概率與統(tǒng)計(jì)【2019年高考考綱解讀】1.高考中主要利用計(jì)數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯，值得關(guān)注3.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用.4.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力5.以選擇題、填空題的形式考查隨機(jī)抽樣、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計(jì)圖表、回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)等.6.在概率與統(tǒng)計(jì)的交匯處命題，以解答題中檔難度出現(xiàn)【重點(diǎn)、考點(diǎn)剖析】一、排列組合與計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘2.名稱排列組合相同點(diǎn)都是從n個(gè)不同元素中取m(mn)個(gè)元素，元素?zé)o重復(fù)不同點(diǎn)排列與順序有關(guān)；兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同組合與順序無關(guān)；兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同二、二項(xiàng)式定理1通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)Tr1Canrbr，其中C(r0,1,2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)2各二項(xiàng)式系數(shù)之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.三、古典概型與幾何概型1古典概型的概率公式P(A).2幾何概型的概率公式P(A).四、相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A). 2相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.五、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))2兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)【題型示例】題型一排列組合與計(jì)數(shù)原理例1、(1)2018·全國卷從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)(2)2018·浙江卷從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)【解析】不含有0的四位數(shù)有720(個(gè))含有0的四位數(shù)有540(個(gè)) 綜上，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為7205401 260.【答案】1 260【方法技巧】解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).【變式探究】(2017·全國)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有_種 站邀請(qǐng)，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A24B18C16 D10解析：分兩種情況，第一種：最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線所以小李可選的旅游路線數(shù)為AC·A10.選D.答案：D【變式探究】某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()A120種 B156種C188種 D240種解析：解法一記演出順序?yàn)?6號(hào)，對(duì)丙、丁的排序進(jìn)行分類，丙、丁占1和2號(hào)，2和3號(hào)，3和4號(hào)，4和5號(hào)，5和6號(hào)，其排法種數(shù)分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AAAACAACAACAA120(種)解法二記演出順序?yàn)?6號(hào)，按甲的編排進(jìn)行分類，當(dāng)甲在1號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA48(種)；當(dāng)甲在2號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)；當(dāng)甲在3號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)所以編排方案共有483636120(種)答案：A【變式探究】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué)某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A120種 B156種C188種 D240種(2)若自然數(shù)n使得作豎式加法n(n1)(n2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”例如：32是“開心數(shù)”因?yàn)?23334不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因?yàn)?32425產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A9 B10 C11 D12答案D解析根據(jù)題意個(gè)位數(shù)需要滿足要求：n(n1)(n2)<10，即n<2.3，個(gè)位數(shù)可取0,1,2三個(gè)數(shù)，十位數(shù)需要滿足：3n<10，n<3.3，十位可以取0,1,2,3四個(gè)數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3×412(個(gè))【感悟提升】(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化【變式探究】(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元，1個(gè)8元，1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A18種 B24種C36種 D48種答案C解析若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的，剩下2個(gè)紅包被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的，剩下2個(gè)紅包被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個(gè)8元和一個(gè)10元的，剩下2個(gè)紅包被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有AC6(種)搶法； 若甲、乙搶的是兩個(gè)6元的，剩下2個(gè)紅包被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有A6(種)搶法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種(2)(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食，教師們?cè)谛@附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有()1234A.9種 B18種 C12種 D36種答案B解析若種植2塊西紅柿，則他們?cè)?3,14或24位置上種植，剩下兩個(gè)位置種植黃瓜和茄子，所以共有3×26(種)種植方式；若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6×318(種)種植方式題型二 二項(xiàng)式定理例2、(1)2018·全國卷5的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20C40 D80【解析】5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C5·(x2)5r·rC5·2r·x103r，令103r4，得r2.故展開式中x4的系數(shù)為C5·2240.故選C.【答案】C【變式探究】(2017·浙江)已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_.答案164解析a4是x項(xiàng)的系數(shù)，由二項(xiàng)式的展開式得a4C·C·2C·C·2216.a5是常數(shù)項(xiàng)，由二項(xiàng)式的展開式得a5C·C·224.【變式探究】(2017·浙江)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案660【變式探究】若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，則a1·3a2·32a2 018·32 018的值為()A22 0181 B82 0181C22 018 D82 018【解析】由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a1·3a2·32a2 018·32 018(19)2 01882 018，所以a1·3a2·32a2 018·32 01882 018a082 0181，故選B.【答案】B【方法技巧】(1)利用二項(xiàng)式定理求解的兩種常用思路二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，求展開式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程思想解決的二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對(duì)二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值(2)【特別提醒】在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定；Tr1是展開式中的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)； (2)已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值【解析】(1)1臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障可看作1次試驗(yàn)，在1次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件A，則事件A的概率為.該廠有4臺(tái)機(jī)器，就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，則XB，P(X0)C·4，P(X1)C··3，P(X2)C·2·2，P(X3)C·3·，P(X4)C·4.X的分布列為X01234P設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為Xn，即X0，X1，X2，Xn，這n1個(gè)互斥事件的和事件，則 n01234P(Xn) 190%，該廠至少需要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%.(2)設(shè)該廠每月可獲利Y萬元，則Y的所有可能取值為18,13,8，P(Y18)P(X0)P(X1)P(X2)，P(Y13)P(X3)，P(Y8)P(X4)，Y的分布列為Y18138P則E(Y)18×13×8×(萬元)故該廠每月獲利的均值為萬元【方法技巧】(1)求復(fù)雜事件概率的兩種方法直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解對(duì)于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解(2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同【變式探究】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線記1分，未出線記0分假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的(1)求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E.解析：(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)1P()1××.所以的分布列為0123PE0×1×2×3×.題型五 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差例5、2018·北京卷電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“k1”表示第k類電影得到人們喜歡，“k0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k1,2,3,4,5,6)寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關(guān)系【解析】(1)解：由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140503002008005102 000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.2550，故所求概率為0.025.(2)解：設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)” 故所求概率為P(AB)P(A)P(B)P(A)(1P(B)(1P(A)P(B)由題意知P(A)估計(jì)為0.25，P(B)估計(jì)為0.2.故所求概率估計(jì)為0.25×0.80.75×0.20.35.(3)解：D1>D4>D2D5>D3>D6.【方法技巧】解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，并計(jì)算這些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.【變式探究】(2017·全國)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的期望達(dá)到最大值？解(1)由題意知，X所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.則X的分布列為X200300500P0.20.40.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500. 當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n×0.4(1 2002n)×0.4(8002n)×0.26400.4n.當(dāng)200n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n×(0.40.4)(8002n)×0.21601.2n.所以當(dāng)n300時(shí)，Y的期望達(dá)到最大值，最大值為520元【變式探究】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望EX16，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：產(chǎn)品的“性價(jià)比”產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)；“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，其性價(jià)比為1，乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，其性價(jià)比為1.2，又1.21，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性12