2，解得x3，又因為2a3，所以無解若a3，(，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增所以有f(x)區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以區(qū)間0,1上最大值為f(0)，最小值為f(1)即解得.綜上得或.答案：(1)見詳解；(2)或.11(2018·江蘇卷)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)f(x)x2a，g(x).對任意a0，判斷是否存在b0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點”，并說明理由解：(1)f(x)1，g(x)2x2若存在，則有根據(jù)得到x0代入不符合，因此不存在“S點”(2)f(x)2ax，g(x)根據(jù)題意有且有x00根據(jù)得到x0代入得到a.(3)f(x)2x，g(x)轉(zhuǎn)化為xa00x01xxa(x01)2x0m(x)x3xa(x01)0轉(zhuǎn)化為m(x)存在零點x0,0x01又m(0)a0，m(1)2m(x)恒存在零點大于0小于1對任意a0均存在b0，使得存在“S點”- 15 -