第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱傳真1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)432101當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程2圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0xy0yr2.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()(4)過圓O：x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2直線xy10與圓(x1)2y21的位置關(guān)系是()A相切B直線過圓心C直線不過圓心，但與圓相交 D相離B依題意知圓心為(1,0)，到直線xy10的距離d0，所以直線過圓心3(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離B兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交4圓Q：x2y24x0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20D因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)是圓Q：x2y24x0上的一點(diǎn)，故在點(diǎn)P處的切線方程為xy20，故選D5(教材改編)圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長(zhǎng)為_2由得xy20.由于x2y240的圓心為(0,0)，半徑r2，且圓心(0,0)到直線xy20的距離d，所以公共弦長(zhǎng)為222.直線與圓的位置關(guān)系考法1直線與圓位置關(guān)系的判定【例1】直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離 D不確定A法一：圓心(0,1)到直線l的距離d<1<.故直線l與圓相交法二：直線l：mxy1m0過定點(diǎn)(1,1)，點(diǎn)(1,1)在圓C：x2(y1)25的內(nèi)部，直線l與圓C相交考法2切線問題【例2】已知點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x1)2(y2)24.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)解由題意得圓心C(1,2)，半徑r2.(1)(11)2(22)24，點(diǎn)P在圓C上又kPC1，切線的斜率k1.過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，點(diǎn)M在圓C外部當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x3，即x30.又點(diǎn)C(1,2)到直線x30的距離d312r，即此時(shí)滿足題意，所以直線x3是圓的切線當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y1k(x3)，即kxy13k0，則圓心C到切線的距離dr2，解得k.切線方程為y1(x3)，即3x4y50.綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x30或3x4y50.|MC|，過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為1.考法3弦長(zhǎng)問題【例3】設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90B當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x0，聯(lián)立方程得得或|AB|2，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx3，圓x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r2，圓心C(1,1)到直線ykx3的距離d，d22r2，34，解得k，直線l的方程為yx3，即3x4y120.綜上，直線l的方程為3x4y120或x0.故選B規(guī)律方法1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法：(1)若易求出圓心到直線的距離，則用幾何法，利用d與r的關(guān)系判斷(2)若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)式較復(fù)雜，則用代數(shù)法，聯(lián)立方程后利用判斷，能用幾何法求解的，盡量不用代數(shù)法2(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形(2)處理圓的切線問題時(shí)，一般通過圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系式解決問題若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2r2上，則過點(diǎn)M的圓的切線方程為x0xy0yr2. (1)若直線xmy2m與圓x2y22x2y10相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)(0，)(2)直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|2，則k的取值范圍是()A. B0，)C. D(3)已知P是直線l：kx4y100(k0)上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2y22x4y40的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為()A3 B2C. D(1)D(2)C(3)A(1)由題意可知，圓心為(1,1)，半徑r1，若直線與圓相交，則1，即1，m0，故選D(2)若|MN|2，則圓心(2,3)到直線ykx3的距離為1，解得k±.若|MN|2，則k.(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)21，則圓心為C(1，2)，半徑為1，則直線與圓相離，如圖，S四邊形PACBSPACSPBC，而SPAC|PA|·|CA|PA|，SPBC|PB|·|CB|PB|，又|PA|PB|，所以當(dāng)|PC|取最小值時(shí)，|PA|PB|取最小值，即SPACSPBC取最小值，此時(shí)，CPl，四邊形PACB面積的最小值為2，SPACSPBC，所以|PA|2，所以|CP|3，所以3，因?yàn)閗0，所以k3.圓與圓的位置關(guān)系【例4】已知兩圓C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)解(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r24，兩圓圓心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圓C1和圓C2相交(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x3y230，兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.圓心C2(5,6)到直線4x3y230的距離3，故公共弦長(zhǎng)為22.規(guī)律方法(1)判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察(2)兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線方程的求法兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到(3)兩圓公共弦長(zhǎng)的求法求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長(zhǎng)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解 (1)(2016·山東高考)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離(2)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21 B19C9 D11(1)B(2)C(1)法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.圓M截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度為2，圓心M到直線xy0的距離d，解得a2.以下同法一(2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r11，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2(m25)從而|C1C2|5.由兩圓外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故選C.1(2016·全國(guó)卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.2(2014·全國(guó)卷)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是_1,1如圖，過點(diǎn)M作O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與O相切于點(diǎn)N.設(shè)OMN，則45°，即sin ，即.而ON1，OM.M為(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范圍為1,13(2015·全國(guó)卷)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知直線l的方程為ykx1.因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1，解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.- 8 -