會(huì)計(jì)學(xué)1二階三階行列式及線性方程組二階三階行列式及線性方程組提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第1頁(yè)/共16頁(yè)提示:a11a21x1+a12a21x2=b1a21 a21a11x1+a12x2=b1a11a11a21x1+a11a22x2=a11b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21 211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第2頁(yè)/共16頁(yè)b1b2a12a22a11a21a12a22 x1=a11a21 b1 b2a11a21a12a22 x2=a11a21a12a22 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 這樣就有 211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 第3頁(yè)/共16頁(yè)a11a21a12a22行列式中的相關(guān)術(shù)語(yǔ) 我們用 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 并稱(chēng)它為二階行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、主對(duì)角線、副對(duì)角線 對(duì)角線法則 -a12a21=a11a22 二階行列式是主對(duì)角線上兩元素之積減去的副對(duì)角線上二元素之積所得的差 第4頁(yè)/共16頁(yè)DDxDDxDaaaa2211,021221121= = = = =以寫(xiě)成以寫(xiě)成的條件下，解的公式可的條件下，解的公式可系數(shù)行列式系數(shù)行列式二元線性方程組在在其二元線性方程組在在其系數(shù)位置；系數(shù)位置；的的中中即用方程右端系數(shù)取代即用方程右端系數(shù)取代數(shù)位置；數(shù)位置；的系的系中中即用方程右端系數(shù)取代即用方程右端系數(shù)取代其中，其中，22211,11121122212xDDxDDbbaaaabb= = =上述方法稱(chēng)為解二元線性方程組的克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法則。第5頁(yè)/共16頁(yè) 例 求解二元線性方程組 =+=-1212232121xxxx 解 由于 07)4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D因此 271411=DDx 07)4(31223=-=-=D 14)2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D 271411=DDx 372122-=-=DDx a11a21a12a22-a12a21=a11a22第6頁(yè)/共16頁(yè) 為了便于記憶和計(jì)算 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 其中 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解為DDx11=DDx22=DDx33= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 第7頁(yè)/共16頁(yè) 我們用符號(hào) 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并稱(chēng)它為三階行列式 行列式中的相關(guān)術(shù)語(yǔ) 對(duì)角線法則 行列式的元素、行、列、主對(duì)角線、副對(duì)角線 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 第8頁(yè)/共16頁(yè)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 例 計(jì)算三階行列式 1-2-3224-41-2D= 按對(duì)角線法則 有 解 =-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14第9頁(yè)/共16頁(yè) 例 求解方程 1241391xx2=0 由x2-5x+6=0解得 解 方程左端的三階行列式=x2-5x+6D=3x2+4x+18-9x-2x2-12x=2或x=3 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31第10頁(yè)/共16頁(yè) 也稱(chēng)為一個(gè)也稱(chēng)為一個(gè)n階行列式。階行列式。11121321222312detnnnnaaaaaaAaaa= =將任意一個(gè)將任意一個(gè)n階矩陣階矩陣()ijn nAa = =對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，稱(chēng)為稱(chēng)為A的行列式，記作的行列式，記作det A ，即，即第11頁(yè)/共16頁(yè)的子行列式：的子行列式：ija的子行列式：的子行列式：ijadetijM的代數(shù)余子式：的代數(shù)余子式：ija( 1)detijijijAM+ += -= - 去掉去掉A中某一元素中某一元素 的第的第i行和行和第第j列后所得的列后所得的n-1階行列式，稱(chēng)階行列式，稱(chēng)為該元素的子行列式，記為為該元素的子行列式，記為Mijijaija的代數(shù)余子式：的代數(shù)余子式： A中某一元素中某一元素 的子行列式乘的子行列式乘以以 所得的式子，稱(chēng)為該所得的式子，稱(chēng)為該元素的代數(shù)余子式，記為元素的代數(shù)余子式，記為ijijaji+ +- - )1(第12頁(yè)/共16頁(yè)1321204140.231AA- -例 求行列式的代數(shù)余子式和例 求行列式的代數(shù)余子式和1 31314( 1)-23A+ += -= -解：解：1 34 ( 2)= = - - - -11= =(0 143)= = - - - - 12= =2 12104( 1)31A+ += -= -.ijijaa代代數(shù)數(shù)余余子子式式只只與與的的位位置置有有關(guān)關(guān)，而而與與的的大大小小無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)注：注：第13頁(yè)/共16頁(yè)11111112121111111det2det( 1)detnnnjjjjijijnAnAanA a Aa Aa AaMAa+ += =+=-=- 定義： 階矩陣 的行列式，規(guī)定當(dāng) 時(shí)，；定義： 階矩陣 的行列式，規(guī)定當(dāng) 時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，= 其中是的代數(shù)余子式。其中是的代數(shù)余子式。 稱(chēng)稱(chēng) 為行為行 列式按第列式按第 一行展開(kāi)一行展開(kāi)計(jì)算計(jì)算n階行列式的方法之一：階行列式的方法之一：1nn-階階求出行列式的值階階求出行列式的值注：此方法可以推廣到按任意行或任意列元素的展開(kāi)。第14頁(yè)/共16頁(yè)111112121313Da Aa Aa A=+=+111213212223313233aaaDaaaaaa= =例 計(jì)算三階行列式例 計(jì)算三階行列式解：解：222321231 11 211123233313321221 3133132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa+ +=-+-=-+-+-+-132231122133112311223312233132132132a a aa aa a aa aaaa aaaaa+-= =第15頁(yè)/共16頁(yè)