第1講直線與圓 考情考向·高考導航對于直線的考查，主要是求直線的方程；兩條直線平行與垂直的判定；兩條直線的交點和距離等問題一般以選擇題、填空題的形式考查對于圓的考查，主要是結合直線的方程，用幾何法或待定系數法確定圓的標準方程；對于直線與圓、圓與圓的位置關系等問題，含參數問題為命題熱點，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，涉及圓的解答題有逐漸強化的趨勢真題體驗1(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6B4,8C，3 D2，3解析：A由已知A(2,0)，B(0，2)圓心(2,0)到直線xy20的距離為d2，又圓的半徑為.點P到直線xy20的距離的最小值為，最大值為3，又|AB|2.ABP面積的最小值為Smin×2×2，最大值為Smax×2×36.2(2018·北京卷)在平面直角坐標系中，記d為點P(cos ，sin )到直線xmy20的距離當，m變化時，d的最大值為()A1 B2 C3 D4解析：C本題考查直線與圓的位置關系點P(cos ，sin )是單位圓x2y21上的點，直線xmy20過定點(2,0)，當直線與圓相離時，d可取到最大值，設圓心到直線的距離為d0，d0，dd011，可知，當m0時，dmax3，故選C.3(2018·天津卷)在平面直角坐標系中，經過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_解析：設圓的方程為x2y2DxEyF0，圓經過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)，則：解得則圓的方程為x2y22x0.答案：x2y22x04(2018·全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則|AB|_.解析：圓方程可化為x2(y1)24，圓心為(0，1)，半徑r2，圓心到直線xy10的距離d，|AB|222.答案：2主干整合1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數，則要考慮斜率是否存在2兩個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20間的距離d.(2)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.3圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.4直線與圓的位置關系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr相交；dr相切；dr相離(2)代數法：將圓的方程和直線的方程聯立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關系：0相交；0相切；0相離熱點一直線的方程及其應用例1(1)(2020·大連模擬)“a2”是“直線axy20與直線2x(a1)y40平行”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析A由axy20與直線2x(a1)y40平行，得a(a1)2，a1，a2.經檢驗當a1時，兩直線重合(舍去)“a2”是“直線axy20與直線2x(a1)y40平行”的充要條件(2)(2020·廈門模擬)過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且到點P(0,4)的距離為2的直線方程為_解析由得所以l1與l2的交點為(1,2)，當所求直線的斜率不存在時，所求直線為x1，顯然不符合題意故設所求直線的方程為y2k(x1)，即kxy2k0，因為P(0,4)到所求直線的距離為2，所以2，所以k0或k.所以所求直線的方程為y2或4x3y20.答案y2或4x3y20(3)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i1,2,3.記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是_記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則p1，p2，p3中最大的是_解析設，線段A1B1的中點為E1(x1，y1)，則Q12y1.因此，要比較Q1，Q2，Q3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點縱坐標的大小，作圖(圖略)比較知Q1最大又p1，其幾何意義為線段A1B1的中點E1與坐標原點連線的斜率，因此，要比較p1，p2，p3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點與坐標原點連線的斜率，作圖比較知p2最大答案Q1p2求解直線方程應注意的問題(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況(2)要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線(3)求直線方程要考慮直線的斜率是否存在(2020·寧德模擬)過點M(0,1)作直線，使它被兩條直線l1：x3y100，l2：2xy80所截得的線段恰好被M所平分，則此直線方程為_解析：過點M且與x軸垂直的直線是x0，它和直線l1，l2的交點分別為，(0,8)，顯然不符合題意，故可設所求直線方程為ykx1，其圖象與直線l1，l2分別交于A，B兩點，則有由解得xA，由解得xB.因為點M平分線段AB，所以xAxB2xM，即0，解得k.故所求的直線方程為yx1，即x4y40.答案：x4y40熱點二圓的方程及應用例2(1)(山東高考題)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為_解析設圓C的圓心為(a，b)(b0)，由題意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標準方程為(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24(2)(2019·唐山三模)已知A(2,0)，B(0,2)，實數k是常數，M，N是圓x2y2kx0上兩個不同點，P是圓x2y2kx0上的動點，如果M，N關于直線xy10對稱，則PAB面積的最大值是_解析依題意得圓x2y2kx0的圓心位于直線xy10上，于是有10，即k2，因此圓心坐標是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|2，直線AB的方程是1，即xy20，圓心(1,0)到直線AB的距離等于，點P到直線AB的距離的最大值是1，PAB面積的最大值為×2×3.答案3求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線和圓、圓和圓的位置關系，求出圓的基本量：圓心坐標和半徑如圓中弦所在的直線與圓心和弦中點的連線相互垂直，設圓的半徑為r，弦長為|AB|，弦心距為d，則r2d22等(2)代數法：設出圓的方程，用待定系數法求解在求圓的方程時，要根據具體的條件選用合適的方法，但一般情況下，應用幾何法運算較簡捷(1)(2019·臨沂三模)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的標準方程為_解析：由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.答案：(x1)2y24(2)(2020·馬鞍山模擬)圓心在曲線y(x0)上，且與直線2xy10相切的面積最小的圓的標準方程為_解析：由條件設圓心坐標為(a0)，又因為圓與直線2xy10相切，所以圓心到直線的距離dr，當且僅當2a，即a1時取等號，所以圓心坐標為(1,2)，圓的半徑的最小值為，則所求圓的方程為(x1)2(y2)25.答案：(x1)2(y1)25熱點三直線(圓)與圓的位置關系直觀想象素養(yǎng)直觀想象圓的方程應用中的核心素養(yǎng)以學過的圓的相關知識為基礎，借助曲線的方程感知一類問題共同特征的“直觀想象”，然后利用“直觀想象”解決問題.例3(1)(2020·湖北八校聯考)過點(，0)作直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB，當AOB90°時，AOB的面積取得最大值，此時過點O作OHAB于點H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以OPH30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan 150°.答案(2)如圖所示，已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.當|MN|2時，則直線l的方程為_若·為定值，則這個定值為_解析設圓A的半徑為R.圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.a當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；b當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連接AQ，則AQMN.|MN|2，|AQ|1.由|AQ|1，得k，直線l的方程為3x4y60.所求直線l的方程為x2或3x4y60.AQBP，·0.·()····.當直線l與x軸垂直時，得P.則，又(1,2)，··5.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x2)由解得P.··5.綜上所述：·為定值，其定值為5.答案x2或3x4y605直線(圓)與圓的位置關系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為兩圓心之間的距離問題(1)(2020·銀川調研)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是_解析：由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑Ra，因為圓M截直線xy0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線xy0的距離d(a0)，解得a2，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r1，所以|MN|，則RrRr，所以兩圓的位置關系為相交答案：相交(2)(2020·江西七校聯考)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_解析：圓C：(x4)2y21，如圖，直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需保證圓心C到y(tǒng)kx2的距離小于等于2即可，20k.kmax.答案：限時40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共11小題，每小題5分，共55分)1(2020·成都二診)設a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sin A·xayc0與bxsin B·ysin C0的位置關系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：C由題意可得直線sin A·xayc0的斜率k1，bxsin B·ysin C0的斜率k2，故k1k2·1，則直線sin A·xayc0與直線bxsin B·ysin C0垂直，故選C.2(2020·杭州質檢)一條光線從點(2，3)射出，經y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或解析：D點(2，3)關于y軸的對稱點為(2，3)，故可設反射光線所在直線的方程為y3k(x2)，反射光線與圓(x3)2(y2)21相切，圓心(3,2)到直線的距離d1，化簡得12k225k120，解得k或.3(2020·廣州模擬)若動點A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上運動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A. B2C3 D4解析：C由題意知AB的中點M的集合為到直線l1：xy70和l2：xy50的距離都相等的直線，則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離設點M所在直線的方程為l：xym0，根據兩平行線間的距離公式得，即|m7|m5|，所以m6，即l：xy60，根據點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為3.4(2020·河南六校聯考)已知直線xya與圓x2y21交于A，B兩點，O是坐標原點，向量，滿足|，則實數a的值為()A1 B2C±1 D±2解析：C由，滿足|，得，因為直線xya的斜率是1，所以A，B兩點在坐標軸上并且在圓上；所以(0,1)和(0，1)兩點都適合直線的方程，故a±1.5(2020·懷柔調研)過點P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為()Ay ByCy Dy解析：B圓(x1)2y21的圓心為C(1,0)，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.故選B.6(2020·溫州模擬)已知圓C：(x2)2y22，直線l：ykx，其中k為，上的任意一個實數，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為()A. B.C. D.解析：D當直線l與圓C相離時，圓心C到直線l的距離d，解得k1或k1，又k，所以k1或1k，故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P，故選D.7(2019·濰坊三模)已知O為坐標原點，A，B是圓C：x2y26y50上兩個動點，且|AB|2，則|的取值范圍是()A62，62 B3，3C3,9 D3,6解析：A圓C：x2(y3)24，取弦AB的中點M，連接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|2，|MA|1，則|CM|，則點M的軌跡方程為x2(y3)23，則|2|62，628(多選題)直線xym0與圓x2y22x10有兩個不同的交點的一個充分不必要條件是()A0<m<1 Bm<1C2<m<1 D3<m<1解析：AC本題主要考查直線與圓的位置關系的判斷圓x2y22x10的圓心為(1,0)，半徑為.因為直線xym0與圓x2y22x10有兩個不同的交點，所以直線與圓相交，因此圓心到直線的距離d<，所以|1m|<2，解得3<m<1，求其充分條件，即求其子集，故由選項易得AC符合故選AC.9(2020·合肥質檢)已知圓C1：(x2)2(y3)25與圓C2相交于A(0,2)，B(1,1)兩點，且四邊形C1AC2B為平行四邊形，則圓C2的方程為()A(x1)2y25B(x1)2y2C.225D.22解析：A通解(常規(guī)求解法)設圓C2的圓心坐標為(a，b)，連接AB，C1C2.因為C1(2,3)，A(0,2)，B(1,1)，所以|AC1|BC1|，所以平行四邊形C1AC2B為菱形，所以C1C2AB且|AC2|.可得解得或則圓心C2的坐標為(1,0)或(2,3)(舍去)因為圓C2的半徑為，所以圓C2的方程為(x1)2y25.故選A.優(yōu)解(特值驗證法)由題意可知，平行四邊形C1AC2B為菱形，則|C2A|C1A|，即圓C2的半徑為，排除B，D；將點A(0,2)代入選項A，C，顯然選項A符合故選A.10(2020·惠州二測)已知圓C：x2y22ax2bya2b210(a0)的圓心在直線xy0上，且圓C上的點到直線xy0的距離的最大值為1，則a2b2的值為()A1 B2C3 D4解析：C化圓C：x2y22ax2bya2b210(a0)為標準方程得C：(xa)2(yb)21，其圓心為(a，b)，故ab0，即ba，(a，b)到直線xy0的距離d，因為圓C上的點到直線xy0的距離的最大值為1，故d1|2a1|11，得到|2a1|2，解得a或a(舍去)，故b×，故a2b2223.選C.11(2019·煙臺三模)已知圓C：(x1)2(y4)210和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A，B使得MAMB，則實數t的取值范圍是()A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析：C當MA，MB是圓C的切線時，AMB取得最大值，若圓C上存在兩點A，B使得MAMB，則MA，MB是圓C的切線時，AMB90°，AMC45°，且AMC90°，如圖，所以|MC|，所以16(t4)220，所以2t6，故選C.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)12(雙空填空題)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C過點A(0，8)，且與圓x2y26x6y0相切于原點，則圓C的方程為_，圓C被x軸截得的弦長為_解析：本題考查圓與圓的位置關系將已知圓化為標準式得(x3)2(y3)218，圓心為(3,3)，半徑為3.由于兩個圓相切于原點，連心線過切點，故圓C的圓心在直線yx上由于圓C過點(0,0)，(0，8)，所以圓心又在直線y4上聯立yx和y4，得圓心C的坐標(4，4)又因為點(4，4)到原點的距離為4，所以圓C的方程為(x4)2(y4)232，即x2y28x8y0.圓心C到x軸距離為4，則圓C被x軸截得的弦長為2×8.答案：x2y28x8y0813(2019·哈爾濱二模)設圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|2，則直線l的方程為_解析：當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x0，聯立方程得得 或|AB|2，符合題意當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為ykx3，圓x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r2，圓心C(1,1)到直線ykx3的距離d，d22r2，34，解得k，直線l的方程為yx3，即3x4y120.綜上，直線l的方程為3x4y120或x0.答案：x0或3x4y12014若圓x2y24與圓x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的長為2，則a_.解析：聯立兩圓方程可得公共弦所在直線方程為ax2ay50，故圓心(0,0)到直線ax2ay50的距離為(a0)故2 2，解得a2，因為a0，所以a.答案：15(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·0，則點A的橫坐標為_解析：AB為直徑ADBDBD即B到直線l的距離|BD|2.|CD|AC|BC|r，又CDAB.|AB|2|BC|2設A(a,2a)|AB|2a1或3(1舍去)答案：316(2020·廈門模擬)為保護環(huán)境，建設美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為A，B，C三個自然村建造一座垃圾處理站，集中處理A，B，C三個自然村的垃圾，受當地條件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km，且與C村相距 km的地方已知B村在A村的正東方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，則垃圾處理站M與B村相距_km.解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心，5為半徑的圓A上，同時又在以C(3,3)為圓心，為半徑的圓C上，兩圓的方程分別為x2y225和(x3)2(y3)231.由解得或垃圾處理站M的坐標為(5,0)或，|MB|2或|MB| 7，即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km.答案：2或7- 14 -