§3函數(shù)的單調性學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.理解函數(shù)單調性的概念及其幾何意義(難點)2掌握用定義證明函數(shù)單調性的步驟(重點)3會求函數(shù)的單調區(qū)間，理解函數(shù)單調性的簡單應用(難點)1.通過學習函數(shù)單調性的概念及幾何意義，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)2通過函數(shù)單調性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1函數(shù)在區(qū)間上增加(減少)的定義閱讀教材P36P37第二自然段結束，完成下列問題在函數(shù)f(x)定義域內的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數(shù)x1，x2A，當x1<x2時都有f(x1)<f(x2)f(x)在區(qū)間A上是增加的(遞增的)都有f(x1)>f(x2)f(x)在區(qū)間A上是減少的(遞減的)思考1：對于函數(shù)f(x)x2，x1,1，由于f(1)>f(0)，所以f(x)在區(qū)間1,1上是遞減的，這個結論正確嗎？提示不正確在函數(shù)遞增的定義中，要求對于任意x1，x2A，當x1<x2時，f(x1)<f(x2)，本推理不滿足定義2單調區(qū)間、單調性和單調函數(shù)的概念閱讀教材P37第三自然段開始P38“函數(shù)f(x)3x2是R上的增函數(shù)”的有關內容，完成下列問題(1)函數(shù)的單調區(qū)間如果yf(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么稱A為單調區(qū)間在單調區(qū)間上，如果函數(shù)是增加的，那么它的圖像是上升的；如果函數(shù)是減少的，那么它的圖像是下降的(2)函數(shù)的單調性如果函數(shù)yf(x)在定義域的某個子集上是增加的或減少的，那么就稱函數(shù)yf(x)在這個子集上具有單調性(3)單調函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調函數(shù)思考2：函數(shù)y的單調區(qū)間是(，0)(0，)，還是(，0)和(0，)?提示函數(shù)y的單調區(qū)間是(，0)和(0，)3函數(shù)最大值、最小值的概念閱讀教材P38第二自然段及左側“思考”P39“練習”以上內容，完成下列問題前提設函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意xD，都有f(x)M；存在x0D，使得f(x0)M對任意xD都有f(x)M；存在x0D，使得f(x0)M結論M為最大值M為最小值思考3：(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值嗎？(2)當xR時，f(x)x21，1是函數(shù)f(x)x2，xR的最小值嗎？(3)函數(shù)f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是什么？提示(1)不一定，如函數(shù)y2x，xR就無最大值和最小值(2)不是，雖然f(x)1，但是不存在x0R，使f(x0)1.根據(jù)最小值的定義可知1不是函數(shù)f(x)的最小值(3)函數(shù)f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是函數(shù)f(x)的圖像上最高(低)點的縱坐標1若y(2k1)xb是R上的減函數(shù)，則有()Ak> Bk>Ck< Dk<C由y(2k1)xb是R上的減函數(shù)，所以2k1<0得k<，故選C.2函數(shù)f(x)在2,2上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()Af(2)，0 B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2C由最大(小)值的幾何意義，可知f(x)maxf(1)2，f(x)minf(2)3函數(shù)f(x)x21，xR的最小值是_1f(x)x211，又f(0)1，所以f(x)的最小值是1.4已知函數(shù)f(x)在R中是增函數(shù)，則當x1<x2時，f(x1)與f(x2)的大小關系是_f(x1)<f(x2)根據(jù)增函數(shù)的定義知，f(x1)<f(x2)用定義判斷或證明函數(shù)的單調性【例1】證明函數(shù)f(x)x在(0,1)上為減函數(shù)思路探究在(0,1)上任取x1，x2且x1x2，通過作差比較法證明f(x1)f(x2)解任取x1，x2(0,1)，且x1<x2，則f(x2)f(x1)，由0<x1<x2<1，得x2x1>0，x1x21<0，x1x2>0，所以，f(x2)f(x1)<0，于是f(x2)<f(x1)根據(jù)減函數(shù)的定義知，f(x)在(0,1)上為減函數(shù)用定義判斷或證明單調性的步驟(1)設元：在指定區(qū)間內任取x1，x2且x1x2.(2)作差變形：計算f(x1)f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的式子(幾個因式的積或幾個完全平方式的和).(3)定號：確定f(x1)f(x2)的符號，當符號不確定時，可考慮分類討論.(4)判斷：根據(jù)f(x1)f(x2)的符號及定義判斷函數(shù)的單調性.1對于例1中的函數(shù)，證明其在區(qū)間(1，)內是增函數(shù)證明任取x1，x2(1，)，且x1<x2，則f(x2)f(x1)，由x2>x1>1，得x2x1>0，x1x21>0，x1x2>0，所以f(x2)f(x1)>0，于是f(x2)>f(x1)，根據(jù)增函數(shù)的定義知，f(x)在(1，)上是增函數(shù)已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍【例2】已知函數(shù)f(x)x22(a1)x1在區(qū)間(，4上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍思路探究求出f(x)的單調遞減區(qū)間，利用集合之間的關系求解解f(x)x(a1)2(a1)21.f(x)的單調遞減區(qū)間是(，1a又f(x)在區(qū)間(，4上單調遞減，則(，4(，1a，1a4，解得a3.1(變條件)設函數(shù)f(x)(12a)x1是R上的增函數(shù)，則有()Aa< Ba>Ca< Da>A依題意，12a>0，解得a<.2(變條件)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是_3a2依題意，解得3a2.知函數(shù)的單調性，求參數(shù)取值范圍的方法(1)先求出函數(shù)的單調區(qū)間，將其轉化為兩個集合之間的關系求解；(2)當已知函數(shù)是分段函數(shù)時，不但要考慮各段上函數(shù)的單調性，而且還要考慮各段圖像之間的上下關系.利用單調性求函數(shù)的最大(小)值探究問題1若函數(shù)f(x)在定義域a，b上是增函數(shù)，則f(x)的最大值與最小值分別是什么？提示：f(x)maxf(b)，f(x)minf(a)2已知函數(shù)f(x)的定義域是區(qū)間(a，b)，且在(a，c上遞增，在c，b)上遞減，則f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？提示：f(x)一定存在最大值，最大值是f(c)3如何求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上的最大值與最小值提示：由f(x)在區(qū)間1,3上單調遞增，得f(x)maxf(3)；f(x)minf(1)1.【例3】求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上的最大值與最小值思路探究先判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上的單調性，再利用單調性求最值解f(x)2.其圖像如下：由上圖知，f(x)在區(qū)間1,3上遞增，所以，f(x)maxf(3)2；f(x)minf(1)2.(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最小值f(b).,(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間a，b的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值.2求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上的最值解f(x)1.其圖像如下：由上圖知，f(x)在2,5上遞減，所以，f(x)maxf(2)2；f(x)minf(5).1單調函數(shù)的運算性質若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調性，則：(1)f(x)與f(x)C(C為常數(shù))具有相同的單調性(2)f(x)與a·f(x)，當a>0時具有相同的單調性；當a<0時具有相反的單調性(3)在f(x)，g(x)的公共單調區(qū)間上，有如下結論：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定單調性增函數(shù)減函數(shù)不能確定單調性增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定單調性減函數(shù)增函數(shù)不能確定單調性減函數(shù)2.對函數(shù)最值的三點說明(1)最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)yx2(xR)的最小值是0，有f(0)0.(2)最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，都有f(x)M(f(x)M)成立，也就是說，函數(shù)yf(x)的圖像不能位于直線yM的上(下)方(3)最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數(shù)滿足等號成立，也就是說yf(x)的圖像與直線yM至少有一個交點3函數(shù)最值與函數(shù)值域的關系函數(shù)的值域是一個集合，最值若存在則屬于這個集合，即最值首先是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素函數(shù)值域一定存在，而函數(shù)并不一定有最大(小)值.1思考辨析(1)在區(qū)間A上存在x1，x2，當x1x2時，有f(x1)f(x2)，則f(x)在區(qū)間A上是增加的()(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是減少的，當x1，x2A，且f(x1)f(x2)時，有x1x2.()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)，(0，)上都是減少的，則f(x)為減函數(shù)()答案(1)×(2)(3)×2函數(shù)yx1在區(qū)間上的最大值是()A B1C. D3C函數(shù)yx1在區(qū)間上是遞減的，所以當x時，函數(shù)取得最大值ymax1.3若函數(shù)f(x)是2,2上的減函數(shù)，則f(1)_f(2)(填“”“”“”)>f(x)在2,2上是減函數(shù)，且12，f(1)f(2)4求證：函數(shù)f(x)1在區(qū)間(，0)上是單調增函數(shù)證明設x1，x2是區(qū)間(，0)內的任意兩個值，且x1x2，則x1x20，x1x20，因為f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)1在區(qū)間(，0)上是單調增函數(shù)- 8 -