第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考定位三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，主要從以下兩個方面進行考查：1.三角函數(shù)的圖象，涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.真 題 感 悟1.(2018·全國卷)已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A. B. C. D.1解析由題意知cos >0.因為cos 22cos21，所以cos ，sin ±，得|tan |.由題意知|tan |，所以|ab|.答案B2.(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()A.f(x)的一個周期為2 B.yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱C.f(x)的一個零點為x D.f(x)在單調(diào)遞減解析A項，因為f(x)的周期為2k(kZ且k0)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確.B項，因為f(x)圖象的對稱軸為直線xk(kZ)，當(dāng)k3時，直線x是其對稱軸，B項正確.C項，f(x)cos，將x代入得到fcos0，所以x是f(x)的一個零點，C項正確.D項，因為f(x)cos的遞減區(qū)間為 (kZ)，遞增區(qū)間為 (kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤.答案D3.(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()A.f(x)的最小正周期為，最大值為3B.f(x)的最小正周期為，最大值為4C.f(x)的最小正周期為2，最大值為3D.f(x)的最小正周期為2，最大值為4解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)2x2k，即xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4.答案B4.(2018·全國卷)若f(x)cos xsin x在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D.解析f(x)cos xsin xcos，且函數(shù)ycos x在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，則由0x，得x.因為f(x)在a，a上是減函數(shù)，所以解得a，所以0<a，所以a的最大值是.答案A考 點 整 合1.常用三種函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(k，0)對稱軸xkxk周期性222.三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù).3.三角函數(shù)的兩種常見變換熱點一三角函數(shù)的定義【例1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin ，則cos()_.(2)如圖，以O(shè)x為始邊作角(0<<)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標(biāo)為，則_.解析(1)法一由已知得(2k1)(kZ).sin ，sin sin(2k1)sin (kZ).當(dāng)cos 時，cos ，cos()cos cos sin sin ××.當(dāng)cos 時，cos ，cos()cos cos sin sin .綜上可知，cos().法二由已知得(2k1)(kZ)，sin sin(2k1)sin ，cos cos(2k1)cos ，kZ.當(dāng)sin 時，cos()cos cos sin sin cos2sin2(1sin2)sin22sin212×1.(2)由三角函數(shù)定義，得cos ，sin ，原式2cos22×.答案(1)(2)探究提高1.當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決，機械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤.2.任意角的三角函數(shù)值僅與角的終邊位置有關(guān)，而與角終邊上點P的位置無關(guān).若角已經(jīng)給出，則無論點P選擇在終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的.【訓(xùn)練1】 (1)(2018·濰坊三模)在直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點P，則sin()()A. B. C. D.(2)(2018·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中，是圓x2y21上的四段弧(如圖)，點P在其中一段上，角以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tan <cos <sin ，則P所在的圓弧是()A. B. C. D.解析(1)角的終邊過點P，且|OP|1.由三角函數(shù)定義，知sin cos.因此sin()sin .(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由三角函數(shù)的定義得<x<y，所以1<x<0，0<y<1.所以P所在的圓弧是.答案(1)C(2)C熱點二三角函數(shù)的圖象考法1三角函數(shù)的圖象變換【例21】 (1)要想得到函數(shù)ysin 2x1的圖象，只需將函數(shù)ycos 2x的圖象()A.向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度B.向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度C.向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度D.向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度(2)(2018·湖南六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin(x)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，那么函數(shù)yf(x)的圖象()A.關(guān)于點對稱 B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線x對稱 D.關(guān)于直線x對稱解析(1)因為ysin 2x1cos1cos1，故只需將函數(shù)ycos 2x的圖象向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，即可得到函數(shù)ysin 2x1的圖象.(2)由題意，T，2.又yf sin的圖象關(guān)于y軸對稱.k，kZ.由|<，取，因此f(x)sin，代入檢驗f 0，A正確.答案(1)B(2)A探究提高1.“五點法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得.2.在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.考法2由函數(shù)的圖象特征求解析式【例22】 (1)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)2sin B.f(x)2sinC.f(x)2sin D.f(x)2sin(2)(2018·濟南調(diào)研)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)()A.1 B.C. D.解析(1)由題意知A2，T4，2，因為當(dāng)x時取得最大值2，所以22sin，所以2×2k，kZ，解得2k，kZ，因為|<，得.因此函數(shù)f(x)2sin.(2)觀察圖象可知，A1，T，則2.又點是“五點法”中的始點，2×0，.則f(x)sin.函數(shù)圖象的對稱軸為x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，所以，則x1x2，因此f(x1x2)sin.答案(1)B(2)D探究提高已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點的位置.【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值.解(1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由題圖可知A1，即T，所以，解得2，所以f(x)sin(2x)，又過點，由0sin可得2k，kZ，則2k，kZ，因為|，所以，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)sin.(2)根據(jù)條件得g(x)sin，當(dāng)x時，4x，所以當(dāng)x時，g(x)取得最小值，且g(x) min.熱點三三角函數(shù)的性質(zhì)考法1三角函數(shù)性質(zhì)【例31】 (2018·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程；(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.解(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).注意到x，所以令k0，得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為.探究提高1.討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù).2.求函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的單調(diào)區(qū)間，是將x作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當(dāng)A0，0時，需先利用誘導(dǎo)公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.考法2三角函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用【例32】 已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2sin2x(>0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)在0，b(b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值.解(1)f(x)2sin xcosx(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期為，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，整理得kxkx，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)2sin 2x1的圖象；所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有兩個零點，若yg(x)在0，b上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標(biāo)即可.所以b的最小值為4.探究提高1.研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解.2.函數(shù)yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T.應(yīng)特別注意y|Asin(x)|的最小正周期為T.【訓(xùn)練3】 (2018·湖南師大附中質(zhì)檢)已知向量m(2cos x，1)，n(sin xcos x，2)(>0)，函數(shù)f(x)m·n3，若函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x時，求函數(shù)g(x)的值域.解(1)f(x)m·n32cos x(sin xcos x)23sin 2xcos 2xsin.依題意知，最小正周期T.1，因此f(x)sin.令2k2x2k，kZ，求得f(x)的增區(qū)間為，kZ.(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位，得ysinsin的圖象.然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)g(x)sin的圖象.故g(x)sin，由x，知4x.1sin.故函數(shù)g(x)的值域是，1.1.已知函數(shù)yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數(shù)的周期T求，.(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.2.運用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對稱性類比ysin x的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整體代入求解.(1)令xk(kZ)，可求得對稱軸方程；(2)令xk(kZ)，可求得對稱中心的橫坐標(biāo)；(3)將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，注意的符號.3.函數(shù)yAsin(x)B的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B(一角一函數(shù))的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題.一、選擇題1.(2018·全國卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.答案C2.(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A. B.1 C. D.解析cos cossin，則f(x)sinsinsin，函數(shù)的最大值為.答案A3.(2018·湖南六校聯(lián)考)定義一種運算adbc，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移(>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是()A. B. C. D.解析f(x)2cos x2sin x4cos，依題意g(x)f(x)4cos是偶函數(shù)(其中>0).k，kZ，則min.答案C4.偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，0<<)的部分圖象如圖所示，其中EFG是斜邊為4的等腰直角三角形(E，F(xiàn)是函數(shù)與x軸的交點，點G在圖象上)，則f(1)的值為()A. B. C. D.2解析依題設(shè)，|EF|4，T8，.函數(shù)f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，且0<<.，在等腰直角EGF中，易求A2.所以f(x)2sin2cosx，則f(1).答案C5.(2018·天津卷)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減解析把函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度得函數(shù)g(x)sinsin 2x的圖象，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，令k1，得x，即函數(shù)g(x)sin 2x的一個單調(diào)遞增區(qū)間為.答案A二、填空題6.(2018·江蘇卷)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱，則的值是_.解析由函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱，得sin±1.因為<<，所以<<，則，.答案7.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，其中|PQ|2.則f(x)的解析式為_.解析由題圖可知A2，P(x1，2)，Q(x2，2)，所以|PQ|2.整理得|x1x2|2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T2|x1x2|4，即4，解得.又函數(shù)圖象過點(0，)，所以2sin ，即sin .又|<，所以，所以f(x)2sin.答案f(x)2sin8.(2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos(>0).若f(x)f 對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為_.解析由于對任意的實數(shù)都有f(x)f 成立，故當(dāng)x時，函數(shù)f(x)有最大值，故f 1，2k(kZ)，8k(kZ).又>0，min.答案三、解答題9.已知函數(shù)f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.解(1)f(x)的定義域為x|xk，kZ，f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.設(shè)A，B，易知AB.所以當(dāng)x時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.10.(2018·西安模擬)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2，求cos(x1x2)的值.解(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為xk，kZ，當(dāng)x(0，)時，對稱軸為x.又方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2.x1x2，則x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).11.設(shè)函數(shù)f(x)sinsin，其中03，已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g (x)在上的最小值.解(1)因為f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由題設(shè)知f 0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因為x，所以x，當(dāng)x，即x時，g(x)取得最小值.16