第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·bb·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)(為實數(shù))；(3)分配律：a·(bc)a·ba·c.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos aba·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·1平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(ab)·(ab)a2b2；(2)(a±b)2a2±2a·bb2.2兩個向量a，b的夾角為銳角a·b0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角a·b0且a，b不共線基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量()(2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(3)由a·b0可得a0或b0.()(4)(a·b)ca(b·c)()答案(1)(2)(3)×(4)×2(教材改編)已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為()A12B8C8D2Aa·b|a|b|cosa，b，|b|a|cosa，b3×412.3已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6 C6 D8Da(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)·b122m4162m0，即m8.4已知a，b是平面向量，如果|a|3，|b|4，|ab|2，那么|ab|()A. B7 C5 DA|a|3，|b|4，|ab|2，a2b22a·b4，即2a·b21.|ab|.5已知向量a(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_由題意得|a|2，|b|2，a·b1××12.設(shè)a與b的夾角為，則cos .0，.平面向量數(shù)量積的運算1已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是()A3BC3、DA依題意得，(2，1)，(5,5)，·15，|，因此向量在方向上的投影是3，故選A.2在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中點，E在BC上，且AEBD，則·()A16 B12 C8 D4A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)設(shè)E(0，b)，因為AEBD，所以·0，即(4，b)·(2,3)0，所以b，所以E，所以·16，故選A.3已知菱形ABCD的邊長為6，ABD30°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC2BE，CDCF.若·9，則的值為()A2 B3 C4 D5B依題意得，因此··22·，于是有×62×62×cos 60°9，由此解得3，故選B規(guī)律方法1.向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cosa，b；(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.,2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，常利用解析法，巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解.平面向量的夾角與?？挤?平面向量的模【例1】(1)設(shè)向量a，b滿足|a|2，|b|ab|3，則|a2b|_.(2)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_(1)4(2)4(1)因為|a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22a·b|b|2492a·b9，所以a·b2，所以|a2b|4.(2)由題意得|a|1，|b|2，a·bsin cos 2sin，所以|2ab|24|a|2|b|24a·b4×12228sin88sin，所以|2ab|2的最大值為88×(1)16，故|2ab|的最大值為4(此時2k，kZ)考法2平面向量的夾角【例2】(1)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B C. D(2)(2018·遼南一模)設(shè)向量a(1，)，b(m，)，且a，b的夾角為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是_(1)A(2)(3,1)(1，)(1)(ab)(3a2b)，(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20，a·b3a22b2，又|a|b|，cosa，b，又a，b0，a與b的夾角為，故選A.(2)由a，b的夾角是銳角得a·b0且a，b不共線，則解得m3且m1，即實數(shù)m的取值范圍為(3,1)(1，)規(guī)律方法1.求解平面向量模的方法(1)寫出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a|即可；(2)當(dāng)利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，.2.求平面向量的夾角的方法(1)定義法：cos ，注意的取值范圍為0，；(2)坐標(biāo)法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos ；(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解. (1)(2018·廣州一模)已知向量a(m,2)，b(1,1)，若|ab|a|b|，則實數(shù)m_.(2)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實數(shù)的值是_(1)2(2)(1)|ab|a|b|兩邊平方，得2a·b2|a|b|，即m2×，解得m2.(2)由題意知|e1|e2|1，e1·e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60°，解得.平面向量的應(yīng)用【例3】(1)在ABC中，已知向量(2,2)，|2，·4，則ABC的面積為()A4 B5 C2 D3(2)(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·()的最小值是()A2 B C D1(1)C(2)B(1)(2,2)，|2，·|cos A2×2cos A4，cos A，又A(0，)，sin A，SABC|sin A2，故選C.(2)建立坐標(biāo)系如圖所示，則A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(1,0)，C(1,0)設(shè)P點的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，·()(x，y)·(2x，2y)2(x2y2y)22×.當(dāng)且僅當(dāng)x0，y時，·()取得最小值，最小值為.故選B規(guī)律方法1.用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法：(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算；(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法2平面向量與三角函數(shù)的綜合問題，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式然后求解 (1)(2019·廈門模擬)平行四邊形ABCD中，AB4，AD2，·4，點P在邊CD上，則·的取值范圍是()A1,8B1，)C0,8 D1,0(2)(2019·沈陽模擬)已知向量a，b滿足|a|b|a·b2且(ac)·(bc)0，則|2bc|的最大值為_(1)A(2)1(1)由題意得·|·|·cosBAD4，解得BAD.以A為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因為點P在邊CD上，所以不妨設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，)(1a5)，則·(a，)·(4a，)a24a3(a2)21，則當(dāng)a2時，·取得最小值1；當(dāng)a5時，·取得最大值8，故選A.(2)|a|b|a·b2，cosa，b，a，b60°.設(shè)a(2,0)，b(1，)，c，(ac)·(bc)0，點C在以AB為直徑的圓M上，其中M，半徑r1.延長OB到D，使得2b(圖略)，則D(2,2)2bc，|2bc|的最大值為CD的最大值DM，CD的最大值為DMr1.1(2018·全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，a·b1，則a·(2ab)()A4B3C2D0Ba·(2ab)2a2a·b2(1)3，故選B2(2016·全國卷)已知向量，則ABC()A30° B45° C60° D120°A因為，所以·.又因為·|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故選A.3(2014·全國卷)設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b()A1 B2 C3 D5A|ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，得4a·b4，a·b1.4(2017·全國卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_.2|a2b|2.5(2016·全國卷)設(shè)向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.2|ab|2|a|2|b|22a·b|a|2|b|2，a·b0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.- 9 -