第五節(jié)綜合法與分析法、反證法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點1綜合法從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法2分析法從求證的結論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件，直到歸結為這個命題的條件，或者歸結為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱為分析法3反證法(1)定義：在證明數(shù)學命題時，先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證明步驟是：作出否定結論的假設；進行推理，導出矛盾；否定假設，肯定結論基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)綜合法的思維過程是由因導果，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件()(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設矛盾()(4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)×(3)×(4)2要證a2b21a2b20 ，只要證明()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A方程x2axb0沒有實根B方程x2axb0至多有一個實根C方程x2axb0至多有兩個實根D方程x2axb0恰好有兩個實根A“方程x2axb0至少有一個實根”的反面是“方程x2axb0沒有實根”，故選A4已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關系是_>>0，>.5(教材改編)在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形綜合法1已知m1，a，b，則以下結論正確的是()AabBabCabDa，b大小不定Ba，b.而0(m1)，即ab.2已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖像關于點對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值證明(1)函數(shù)f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x，y)，它關于點對稱的點的坐標為(1x，1y)由已知y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖像關于點對稱(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.規(guī)律方法綜合法證題的思路分析法1若a，b(1，)，證明.證明要證，只需證()2()2，只需證ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因為a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得，b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立規(guī)律方法分析法的證題思路(1)分析法的證題思路：先從結論入手，由此逐步推出保證此結論成立的充分條件，而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證反證法考法1證明否定性命題【例1】設an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導an的前n項和公式；(2)設q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設an的前n項和為Sn.則Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，當q1時，Sn，當q1時，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)證明：假設數(shù)列an1是等比數(shù)列，則(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因為an是等比數(shù)列，公比為q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，這與已知q1矛盾，所以假設不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列考法2證明“至多”“至少”命題【例2】已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)，用反證法證明三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一個方程有兩個相異實根證明假設三個方程都沒有兩個相異實根則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三個式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.所以abc這與a，b，c是互不相等的實數(shù)相矛盾因此假設不成立，故三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一個方程有兩個相異實根規(guī)律方法用反證法證明數(shù)學命題需把握的三點(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的 設a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，當且僅當ab1時，等號成立，即ab2.(2)假設a2a<2與b2b<2同時成立，則由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時成立- 7 -