第四節(jié)歸納與類比考綱傳真了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用1歸納推理根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)都有這種屬性我們將這種推理方式稱為歸納推理2類比推理由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理3歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果不一定正確基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理. ()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適. ()答案(1)×(2)(3)×2(教材改編)已知數(shù)列an中，a11，n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()Aan3n1Ban4n3Cann2 Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.3下面幾種推理是合情推理的是 ()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；李鋒某次考試成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分；三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n2)·180°.A BC DC合情推理分為類比推理和歸納推理其中是類比推理，是歸納推理故選C.4(教材改編)在等差數(shù)列an中，若a100，則有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則b1b2b3bn_.b1·b2··b17n(n17，nN*)b91，在等比數(shù)列中b1·b2·b3··bnb1·b2··b17n(n17，nN*)歸納推理考法1與數(shù)式有關(guān)的推理【例1】(1)(2019·南昌模擬)已知13232,1323332,132333432，若13233343n33 025，則n()A8B9C10D11(2)(2019·濟(jì)寧模擬)已知ai0(i1,2,3，n)，觀察下列不等式：；照此規(guī)律，當(dāng)nN*，n2時(shí)，_.(1)C(2)(1)觀察所提供的式子可知，等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)是n3時(shí)，等號(hào)右邊的數(shù)為2，因此，令23 025，則55，n10或n11(舍)故選C.(2)由題意得(nN*，n2)考法2與圖形有關(guān)的推理【例2】某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是從一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖(1)n級(jí)分形圖中共有_條線段；(2)n級(jí)分形圖中所有線段長度之和為_(1)3×2n3(nN*)(2)99×n(nN*)(1)由題圖知，一級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為33×23，二級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為93×223，三級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為213×233，按此規(guī)律，n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為an3×2n3(nN*)(2)從分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長度和為bn3×n1(nN*)，n級(jí)分形圖中所有線段長度之和為Sn3×03×13×n13×99×n.規(guī)律方法歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解(2)與式子有關(guān)的推理觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解(3)與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?(1)聊齋志異中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2，3，4，5，則按照以上規(guī)律，若9具有“穿墻術(shù)”，則n()A25 B48 C63 D80(2)如圖的圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖至圖的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是_(1)D(2)(nN*)(1)由2，3，4，5，可得若9具有“穿墻術(shù)”，則n92180.(2)由題圖知第n個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為123n.所以總個(gè)數(shù)為(nN*)類比推理【例3】(1)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程x確定出來x2，類似地不難得到1()A. BC. D(2)(2018·南昌一模)平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為，直角頂點(diǎn)到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為，則三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為()A. BC. D(1)C(2)C(1)令1x(x0)，即1x，即x2x10，解得x(x舍)，故1，故選C.(2)設(shè)空間中三棱錐O­ABC的三條兩兩垂直的側(cè)棱OA，OB，OC的長分別為a，b，c，不妨設(shè)三個(gè)側(cè)面的面積分別為SOABabS1，SOACacS2，SOBCbcS3，則ab2S1，ac2S2，bc2S3.過O作ODBC于D，連接AD(圖略)，由OAOB，OAOC，且OBOCO，得OA平面OBC，所以O(shè)ABC，又OAODO，所以BC平面AOD，又BC平面OBC，所以平面OBC平面AOD，所以點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影O在線段AD上，連接OO.在直角三角形OBC中，OD.因?yàn)锳OOD，所以在直角三角形OAD中，OO.規(guī)律方法求解類比推理題的關(guān)鍵：會(huì)定類，即找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；會(huì)推測，即用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)命題(猜想) (1)在正項(xiàng)等差數(shù)列an中有成立，則在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，類似的結(jié)論為_(2)如圖(1)所示，點(diǎn)O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，并延長交對(duì)邊于A1，B1，C1，則1，類比猜想：點(diǎn)O是空間四面體VBCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點(diǎn)V1，B1，C1，D1，則有_(1)(2)1(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以.在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，類似的有：，所以，所以在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，類似的結(jié)論為.(2)利用類比推理，猜想應(yīng)有1.用“體積法”證明如下：1.推理在生活中的應(yīng)用【例4】(1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加比賽，只有其中三位獲獎(jiǎng)甲說：“乙或丙未獲獎(jiǎng)”；乙說：“甲、丙都獲獎(jiǎng)”；丙說：“我未獲獎(jiǎng)”；丁說：“乙獲獎(jiǎng)”四位同學(xué)的話恰有兩句是對(duì)的，則 ()A甲和乙不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)B丙和丁不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)C乙和丁不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)D丁和甲不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)(2)(2019·鄭州模擬)甲、乙、丙三位同學(xué)，其中一位是班長，一位是體育委員，一位是學(xué)習(xí)委員，已知丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大，甲與體育委員的年齡不同，體育委員比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是_(1)C(2)乙(1)若甲未獲獎(jiǎng)，則乙、丙、丁三位同學(xué)獲獎(jiǎng)，此時(shí)甲、乙、丙說的都錯(cuò)了，與題設(shè)矛盾，所以甲一定獲獎(jiǎng)了；若丙未獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丁三位同學(xué)獲獎(jiǎng)，此時(shí)甲、丙、丁說的都對(duì)，與題設(shè)矛盾，所以丙也一定獲獎(jiǎng)了，由此可知乙、丁只有一個(gè)獲獎(jiǎng)，不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)，故選C.(2)若甲是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故丙是體育委員，乙是學(xué)習(xí)委員，但這與丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大矛盾，故甲不是班長；若丙是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故甲是體育委員，這和甲與體育委員的年齡不同矛盾，故丙不是班長；若乙是班長，由于甲與體育委員的年齡不同，故甲是學(xué)習(xí)委員，丙是體育委員，此時(shí)其他條件均成立，故乙是班長規(guī)律方法該類問題求解時(shí)，需要對(duì)題設(shè)條件認(rèn)真分析，常從某一條件出發(fā)，在推理中如果推出矛盾，則將其否定，如果沒有推出矛盾，則說明其為正確的，從而得出結(jié)論 甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后互相交換三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同”乙說：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同”根據(jù)以上說法，推斷乙讀的最后一本書是_讀的第一本書丙因?yàn)楣灿腥緯易x的第一本書與第二本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書1(2017·全國卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則()A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對(duì)方的成績D乙、丁可以知道自己的成績D由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀、1個(gè)良好”乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績故選D2.(2016·全國卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_1和3法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法故甲的卡片上的數(shù)字是1和3.法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.3(2014·全國卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為_A由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.- 8 -