回顧5立體幾何 必記知識 空間幾何體的表面積和體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)2rlS表2r(rl)VS底hr2h圓錐S側(cè)rlS表r(rl)VS底hr2h圓臺S側(cè)(rr)lS表(r2r2rlrl)V(S上S下)h(r2r2rr)h直棱柱S側(cè)Ch(C為底面周長)S表S側(cè)S上S下(棱錐的S上0)VS底h正棱錐S側(cè)Ch(C為底面周長，h為斜高)VS底h正棱臺S側(cè)(CC)h(C，C分別為上、下底面周長，h為斜高)V(S上S下)h球S4R2VR3 空間線面位置關(guān)系的證明方法(1)線線平行：ab，ab，ab，cb.(2)線面平行：a，a，a.(3)面面平行：，.(4)線線垂直：ab.(5)線面垂直：l，a，a，b.(6)面面垂直：，.提醒)要注意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件.如由，l，ml，易誤得出m的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m的限制條件. 用空間向量證明平行垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面、的法向量分別為(a2，b2，c2)，(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行l(wèi)aa·0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行a2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直·0a2a3b2b3c2c30. 用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角有cos |cosl1，l2|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)(2)直線l與平面的夾角有sin |cosl，n|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面的法向量)(3)平面，的夾角有cos |cosn1，n2|，則­l­二面角的平面角為或(其中n1，n2分別是平面，的法向量)提醒)在處理實(shí)際問題時(shí)，要注意異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍，要根據(jù)具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角. 必會(huì)結(jié)論 三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣 平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為a(正四面體高a的)，外接球的半徑為a(正四面體高a的)必練習(xí)題1設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若m，則m；若，m，則m；若n，n，m，則m；若m，m，則.其中正確命題的序號是()ABCD解析：選D.對于，注意到直線m可能與平面，的交線平行，此時(shí)結(jié)論不成立，因此不正確；對于，直線m與平面必沒有公共點(diǎn)，因此m，正確；對于，由m，n，得mn，又n，因此m，正確；對于，平面，可能是相交平面，因此不正確綜上所述，其中正確命題的序號是，選D.2如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()A.B2C3D4解析：選A.由幾何體的三視圖知，幾何體是底面為直角梯形，高為的四棱錐，如圖所示，則V××(12)×2×，故選A.3已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()AB.C2D3解析：選C.依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此，解得r，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4×2，故選C.4中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()A1.2B1.6C1.8D2.4解析：選B.該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)底面半徑為，高為x的圓柱，右邊是一個(gè)長、寬、高分別為5.4x，3，1的長方體，所以組合體的體積VV圓柱V長方體·×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6.故選B.5已知S，A，B、C是球O表面上的不同點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，AB1，BC，若球O的表面積為4，則SA()A.B1C.D.解析：選B.根據(jù)已知把S­ABC補(bǔ)成如圖所示的長方體因?yàn)榍騉的表面積為4，所以球O的半徑R1，2R2，解得SA1，故選B.6棱長都為2的直平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，BAD60°，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為()A.B.C.D.解析：選C.過點(diǎn)A1作直線A1MD1C1，交C1D1的延長線于點(diǎn)M，連接CM，可得A1M平面DD1C1C，則A1CM就是直線A1C與面DD1C1C所成的角由所有棱長均為2及A1D1C1120°，得A1MA1D1sin 60°，又A1C4，所以sinA1CM，故選C.7已知矩形ABCD，AB1，BC，將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，()A存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直解析：選B.若存在某個(gè)位置，使得ACBD，作AEBD于E，則BD平面AEC，所以BDEC，在ABD中，AB2BE·BD，BE，而在BCD中，BC2BE·BD，BE，兩者矛盾故A錯(cuò)誤若存在某個(gè)位置，使得ABCD，又因?yàn)锳BAD，則AB平面ACD，所以ABAC，故AC1，故B正確，D錯(cuò)誤若存在某個(gè)位置使得ADBC，又因?yàn)锳DAB，則AD平面ABC，所以ADAC，而斜邊CD小于直角邊AD，矛盾，故C錯(cuò)誤8.如圖，在四棱錐P­ACBD中，底面ACBD為正方形，PD平面ACBD，BCACa，PAPBa，PCa，則點(diǎn)C到平面PAB的距離為_解析：根據(jù)條件可以將四棱錐置于一個(gè)正方體中進(jìn)行研究，如圖所示，易知ABa，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，因?yàn)閂P­ABCVC­PAB，即×SABC·PDSPAB·h，所以×a2×a××(a)2×h，解得ha，所以點(diǎn)C到平面PAB的距離為a.答案：a9正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，則·的取值范圍是_解析：以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz.則D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)所以(0，1，0)，(1，1，1)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)(，)，且01.所以(，1，)，所以·10，1答案：0，110.如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成四面體P­DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_解析：折成的四面體是正四面體，如圖連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，PK，則GKDH.故PGK即為所求的異面直線所成的角設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2，在PGK中，PG，GK，PK，故cosPGK，即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是.答案：6