第六節(jié)正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bc·cos A；b2c2a22ca·cos B；c2a2b22ab·cos C公式變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aababab解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內切圓半徑)1三角形內角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABab，cosAcos BABab.4三角形射影定理abcos Cccos B；bacos Cccos A；cacos Bbcos A基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在ABC中，若AB，則必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60°，a4，b4，則B45°或135°()(4)在ABC中，()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯誤由cos A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知，BA(4)正確利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知結論正確答案(1)(2)×(3)×(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242×b×2×，解得b3或b(舍去)，故選D4在ABC中，A45°，C30°，c6，則a等于()A3 B6 C2D3B由正弦定理得，所以a6.5(教材改編)在非鈍角ABC中，2bsin Aa，則角B為()AB CDC由2bsin Aa得2sin Bsin Asin Asin B，又B是銳角或直角B.利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018·全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4BCD2(2)(2019·青島模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，則A等于()A B C D(1)A(2)C(1)因為cos ，所以cos C2cos2 12×21.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC×BC×cos C52122×5×1×32，所以AB4.故選A(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A又a22b2(1sin A)，所以sin Acos A，即tan A1，又A是三角形內角，則A，故選C規(guī)律方法應用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊：利用公式a，b，c或其他相應變形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相應變形公式求解(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解(4)靈活利用式子的特點轉化：如出現(xiàn)a2b2c2ab形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理 (1)(2019·鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30° B45° C60° D120°(2)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，A60°，則sin B_，c_.(1)A(2)3(1)由正弦定理及(bc)·(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30°.(2)因為a，b2，A60°，所以由正弦定理得sin B.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3.與三角形面積有關的問題【例2】(1)(2018·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因為sin Bsin C0，所以sin A.因為b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A××.(2)(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.求cos B；若ac6，ABC的面積為2，求b.解由題設及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4.所以b2.規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化 (1)(2018·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A B C DC因為SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故選C(2)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B證明：A2B；若ABC的面積S，求角A的大小解證明：由bc2acos B得sin Bsin C2sin Acos B即2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B；所以sin(AB)sin B又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或ABB，所以A(舍去)或A2B，所以A2B由S得absin C，則sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B由sin B0得sin Ccos B又B，C(0，)，所以C±B當BC時，A，當CB時，A，綜上知A或A.正余弦定理的簡單應用考法1判斷三角形的形狀【例3】(1)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos Abcos B，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2019·廣州模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2c2a2bc，若sin B·sin Csin2A，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因為acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin B·sin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，從而ABC是等邊三角形，故選C考法2求解幾何計算問題【例4】(2019·哈爾濱模擬)如圖，在ABC中，B，AB8，點D在邊BC上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長解(1)在ADC中，cosADC ，sinADC，則sinBADsin(ADCB)sinADC·cosBcosADC·sinB××.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22AB·BCcos B82522×8×5×49，即AC7.考法3正、余弦定理與三角函數(shù)的交匯問題【例5】(2018·天津高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin Aacos(1)求角B的大??；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因為B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因為ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.規(guī)律方法平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果易錯警示：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質，要把這些性質與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題 如圖，在ABC中，D是BC邊上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC故AB22AC23AD2BD22DC26，又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.1(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCDB因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A×.由A知C為銳角，故C，故選B2(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.3(2016·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又，b.4(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C60°，b，c3，則A_.75°如圖，由正弦定理，得，sin B.又c>b，B45°，A180°60°45°75°.5(2016·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.- 12 -