第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例考綱傳真1.會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式建立線(xiàn)性回歸方程.3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡(jiǎn)單應(yīng)用1相關(guān)性(1)線(xiàn)性相關(guān)若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線(xiàn)附近波動(dòng)，則稱(chēng)變量間是線(xiàn)性相關(guān)的(2)非線(xiàn)性相關(guān)若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(xiàn)(不是一條直線(xiàn))附近波動(dòng)，則稱(chēng)此相關(guān)為非線(xiàn)性相關(guān)的(3)不相關(guān)如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒(méi)有顯示任何關(guān)系，則稱(chēng)變量間是不相關(guān)的2最小二乘估計(jì)(1)最小二乘法如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)可以用下面的表達(dá)式來(lái)刻畫(huà)這些點(diǎn)與直線(xiàn)yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式達(dá)到最小值的直線(xiàn)yabx就是我們所要求的直線(xiàn)，這種方法稱(chēng)為最小二乘法(2)線(xiàn)性回歸方程方程ybxa是兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線(xiàn)性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)3回歸分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心(3)相關(guān)系數(shù)rr；當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量正相關(guān)當(dāng)r<0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)當(dāng)r0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量線(xiàn)性不相關(guān)4獨(dú)立性檢驗(yàn)若一個(gè)2×2列聯(lián)表為：BAB1B2總計(jì)A1ababA2cdcd總計(jì)acbdnabcd則統(tǒng)計(jì)量2為：2.(1)當(dāng)22.706時(shí)，可以認(rèn)為變量A，B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)1線(xiàn)性回歸方程ybxa一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)2由回歸直線(xiàn)求出的數(shù)據(jù)是估算值，不是精確值基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)某同學(xué)研究賣(mài)出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得回歸方程y2.352x147.767，則氣溫為2時(shí)，一定可賣(mài)出143杯熱飲()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線(xiàn)性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)()(4)若事件A，B關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的2的值越小()答案(1)(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說(shuō)服力()A回歸分析B均值與方差C獨(dú)立性檢驗(yàn)D概率C“近視”與“性別”是兩類(lèi)變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷3(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線(xiàn)性回歸方程可能是()Ay0.4x2.3By2x2.4Cy2x9.5Dy0.3x4.4A因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，排除選項(xiàng)C，D又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線(xiàn)上，排除B，選項(xiàng)A滿(mǎn)足4下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120A94,72B52,50C52,74D74,52Ca2173，a52.又a22b，b74.5某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算27.069，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”()附：P(2x0)0.1000.0500.0250.0100.001x02.7063.8415.0246.63510.828A0.1%B1% C99%D99.9%C因?yàn)?.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有10.0100.9999%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”相關(guān)關(guān)系的判斷1已知變量x和y滿(mǎn)足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是()Ax與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)C因?yàn)閥0.1x1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)zbya，b0，則zbya0.1bxba，故x與z負(fù)相關(guān)2(2019·廣州模擬)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)的條形統(tǒng)計(jì)圖. 以下結(jié)論不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo)2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項(xiàng)正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項(xiàng)正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來(lái)，整體呈遞減趨勢(shì)，C選項(xiàng)正確；自2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選D3(2019·日照模擬)變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示變量Y與X之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，則()參考公式：線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)rAr2r10B0r2r1Cr20r1Dr1r2C由己知中的數(shù)據(jù)可知：第一組數(shù)據(jù)正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)大于零，第二組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)小于零，故選C規(guī)律方法判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r0時(shí)，負(fù)相關(guān)(3)線(xiàn)性回歸方程中：b>0時(shí)，正相關(guān)；b<0時(shí)，負(fù)相關(guān)線(xiàn)性回歸分析及應(yīng)用【例1】(2018·全國(guó)卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線(xiàn)圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線(xiàn)性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：y30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由解(1)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y30.413.5×19226.1(億元)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y9917.5×9256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠理由如下：(i)從折線(xiàn)圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線(xiàn)y30.413.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線(xiàn)的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型y9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠()從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠規(guī)律方法線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題的類(lèi)型及解題方法(1)求線(xiàn)性回歸方程：利用公式，求出回歸系數(shù)b，a.待定系數(shù)法：利用回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)中心求系數(shù)(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把回歸直線(xiàn)方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值(3)利用回歸直線(xiàn)判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b. (2016·全國(guó)卷)如圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線(xiàn)圖注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份20082014(1)由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量附注：參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程yabt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b，ab.解(1)由折線(xiàn)圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55， (ti)(yi)tiyiyi40.174×9.322.89，r0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得b0.103，ab1.3310.103×40.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.10t.將2016年對(duì)應(yīng)的t9代入回歸方程得y0.920.10×91.82.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸獨(dú)立性檢驗(yàn)及應(yīng)用【例2】(2017·全國(guó)卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較附：P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828，2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466則215.705.由于15.7056.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式2，計(jì)算2的值；(3)查表比較2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷 (2019·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級(jí)學(xué)生中，對(duì)自然科學(xué)類(lèi)、社會(huì)科學(xué)類(lèi)校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)的男生、女生均為45名(1)試問(wèn)：從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類(lèi)的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類(lèi)選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)合計(jì)男生女生合計(jì)附：2，其中nabcd.P(2x0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類(lèi)選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)合計(jì)男生6045105女生304575合計(jì)9090180則25.142 95.024，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類(lèi)的選擇與性別有關(guān).(2018·全國(guó)卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：2，P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m80.列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于210>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異- 12 -