第2講圓錐曲線的方程性質及與弦有關的問題 考情考向·高考導航圓錐曲線是高考的重點和熱點，是高考中每年必考的內容主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等內容對圓錐曲線方程與性質的考查，以選擇題、填空題為主，對直線與圓錐曲線的位置關系的考查，常與其他知識交匯命題，多以解答題的形式出現真題體驗1(2019·全國卷)若拋物線y22px(p0)的焦點是橢圓1的一個焦點，則p()A2B3C4 D8解析：D由橢圓1，知半焦距c，p8.2(2019·全國卷)設F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B.C2 D.解析：A以OF為直徑的圓為2y2，即x2y2cx0，與圓x2y2a2相減得直線PQ的方程為x，由勾股定理得：，|PQ|c，2abc2，平方得：4a2b2c4，4a2(c2a2)c4，化簡得：e44e240，e22，即e.3(2018·全國卷)已知F1，F2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F1F2P120°，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：D如圖直線AP的方程為y(xa)，直線PF2的方程為y(xc)，與聯立解得：x，y(ac)，P，|PF2| (ac)，又|PF2|F1F2|，(ac)2c，a4c，e.4(2018·全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90°，則k_.解析：設直線AB的方程為yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1·x21.AMB90°，kMA·kMB1解·1.化簡得k24k40，解得k2.答案：2主干整合1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離)應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤2圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點在x軸上)或1(ab0)(焦點在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點在x軸上)或1(a0，b0)(焦點在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)3圓錐曲線的重要性質(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系在橢圓中：a2b2c2；離心率為e .在雙曲線中：c2a2b2；離心率為e .(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，焦點坐標F1(c,0)，F2(c,0)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，焦點坐標F1(0，c)，F2(0，c)(3)拋物線的焦點坐標與準線方程拋物線y22px(p0)的焦點F，準線方程x.拋物線x22py(p0)的焦點F，準線方程y.4弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交的弦長設而不求，利用根與系數的關系，進行整體代入即當斜率為k，直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB| |x1x2| .(2)過拋物線焦點的弦長拋物線y22px(p0)過焦點F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.熱點一圓錐曲線的定義與標準方程例1(1)(2018·天津卷)已知雙曲線1，(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點設A、B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析C設雙曲線的右焦點坐標為F(c,0)(c0)，則xAxBc，由1可得：y±，不妨設：A，B，雙曲線的一條漸近線方程為：bxay0，據此可得：d1，d2，則d1d22b6，則b3，b29，雙曲線的離心率：e 2，據此可得：a23，則雙曲線的方程為1.(2)(2020·太原模擬)已知F1，F2分別是雙曲線3x2y23a2(a0)的左、右焦點，P是拋物線y28ax與雙曲線的一個交點，若|PF1|PF2|12，則拋物線的準線方程為_解析由題意得拋物線的焦點與雙曲線的右焦點(2a,0)重合聯立消去y得3x28ax3a20，解得xP3a(負舍)由點P在雙曲線上得|PF1|PF2|2a，又因為|PF1|PF2|12，所以|PF2|6a，又因為點P在拋物線上，所以|PF2|3a2a5a6a，解得a1，所以拋物線的準線方程為x2a2.答案x2圓錐曲線定義及標準方程的關注點1圓錐曲線的定義是根本，“回歸定義”是一種重要的解題策略對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|PF2|F1F2|，雙曲線的定義中要求|PF1|PF2|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等的轉化2當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設為mx2ny21(m0，n0，mn)，雙曲線常設為mx2ny21(mn0)3注意數形結合，提倡畫出合理草圖(1)(2019·全國卷)已知橢圓C的焦點為F1(1,0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.1解析：B由已知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，|BF2|a，|AF2|AF1|a，|BF1|a.又|F1F2|2.解得a23，b22.橢圓C的方程為1.選B.(2)(2020·龍巖質檢)已知以圓C：(x1)2y24的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點，B點是拋物線C2：x28y上任意一點，BM與直線y2垂直，垂足為M，則|BM|AB|的最大值為()A1 B2C1 D8解析：A因為圓C：(x1)2y24的圓心為C(1,0)，所以可得以C(1,0)為焦點的拋物線方程為y24x，由解得A(1,2)拋物線C2：x28y的焦點為F(0,2)，準線方程為y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，當且僅當A，B，F(A在B，F之間)三點共線時，可得最大值1.熱點二圓錐曲線的幾何性質數學運算素養(yǎng)數學運算圓錐曲線的性質與不等式綜合中的核心素養(yǎng)以學習過的圓錐曲線和不等式相關知識為基礎，通過將已知條件代數化，并進行一系列的數學運算，從而解決問題.例2(1)(2019·長沙二模)設F1，F2分別是橢圓1(ab0)的左，右焦點，若在直線x上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析D設P，線段F1P的中點Q的坐標為，y2，y20.但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.當不存在時，b22c20，y0，此時F2為中點，即c2c，得e，綜上，得e1，即所求的橢圓離心率的取值范圍是.故選D.(2)(2020·石家莊模擬)已知雙曲線C：1(a0，b0)的焦距為2c，直線l過點且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點，若|MN|c，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±2x Dy±4x解析B由題意可設漸近線方程為yx，則直線l的斜率kl，直線方程為y，整理可得axbya20.焦點(c,0)到直線的距離d，則弦長為22 c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得(e1)(e2)(e23e2)0.又雙曲線的離心率e1，則e2，又，雙曲線的漸近線方程為y±x.故選B.(1)求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e212，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(2)圓錐曲線的幾何性質常涉及一些不等關系，例如對橢圓1(ab0)，有axa，byb,0e1等，在求與圓錐曲線有關的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時，經常用到這些不等關系(1)(2018·全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A. B2C. D2解析：De.±1.雙曲線C的漸近線方程為x±y0，點(4,0)到C的漸近線的距離d2.故答案選D.(2)(2018·北京卷改編)已知橢圓M：1(a>b>0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為_解析：設橢圓的右焦點為F(c，0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內的交點為A，由題意可知A，由點A在橢圓M上得，1，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，則4a48a2c2c40，e48e240，e242(舍)，e242.由0e1，得e1.答案：1(3)(2019·臨沂三模)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則p_.解析：由e2，得c2a，ba，所以雙曲線的漸近線為y±x.又拋物線的準線方程為x，聯立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得A，B，在AOB中，|AB|p，O到AB的距離為，因為SAOB，所以·p·，p2.答案：2熱點三直線與圓錐曲線例3(2019·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的焦點為F1(1,0)，F2(1,0)過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：(x1)2y24a2交于點A，與橢圓C交于點D.連接AF1并延長交圓F2于點B，連接BF2交橢圓C于點E，連接DF1.已知DF1.(1)求橢圓C的標準方程；(2)求點E的坐標審題指導(1)直接根據條件運用橢圓的定義求解(2)思路1：結合(1)中結論求出點A的坐標，寫出直線AF1的方程，并與圓的方程聯立得點B的坐標，從而寫出直線BF2的方程，將其與橢圓方程聯立求得點E的坐標思路2：連接EF1，注意到ABBF1E，所以EF1F2A，可得EF1x軸，從而可得點E的橫坐標為1，將x1與橢圓方程聯立可得點E的坐標解(1)設橢圓C的焦距為2c.因為F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1F22，c1.又因為DF1，AF2x軸，所以DF2 .因此2aDF1DF24，從而a2.由b2a2c2，得b23.因此橢圓C的標準方程為1.(2)方法1：由(1)知，橢圓C：1，a2.因為AF2x軸，所以點A的橫坐標為1.將x1代入圓F2的方程(x1)2y216，解得y±4.因為點A在x軸上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直線AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.將x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直線BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以x1.將x1代入y(x1)，得y.因此E.方法2：由(1)知，橢圓C：1.如圖，連接EF1.因為BF22a，EF1EF22a，所以EF1EB，從而BF1EB.因為F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，從而EF1F2A.因為AF2x軸，所以EF1x軸因為F1(1,0)，由得y±.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以y.因此E.1在涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系與弦長公式|AB|x2x1|，設而不求計算弦長；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡化運算2對于弦的中點問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數的關系時，要注意使用條件0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交(1)(2019·日照三模)中心為原點，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：C由已知知c5，設橢圓的方程為1，聯立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，設直線y3x2與橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數關系得x1x2，由題意知x1x21，即1，解得a275，所以該橢圓方程為1，故選C.(2)(2018·全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·()A5 B6C7 D8解析：D如圖焦點F(1,0)，直線的方程為y(x2)，將其代入y24x得：x25x40，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x25，x1x24，·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1(x12)·(x22)x1x2(x1x2)×4×58.故選D.限時50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2019·天津卷)已知拋物線y24x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A. B.C2 D.解析：D雙曲線1(a0，b0)的離心率e .l的方程為x1，雙曲線的漸近線方程為y±x，故得A，B，所以|AB|，4，b2a，所以e.故選D.2(2020·貴陽監(jiān)測)已知拋物線x22py(p0)的焦點F是橢圓1(ab0)的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A，B兩點，若FAB是正三角形，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：C如圖，由|AB|，FAB是正三角形，得×2c，化簡可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以橢圓的離心率e ，故選C.3(2020·福州模擬)過橢圓C：1(ab0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析：A由題設知，直線l：1，即bxcybc0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據題意，將xc代入橢圓C的方程，得y±，即圓的半徑r.又圓與直線l有公共點，所以，化簡得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以0e.故選A.4(2019·全國卷)雙曲線C：1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|PO|PF|，則PFO的面積為()A. B.C2 D3解析：A忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯系導致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積由a2，b，c.|PO|PF|，xP，又P在C的一條漸近線上，不妨設為在yx上，SPFO|OF|·|yP|××，故選A.5(2019·煙臺三模)過拋物線E：x22py(p0)的焦點，且與其對稱軸垂直的直線與E交于A，B兩點，若E在A，B兩點處的切線與E的對稱軸交于點C，則ABC外接圓的半徑是()A(1)p BpC.p D2p解析：B因為直線過拋物線E：x22py(p0)的焦點，且與其對稱軸垂直，A，B，由y可知E在A，B兩點處的切線斜率為k11，k21，k1·k21，ACBC，即ABC為直角三角形，又|AB|2p，所以ABC外接圓的半徑是p.6以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為()A2 B4C6 D8解析：B設出拋物線和圓的方程，將點的坐標代入，聯立方程組求解設拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準線方程為x，不妨設A，D.點A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負值舍去)C的焦點到準線的距離為4.二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7(2020·深圳模擬)已知圓C1：x2(y2)24，拋物線C2：y22px(p0)，C1與C2相交于A，B兩點，|AB|，則拋物線C2的方程為_解析：由題意，知圓C1與拋物線C2的其中一個交點為原點，不妨記為B，設A(m，n)|AB|，即A.將A的坐標代入拋物線方程得22p×，p，拋物線C2的方程為y2x.答案：y2x8(2019·全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點若，·0，則C的離心率為_解析：設直線方程為yk(xc)，由得A點坐標為A，由得B點坐標為B，A為F1B的中點，整理得b3ak.，·0.2c220整理得c2k2(bak)2由得2C的離心率e2.答案：2三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9(2019·全國卷)已知拋物線C：y23x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|.解：(1)設直線l的方程為yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x2(3b3)xb20.x1x2，又|AF|BF|x1x24.解得b，直線l的方程為yx.(2)設直線l的方程為y(xa)，則P(a,0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，得y22y3a0.3，y13y2.又，解得a1.y1y22，y1·y23，|AB| · ·.10(2019·天津卷)設橢圓1(ab0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上若|ON|OF|(O為原點)，且OPMN，求直線PB的斜率解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，橢圓的方程為1.(2)由題意，設P(xp，yp)(xp0)，M(xM,0)設直線PB的斜率為k(k0)，又B(0,2)，則直線PB的方程為ykx2，與橢圓方程聯立得整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得yp，進而直線OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由題意得N(0，1)，所以直線MN的斜率為.由OPMN，得·1，化簡得k2，從而k±.所以，直線PB的斜率為或.11(2018·北京卷)已知橢圓M：1(ab0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.(1)求橢圓M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)設P(2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C、D和點Q共線，求k.解：(1)由題意得2c2，c又e，ab2a2c21，橢圓標準方程為y21(2)設直線AB的方程為：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯立，得：4x26mx3m230又36m24×4(3m23)4812m20，m24，|AB|x1x2|×m20時，|AB|max(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)x3y3x3y3又P(2,0)，故設k1kPA，直線PA的方程為：yk1(x2)聯立，消y得(13k1)x212kx12k30x1x3，x3x1又k1，代入式得x3，y3C，同理可得D易知：(x3，y3)，(x4，y4)Q，C，D三點共線，(x3)(y4)(x4)(y3)0代入C，D坐標化簡得：1，k1- 20 -