第34節(jié)導數(shù)的應用一、學習目標：1. 通過數(shù)形結合的方法直觀了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，能熟練利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；會求某些簡單函數(shù)的單調區(qū)間。2. 結合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲蹬c導數(shù)的關系；會求簡單多項式函數(shù)的極大（?。┲?，以及在指定區(qū)間上的最大（小）值。二、重點、難點重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；會求一些函數(shù)的極值與最值；函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系。難點：利用導數(shù)解決函數(shù)問題時有關字母討論的問題。三、考點分析： 1. 近幾年各地高考題一直保持對導數(shù)知識的考查力度，體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡交匯點出題的命題風格，重點考查導數(shù)概念、單調性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問題，這三大塊內(nèi)容是本專題的主線，在學習中應以此為基礎展開，利用問題鏈展示題目間的內(nèi)在聯(lián)系，總結解題的通法通解，如利用導數(shù)處理函數(shù)單調性問題時，可設計這樣的問題鏈：已知函數(shù)求單調區(qū)間知函數(shù)在區(qū)間上單調求參數(shù)若函數(shù)不單調如何求參數(shù)。 2. 導數(shù)內(nèi)容是新課標新加知識，增添了更多的變量數(shù)學，拓展了學習和研究的領域，在學習中要明確導數(shù)作為一種工具在研究函數(shù)的單調性、極值等方面的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在導數(shù)為解決函數(shù)問題提供了有效途徑，還在于它使學生掌握了一種科學的語言和工具，能夠加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認識。 3. 要有意識地與解析幾何（特別是切線、最值）、函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值極值，二次函數(shù)，方程，不等式，代數(shù)不等式的證明等進行交匯，綜合運用。特別是一些以導數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問題、切線問題的典型問題，以及一些實際問題中的最大（?。┲祮栴}。一、函數(shù)的單調性與導數(shù)：1. 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)；如果，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。2. 用導數(shù)法確定函數(shù)的單調性的步驟是：（1）一般方法：先求出定義域，再求出函數(shù)的導函數(shù)；求解不等式，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調遞增區(qū)間；求解不等式，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調遞減區(qū)間。（2）利用數(shù)軸，采用“穿軸法”確定函數(shù)的單調區(qū)間：確定的定義域；求的導數(shù)；求出在內(nèi)的所有實根，再把函數(shù)的間斷點（即在定義域內(nèi)的無定義點）和各實數(shù)根按照從小到大的順序排列起來；在數(shù)軸上把的定義域分成若干個小區(qū)間；利用“穿軸法”觀察在各小區(qū)間上的符號，從而判定在各個小區(qū)間上的增減性。二、函數(shù)的極值1. 函數(shù)極值的定義一般地，設函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值f（x0），x0是極大值點。如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0）.就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值f（x0），x0是極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值2. 判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.3. 求可導函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f（x）（2）求方程f（x）0的根（3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f（x）在這個根處無極值三、函數(shù)的最大值與最小值1. 函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值。2. 利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：設函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與、比較，得出函數(shù)在上的最值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。知識點一：導數(shù)與函數(shù)的單調性例1 設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ）思路分析：由的圖象可觀察出在不同區(qū)間的符號，從而判斷出在不同區(qū)間的單調性，因此可以根據(jù)的圖象大致得到的圖象。解題過程：如圖，A、B、C三個圖中兩條曲線可分別作為和的圖象，符合題意。對于D，若上一條曲線為的圖象，則為增函數(shù)，不符合；若下一條曲線為的圖象，則為減函數(shù)，也不符合。故選D。解題后反思：（1）本題從直觀的角度考查了可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系，通過對的圖象提煉函數(shù)的信息，考查數(shù)形結合思想和識圖、用圖的能力，以及分析問題、解決問題的能力。（2）應用導數(shù)信息確定原函數(shù)的大致圖象，是導數(shù)應用性問題的常見題型，關鍵是把握原函數(shù)圖象在的圖象與軸交點處的切線的斜率為，由在不同區(qū)間的符號能判斷出原函數(shù)的單調區(qū)間。例2 已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍。思路分析：已知在區(qū)間上單調遞增，則在此區(qū)間上一定有恒成立，因此只需要用分離參數(shù)法轉化為最值問題即可。解題過程：依定義，則.若在上是增函數(shù)，則在上恒成立。即在區(qū)間上恒成立。令函數(shù)，由于的圖象的對稱軸為，為開口向上的拋物線，故使在區(qū)間上恒成立，只須。而當時，在上滿足，即在上是增函數(shù)。故的取值范圍是。解題后反思：（1）本題考查了已知函數(shù)的單調區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍，平面向量運算、不等式在區(qū)間上恒成立的方法，考查了對知識的綜合運用能力和遷移能力。（2）在已知函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），求參數(shù)的取值范圍時，應令（）恒成立，應用不等式恒成立的理論知識解決參數(shù)的取值范圍。然后檢驗參數(shù)的取值能否使恒等于，如果恒等于，則在該點處參數(shù)的值必須舍去。知識點二：利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值例3 已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ）A. 13萬件B. 11萬件C. 9萬件D. 7萬件思路分析：由題意，先對函數(shù)y進行求導，解出極值點，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點和區(qū)間端點值代入已知函數(shù)，比較函數(shù)值的大小，求出的最大值即為最大年利潤的年產(chǎn)量。解題過程：，令解得（舍去）。當時，；當時，則當時，取得最大值，故選C。解題后反思：本題考查利用導數(shù)求最值問題及其在實際問題中的應用，運算能力是非常重要的。 例4 已知函數(shù)其中。 （1）當時，求曲線處的切線的斜率； （2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值。 思路分析：（1）把代入到中化簡得到的解析式，求出，因為曲線的切點為（1，f（1），所以把x1代入中求出切線的斜率；（2）令0，求出的x的值為x2a和xa2，分兩種情況討論：當時和當時，討論的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最值。解題過程：（1）當時，故。所以曲線在點處的切線的斜率為。（2）。 令，解得或。由知，。以下分兩種情況討論。，則。當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且。 函數(shù)在處取得極小值，且。，則，當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且。函數(shù)在處取得極小值，且。解題后反思：本題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。例5 已知a為實數(shù)，（1）若，求在2，2上的最大值和最小值；（2）若在（，2和2，）上都是遞增的，求a的取值范圍。思路分析：（1）按照利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟去求解。（2）當函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間上遞增時，則在該區(qū)間上恒有，從而得到關于a的不等式。解題過程：（1）由原式得 。由得，此時有。由得或x1，當上變化時，的變化如下表遞增極大值遞減極小值遞增 所以f（x）在2，2上的最大值為最小值為。 （2）方法一：的圖象為開口向上且過點（0，4）的拋物線，由條件得 即 2a2. 所以a的取值范圍為2，2.方法二：令即由求根公式得： 所以在和上非負。 由題意可知，當x2或x2時，0， 從而x12，x22， 即 解不等式組得：2a2。a的取值范圍是2，2。解題后反思：（1）極大值，極小值是否就是最大值，最小值，要與區(qū)間兩端點的函數(shù)值進行比較，才能下結論。（2）在已知函數(shù)f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應令恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗參數(shù)的取值能否使f（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去，若f（x）不恒為0，則由，x恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定。（北京高考）已知函數(shù)（1）求的單調區(qū)間；（2）若對于任意的，都有，求的取值范圍。思路分析：（1）求導，對k分類討論，解得出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）不等式恒成立問題轉換為最值問題。解答過程：（1），令，當時，的情況如下表：所以，的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是，當時，與的情況如下表：所以，的單調遞減區(qū)間是和；單調遞增區(qū)間是。（2）當時，因為，所以不會有。當時，由（1）知在上的最大值是所以等價于，解得。故當時，的取值范圍是，0）。解題后反思：利用求導對含有參數(shù)的函數(shù)求最值的時候，應注意參數(shù)對最值的影響，一定要分類討論，對于不等式恒成立問題，常轉化為最值問題。已知f（x）ax3bx2cx（a0）在x±1時取得極值，且f（1）1。 （1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷x±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由。錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用f（±1）0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙。思路分析：考查函數(shù)f（x）是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值，再通過極值點與導數(shù)的關系，建立由極值點x±1所確定的相等關系式，運用待定系數(shù)法求值。解：（1）f（x）3ax22bxcx±1是函數(shù)f（x）的極值點，x±1是方程f（x）0，即3ax22bxc0的兩根。由根與系數(shù)的關系，得 又f（1）1，abc1，由式解得a，（2）f（x）x3x，f（x）x2（x1）（x1）當x1或x1時，f（x）0當1x1時，f（x）0函數(shù)f（x）在（，1）和（1，）上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)。當x1時，函數(shù)取得極大值f（1）1，當x1時，函數(shù)取得極小值f（1）1。導數(shù)是高中數(shù)學中較為重要的知識，由于其應用的廣泛性，為我們解決所學過的有關函數(shù)問題提供了一般性方法，是解決實際問題強有力的工具。導數(shù)的概念及其運算是導數(shù)應用的基礎，是高考重點考查的對象。要牢記導數(shù)公式，熟練應用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)，掌握求導數(shù)的方法。導數(shù)的應用是高考考查的重點和難點，題型既有靈活多變的客觀性試題，又有具有一定能力要求的主觀性試題，這要求我們學習時要掌握基本題型的解法，樹立利用導數(shù)處理問題的意識。所以在學習中要重點把握以下幾點：一是導數(shù)的概念及其運算是導數(shù)應用的基礎，這是高考重點考查的內(nèi)容?？疾榉绞揭钥陀^題為主，主要考查導數(shù)的基本公式和運算法則，以及導數(shù)的幾何意義；二是導數(shù)的應用，特別是利用導數(shù)來解決函數(shù)的單調性與最值問題、證明不等式以及討論方程的根等，已成為高考熱點問題。三是應用導數(shù)解決實際問題。下節(jié)課老師將和同學們一起學習定積分的有關內(nèi)容，請同學們先閱讀課本，思考：定積分的主要思想是什么？如何求定積分？8