第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程考情考向·高考導航1掌握二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象性質2以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關系、函數(shù)零點存在性定理3能利用函數(shù)解決簡單的實際問題真題體驗1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)log2(x2a)若f(3)1，則a_.解析：f(x)log2(x2a)且f(3)1，f(3)log2(9a)1，9a2，a7.答案：72(全國卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a()AB.C. D1解析：Cx22xa(ex1ex1)，設g(x)ex1ex1，g(x)ex1ex1ex1，當g(x)0時，x1，當x1時，g(x)0函數(shù)單調遞減，當x1時，g(x)0，函數(shù)單調遞增，當x1時，函數(shù)取得最小值g(1)2，設h(x)x22x，當x1時，函數(shù)取得最小值1，若a0，函數(shù)h(x)，和ag(x)沒有交點，當a0時，ag(1)h(1)時，此時函數(shù)h(x)和ag(x)有一個交點，即a×21a，故選C.3(2019·全國卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()Aabc BacbCcab Dbca解析：Balog20.2log210，b20.2201，0c0.20.30.201，bca.選B.4(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：C令g(x)f(x)xa0，則f(x)xa，要使g(x)存在2個零點，則需yf(x)與yxa有兩個交點，畫出函數(shù)f(x)和yxa的圖象如圖所示，則需a1，a1.主干整合1指數(shù)式與對數(shù)式的七個運算公式(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN(注：a，b0且a，b1，M0，N0)2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)的圖象和性質，分0a1，a1兩種情況，當a1時，兩函數(shù)在定義域內都為增函數(shù)，當0a1時，兩函數(shù)在定義域內都為減函數(shù)3函數(shù)的零點問題(1)函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標(2)確定函數(shù)零點的常用方法：直接解方程法；利用零點存在性定理；數(shù)形結合，利用兩個函數(shù)圖象的交點求解4應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序.熱點一基本初等函數(shù)的圖象與性質例1(1)(2019·濟南三模)若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域為y|y1，則函數(shù)yloga|x|的圖象大致是()解析B由于ya|x|的值域為y|y1，a1，則ylogax在(0，)上是增函數(shù)，又函數(shù)yloga|x|的圖象關于y軸對稱因此yloga|x|的圖象應大致為選項B.(2)(2019·鄭州三模)已知a(a1)0，若函數(shù)f(x)log2(ax1)在(3，2)上為減函數(shù)，且函數(shù)g(x)在R上有最大值，則a的取值范圍為()A.B.C. D.解析Af(x)log2(ax1)在(3，2)上為減函數(shù)，a，a(a1)0，|a|(1，)當x時，g(x)4x(0,2，又g(x)在R上有最大值，則當x時，log|a|x2，且|a|，log|a|2，|a|2，則|a|，又a，a.(3)(2019·天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則a，b，c的大小關系為()Aacb BabcCbca Dcab解析A利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性時要根據(jù)底數(shù)與1的大小區(qū)別對待alog52log5，blog0.50.2log0.50.252，0510.50.20.50，故c1，所以acb.故選A.基本初等函數(shù)的圖象與性質的應用技巧(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調性都取決于其底數(shù)的取值，當?shù)讛?shù)a的值不確定時，要注意分a1和0a1兩種情況討論：當a1時，兩函數(shù)在定義域內都為增函數(shù)；當0a1時，兩函數(shù)在定義域內都為減函數(shù)(2)由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復合而成的函數(shù)，其性質的研究往往通過換元法轉化為兩個基本初等函數(shù)的有關性質，然后根據(jù)復合函數(shù)的性質與相關函數(shù)的性質之間的關系進行判斷(1)(2020·銀川模擬)若函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()解析：B函數(shù)ylogax過點(3,1)，1loga3，解得a3，由于y3x不可能過點(1,3)，故選項A錯誤；由于yx3過定點(1,1)，故選項B正確；由于y(x)3x3不可能過點(1,1)，故選項C錯誤；由于ylog3(x)不可能過點(3，1)，故選項D錯誤故選B.(2)(2019·全國卷)設f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，)單調遞減，則()AfffBfffCfffDfff解析：C本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查學生轉化與化歸及分析問題解決問題的能力f(x)是R的偶函數(shù)，ff(log34)log3412022，又f(x)在(0，)單調遞減，f(log34)ff，fff，故選C.熱點二函數(shù)的零點與方程的根確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在區(qū)間例21(1)(2019·南昌調研)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點個數(shù)為()A1B2C3 D4解析B(1)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點個數(shù)即為函數(shù)y|log0.5x|與y圖象的交點個數(shù)在同一坐標系中作出函數(shù)y|log0.5x|與y的圖象，易知有2個交點(2)(2020·蘭州模擬)方程ln(x1)0(x0)的根存在的大致區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)解析B設f(x)ln(x1)，易f(1)ln(11)2ln 220，而f(2)ln 310，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)所以B選項正確判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接求零點：令f(x)0，則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù)(2)利用零點存在性定理：利用該定理還必須結合函數(shù)的圖象和性質(如單調性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)數(shù)形結合法：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍例22(1)(2020·四川涼山診斷)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2) D(，1)解析A函數(shù)f(x)(aR)在R上有兩個零點，且x是函數(shù)f(x)的一個零點，方程2xa0在(，0上有一個解，再根據(jù)當x(，0時，02x201，可得0a1.故選A.(2)(2019·山東濟南三模)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當x1,0時，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內，函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當x1,0時，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內有3個交點當0a1時，函數(shù)圖象無交點，數(shù)形結合可得a1且解得3a5.答案(3,5)利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解(2)分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解(1)(2019·武昌二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x(0，)時，f(x)2 018xlog2 018x，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為_解析：在同一直角坐標系中作出函數(shù)y2 018x和ylog2 018x的圖象如圖所示，可知函數(shù)f(x)2 018xlog2 018x在x(0，)上存在一個零點，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)在x(，0)上只有一個零點，又f(0)0，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是3.答案：3(2)(2020·張家界模擬)已知函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)k0有唯一一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結合圖象可以看出當0k1或k2時符合題設答案：0,1)(2，)熱點三函數(shù)的實際應用數(shù)學建模素養(yǎng)數(shù)學建模函數(shù)建模在實際問題中的妙用解函數(shù)的模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關系式(注意定義域)，并進行相關求解，最后結合實際意義作答例3(1)(2020·涼山診斷)某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司現(xiàn)有某型號電腦6臺，乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺已知從甲地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元從乙地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是80元和50元若總運費不超過1 000元，則調運方案的種數(shù)為()A1 B2C3 D4解析C(1)設總運費為y元，甲地調運x臺電腦至B地，則剩下(6x)臺電腦調運至A地；乙地應調運(8x)臺電腦至B地，調運12(8x)(x4)臺電腦(0x6，xN)至A地則總運費y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(0x6，xN)若y1 000，則20x9601 000，得x2.又0x6，xN.0x2，xN.x0,1,2，即有3種調運方案(2)(2020·湖南名校聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為PP0ekt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為_小時解析前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t5時，P0.9P0，則(ek)50.9，ek0.9，PP0ektP0t.當污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P0.81P0，代入得0.81t，解得t10，即需要花費10小時答案10解決函數(shù)實際應用題的兩個關鍵點(1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學的抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題(2)要合理選取參數(shù)變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解(2019·北京卷)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1,2)已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A1010.1 B10.1Clg10.1 D1010.1解析：A考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg，令m21.45，m126.7，lg(m2m1)(1.4526.7)10.1，1010.1，故選A.限時40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2019·云南檢測)設a60.7，blog70.6，clog0.60.7，則a，b，c的大小關系為()AcbaBbcaCcab Dacb解析：D因為a60.71，blog70.60,0clog0.60.71，所以acb.2(北京卷)根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 30.48)A1033 B1053C1073 D1093解析：D設x，兩邊取對數(shù)，lg xlglg3361lg1080361×lg 38093.28，所以x1093.28，即最接近1093，故選D.3(2020·安徽皖中名校聯(lián)考)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c) B(，a)和(a，b)C(b，c)和(c，) D(，a)和(c，)解析：A由題意可得f(a)0，f(b)0，f(c)0，則由零點存在性定理可知，選A.4(2019·鐵人中學期中)函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當1x1時，f(x)|x|.若yf(x)的圖象與g(x)logax(a0且a1)的圖象有且僅有四個交點，則a的取值集合為()A4,5 B4,6C5 D6解析：C函數(shù)f(x2)f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，數(shù)形結合可知，當g(x)的圖象過點(5,1)時，f(x)的圖象與g(x)logax的圖象僅有四個交點，則g(5)loga51，得a5.故選C.5(2020·廣西三校)函數(shù)f(x)x2lg的圖象()A關于x軸對稱 B關于原點對稱C關于直線yx對稱 D關于y軸對稱解析：B因為f(x)x2lg，所以其定義域為(，2)(2，)，所以f(x)x2lgx2lgf(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱6某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據(jù)市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每次提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件()A100元 B110元C150元 D190元解析：D設售價提高x元，利潤為y元，則依題意得y(1 0005x)×(20x)5x2900x20 0005(x90)260 500.故當x90時，ymax60 500，此時售價為每件190元7(2020·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)ln x2x3，其中x表示不大于x的最大整數(shù)(如1.61，2.13)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：B設g(x)ln x，h(x)2x3，當0x1時，h(x)3，作出圖象，兩個函數(shù)圖象有一個交點，即f(x)有一個零點；當2x3時，h(x)1，ln 2g(x)ln 3.此時兩函數(shù)圖象有一個交點，即f(x)有一個零點，當x3以后，兩函數(shù)圖象無交點，綜上，共有兩個零點8(2020·貴陽模擬)某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y(單位：萬元)隨年產(chǎn)值x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%.若采用函數(shù)f(x)作為獎勵函數(shù)模型，則最小的正整數(shù)a的值為()A310 B315C320 D325解析：B對于函數(shù)模型f(x)15，a為正整數(shù)，函數(shù)在50,500上單調遞增，f(x)minf(50)7，得a344，要使f(x)0.15x對x50,500恒成立，即a0.15x213.8x對x50,500恒成立，所以a315.綜上，最小的正整數(shù)a的值為315.9(山東卷)已知當x0,1時，函數(shù)y(mx1)2 的圖象與ym的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是()A(0,12，) B(0,13，)C(0，2，) D(0，3，)解析：B當0m1時，1，y(mx1)2單調遞減，且y(mx1)2(m1)2,1，ym單調遞增，且ymm,1m，此時有且僅有一個交點；當m1時，01，y(mx1)2在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需(m1)21mm3，選B.10(2020·長春模擬)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A1,1) B0,2C2,2) D1,2)解析：Df(x)g(x)f(x)2x而方程x20的解為2，方程x23x20的解為1，2；若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個不同的零點，則解得1a2，實數(shù)a的取值范圍是1,2)故選D.11(2019·長春質量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)與g(x)1sin x，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)在區(qū)間2,6上的所有零點的和為()A4 B8C12 D16解析：D令F(x)f(x)g(x)0，得f(x)g(x)，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)f(x)1與g(x)1sin x的圖象，如圖所示f(x)，g(x)的圖象都關于點(2,1)對稱，結合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在2,6上共有8個交點，交點的橫坐標即F(x)f(x)g(x)的零點，且這些交點關于直線x2成對出現(xiàn)，由對稱性可得所有零點之和為4×2×216，故選D.12(2020·煙臺模擬)已知函數(shù)yf(x1)的圖象關于點(1,0)對稱，且當x(，0)時，f(x)xf(x)0成立(其中f(x)是f(x)的導函數(shù))，若a30.3·f(30.3)，b(log3)·f(log3)，c·f，則a，b，c的大小關系是()Aabc BcabCcba Dacb解析：B因為當x(，0)時不等式f(x)xf(x)0成立，即xf(x)0，所以g(x)xf(x)在(，0)上是減函數(shù)又因為函數(shù)yf(x1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以函數(shù)yf(x)的圖象關于點(0,0)對稱，所以函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(x)xf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以g(x)xf(x)在(0，)上是增函數(shù)又因為30.31log30log32，2log330.31log30，所以f30.3·f(30.3)(log3)·f(log3)，即f30.3·f(30.3)(log3)·f(log3)，即cab，故選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13(2020·福建三明模擬)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t(單位：分)后的溫度是T，則TTa(T0Ta)·，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡，放在24 的房間中，如果咖啡降到40 需要20分鐘，那么此杯咖啡從40 降溫到32 時，還需要_分鐘解析：由已知可得Ta24，T088，T40，則4024(8824)×，解得h10.當咖啡從40 降溫到32 時，可得3224(4024)×，解得t10.故還需要10分鐘答案：1014(2020·湖南省四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)lg xx9在區(qū)間(n，n1)(nZ)上存在零點，則n_.解析：易知函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且f(x)在其定義域內單調遞增，由零點存在性定理知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(n，n1)(nZ)上存在零點，則有又f(4)lg 469lg 430，f(5)lg 59lg 50，f(6)lg 699lg 60，所以函數(shù)f(x)在(5,6)上存在零點，所以n5.答案：515(2018·浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)當2時，不等式f(x)<0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_解析：2，f(x)當x2時，x40得2x4.當x2時，x24x30，解得1x2.綜上不等式的解集為1x4.當yx24x3有2個零點時，4.當yx24x3有1個零點時，yx4有1個零點，13.13或4.答案：(1,4)；(1,3(4，)16(2019·合肥調研)已知f(x)(其中a0，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若g(x)ff(x)在R上有三個不同的零點，則a的取值范圍是_解析：令tf(x)，所以g(x)f(t)，g(x)ff(x)在R上要有三個不同的零點，則f(t)0必有兩解，所以2a0，所以f(x)的大致圖象如圖所示，又f(x)的零點為x10，x22，所以yf(t)必有兩個零點，t12和t20，而xa時，f(x)mina24，所以要使yf(t)的兩個零點都存在，則a242，否則t12這個零點就不存在，故a22，所以a0.答案：，0)- 14 -