回顧4數(shù)列與不等式 必記知識(shí) 等差數(shù)列設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則(1)ana1(n1)dam(nm)d，若pqmn，則apaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)n是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列(5)Sn.(6)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m(mN*)，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2mm(amam1)(am，am1為中間兩項(xiàng))，S偶S奇md，.(7)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m1(mN*)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m1(2m1)am(am為中間項(xiàng))，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.(8)若Smn，Snm(mn)，則Smn(mn) 等比數(shù)列(1)anam·qnm，anmanqmamqn(m，nN*)(2)若mnpq，則am·anap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，qN*)(3)a1a2a3am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，成等比數(shù)列(mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，成等比數(shù)列(n2，且nN*)(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則q.(6)an，bn成等比數(shù)列，則an，anbn，成等比數(shù)列(0，nN*)(7)通項(xiàng)公式ana1qn1·qn，從函數(shù)的角度來看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn)(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，x，xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，xq，xq3.提醒)（1）如果數(shù)列an成等差數(shù)列，那么數(shù)列Aan（Aan總有意義）必成等比數(shù)列.（2）如果數(shù)列an成等比數(shù)列，且an0，那么數(shù)列l(wèi)ogaan（a0且a1）必成等差數(shù)列.（3）如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列an是非零常數(shù)列；數(shù)列an是常數(shù)列僅是數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件.（4）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原來兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).（5）如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；判別式，它決定根的情形，一般分0，0，0三種情況；在有根的條件下，要比較兩根的大小 一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是 分式不等式0(0)f(x)g(x)0(0)；0(0)提醒)（1）不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò).（2）解形如一元二次不等式ax2bxc0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a0，a0進(jìn)行討論.（3）應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把0直接轉(zhuǎn)化為f（x）·g（x）0，而忽視g（x）0. 圖解法求解線性規(guī)劃問題的基本要點(diǎn)(1)定域：畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng)(2)平移：畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與可行域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；注意熟練掌握常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義(3)求值：利用直線方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值提醒)（1）直線定界，特殊點(diǎn)定域：注意不等式中的不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選?。?，0），（0，1）.（2）線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)可能有多個(gè)；非線性目標(biāo)函數(shù)或非線性可行域的最值問題，最優(yōu)解不一定在頂點(diǎn)或邊界處取得. 利用基本不等式求最值(1)對(duì)于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值2.(2)對(duì)于正數(shù)x，y，若和xy是定值s，則當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值s2.(3)已知a，b，x，yR，若axby1，則有(axby)abab2()2.(4)已知a，b，x，yR，若1，則有xy(xy)·abab2()2.提醒)利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即：所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；求積xy的最大值時(shí)，要看和xy是否為定值，求和xy的最小值時(shí)，要看積xy是否為定值，求解時(shí)，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可. 必會(huì)結(jié)論 判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)作差比較法：an1an0數(shù)列an是遞增數(shù)列；an1an0數(shù)列an是遞減數(shù)列；an1an0數(shù)列an是常數(shù)列(2)作商比較法：當(dāng)an0時(shí)，則1數(shù)列an是遞增數(shù)列；01數(shù)列an是遞減數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列當(dāng)an0時(shí)，則1數(shù)列an是遞減數(shù)列；01數(shù)列an是遞增數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)借用構(gòu)造法求解：根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(n)an(nN*)，利用求解函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解：利用不等式an1an(或an1an)求出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而求出數(shù)列中項(xiàng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列an的最大項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解若求數(shù)列an的最小項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解求出n的取值范圍之后再確定取得最值的項(xiàng) 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)公式法：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)已知Sn(a1a2anSn)，求an，用作差法：an(3)已知a1·a2··anf(n)，an0，求an，用作商法：an(4)已知an1anf(n)，求an，用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(5)已知f(n)，求an，用累乘法：an····a1f(n1)·f(n2)··f(1)·a1(n2)(6)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知數(shù)列an中，an1panq(p0，p1，q0)，a1，設(shè)存在非零常數(shù)，使得an1p(an)，其中，則數(shù)列an就是以a1為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，先求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式即可(7)倒數(shù)法：若an(mkb0，n2)，對(duì)an取倒數(shù)，得到·，即·.令bn，則bn可歸納為bn1pbnq(p0，q0)型 數(shù)列求和的常用方法(1)公式法：等差數(shù)列的求和公式；等比數(shù)列的求和公式；常用公式，即123nn(n1)，122232n2n(n1)(2n1)，135(2n1)n2，nN*.(2)分組求和法：當(dāng)直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進(jìn)行求和(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的，那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”，從而進(jìn)行求解(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和常用的裂項(xiàng)形式有；，；. 解不等式恒成立問題的常用方法(1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉(zhuǎn)化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)0恒成立f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)0f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上(3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問題，即“f(x)a”或“f(x)a”型不等式恒成立問題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原理是：f(x)a在閉區(qū)間D上恒成立f(x)mina(xD)；f(x)a在閉區(qū)間D上恒成立f(x)maxa(xD)(4)分離參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x，m)0(或0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來，不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，該方法主要適用于參數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)m為參數(shù)時(shí)，g(m)f(x)g(m)f(x)max；g(m)f(x)g(m)f(x)min.必練習(xí)題1已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a36，S312，則公差d()A1B2C3D.解析：選B.在等差數(shù)列an中，S312，解得a12，又a3a12d22d6，解得d2，選B.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2a46，則S5等于()A10B12C15D30解析：選C.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4a1a5，所以S515，故選C.3已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a2·a69a4，a21，則a1的值為()A3B3CD.解析：選D.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a2·a69a4，得a2·a2q49a2q2，解得q29，所以q3或q3(舍)，所以a1.故選D.4已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5D7解析：選D.設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意，得所以或解得或當(dāng)時(shí)，a1a10a1(1q9)1(2)37；當(dāng)時(shí)，a1a10a1(1q9)(8)×7.綜上，a1a107.故選D.5設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值是()A3B4C6D8解析：選C.法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作直線xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(6，0)時(shí)，z取得最大值，即zmax6，故選C.法二：目標(biāo)函數(shù)zxy的最值在可行域的三個(gè)頂點(diǎn)處取得，易知三條直線的交點(diǎn)分別為(3，0)，(6，0)，(2，2)當(dāng)x3，y0時(shí)，z3；當(dāng)x6，y0時(shí)，z6；當(dāng)x2，y2時(shí)，z4.所以zmax6，故選C.6若數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8()A0B3C8D11解析：選B.依題意可設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則b10b37d27d12，解得d2，所以bnb3(n3)d2n8，又bnan1an，則b7a8a7，b6a7a6，b1a2a1，采用累加法可得，b7b6b1(a8a7)(a7a6)(a2a1)a8a1，又易知b1b2b70，則a8a13，故選B.7在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an中，若a11，a2，2anan2an1an2anan1(nN*)，則a2 018()A.B.C.D.解析：選C.因?yàn)?anan2an1an2anan1(nN*)，所以，所以是等差數(shù)列，其公差d2，所以1(n1)×22n1，an，所以a2 018.8已知函數(shù)f(x)則不等式f(x1)0的解集為_解析：由題意，得f(x1)當(dāng)x2時(shí)，由2x220，解得2x3；當(dāng)x2時(shí)，由22x20，解得1x2.綜上所述，不等式f(x1)0的解集為x|1x3答案：1，39已知數(shù)列an滿足a1，an(n2，nN*)，則通項(xiàng)公式an_解析：由an·，令bn，則bn·bn1bn1·(bn11)，由a1，得b11，所以bn1是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以bn1·，得an.答案：10已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，anan13n，則S2 017_解析：由anan13n，得an1an3n1(n2)，所以3(n2)，則數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，又a11，a1a23，所以a23，所以S2 01731 0092.答案：31 00928