第十三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的綜合問題導數(shù)與不等式考法1證明不等式【例1】已知函數(shù)f(x)xaex(aR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當x0，a1時，證明：x2(a1)xxf(x)解(1)由f(x)xaex可得f(x)1aex.當a0時，f(x)0，則函數(shù)f(x)在(，)上為增函數(shù)當a0時，由f(x)0可得xln，由f(x)0可得xln，所以函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)(2)證明：設(shè)F(x)x2(a1)xxf(x)x2axaxexx(xaaex)設(shè)H(x)xaaex，則H(x)1aex.x0，0ex1，又a1，1aex1ex0.H(x)在(，0)上為增函數(shù)，則H(x)H(0)0，即xaaex0.由x0可得F(x)x(xaaex)0，所以x2(a1)xxf(x)考法2解決不等式恒成立(存在性)問題【例2】設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，令g(x)0得0x，又x0,2，所以g(x)在區(qū)間上是減少的，在區(qū)間上是增加的，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，則滿足條件的最大整數(shù)M4.(2)對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)ming(x)max，由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1.在區(qū)間上，f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立設(shè)h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函數(shù)，可知h(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，又h(1)0，所以當1x2時，h(x)0；當x1時，h(x)0.即函數(shù)h(x)xx2ln x在區(qū)間上遞增，在區(qū)間(1,2)上遞減，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即實數(shù)a的取值范圍是1，)規(guī)律方法1.利用導數(shù)證明含“x”不等式方法，證明：f(x)g(x)法一：移項，f(x)g(x)0，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，轉(zhuǎn)化證明F(x)min0，利用導數(shù)研究F(x)單調(diào)性，用上定義域的端點值法二：轉(zhuǎn)化證明：f(x)ming(x)max.法三：先對所求證不等式進行變形，分組或整合，再用法一或法二2利用導數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題3“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應求f(x)的最大值應特別關(guān)注等號是否成立問題 (2018·全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)aexln x1.證明：當a時，f(x)0.解證明：當a時，f(x)ln x1.設(shè)g(x)ln x1，則g(x).當0<x<1時，g(x)<0；當x>1時，g(x)>0.所以x1是g(x)的最小值點故當x>0時，g(x)g(1)0.因此，當a時，f(x)0.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題【例3】(2019·黃山模擬)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因為f(0)c，f(0)b，所以曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當ab4時，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，當c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c時，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點規(guī)律方法利用導數(shù)研究方程根的方法(1)研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖像的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置(3)可以通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn) 設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(負值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的遞減區(qū)間是(0，)，遞增區(qū)間是(，)，f(x)在x處取得極小值f()，無極大值(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke，當ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點當ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題【例4】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路分別為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于點P，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點P的坐標為，設(shè)公路l交x軸，y軸分別為A，B兩點，如圖所示，又y，則直線l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20設(shè)g(t)t2，t5,20，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當t5,10)時，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當t(10，20時，g(t)0，g(t)是增函數(shù)所以當t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.故當t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米規(guī)律方法利用導數(shù)解決生活中的實際應用問題的4步驟 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為1 60元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大解(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100×2rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因為r>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)(2)因為V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(舍去)當r(0,5)時，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當r(5,5)時，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8.即當r5，h8時，該蓄水池的體積最大.1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(0，1)處的切線方程；(2)證明：當a1時，f(x)e0.解(1)f(x)，f(0)2.因此曲線yf(x)在(0，1)處的切線方程是2xy10.(2)當a1時，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1.當x<1時，g(x)<0，g(x)遞減；當x>1時，g(x)>0，g(x)遞增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.2(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a0時，f(x)2aaln.解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x>0)當a0時，f(x)>0，f(x)沒有零點；當a>0時，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因為u(x)e2x在(0，)上是增加的，v(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)在(0，)上是增加的又f(a)>0，當b滿足0<b<且b<時，f(b)<0，故當a>0時，f(x)存在唯一零點(2)證明：由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)<0；當x(x0，)時，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上是減少的，在(x0，)上是增加的，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln .故當a>0時，f(x)2aaln .- 9 -