第2章 圓錐曲線與方程圓錐曲線定義的應(yīng)用【例1】(1)已知F是雙曲線1的左焦點，點A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|PA|的最小值為()A9B5 C8 D4(2)若點M(1,2)，點C是橢圓1的右焦點，點A是橢圓的動點，則|AM|AC|的最小值是_(1)A(2)82(1)設(shè)右焦點為F，則F(4,0)，依題意，有|PF|PF|4，|PF|PA|PF|PA|4|AF|4549.(2)設(shè)點B為橢圓的左焦點，則B(3，0)，點M(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|2，所以(|AM|AC|)min82.研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題.提醒：應(yīng)用定義解決問題時，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應(yīng)的結(jié)論.1以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4C6 D8B設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A B C D(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，點A(0,1)與雙曲線上的點的最小距離是，求雙曲線方程(1)A如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P.設(shè)E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故選A.(2)e，a24b2，設(shè)雙曲線1上一點B(x，y)，則|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b2154b2.當(dāng)y時，|AB|取得最小值，為，即，b21，雙曲線方程為y21.圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強，需弄清每個性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應(yīng)用到解題中去.2若橢圓1(a>b>0)上存在一點M，使得F1MF290°(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點)，求橢圓的離心率e的取值范圍解設(shè)點M的坐標(biāo)是(x0，y0)，則消去y0，得x.因為0xa2，所以由，得c2b2，即c2a2c2，所以a22c2，所以e2.又0<e<1，所以e.由，得c2b2c2，此式恒成立綜上所述，所求橢圓的離心率e的取值范圍是.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題【例3】已知直線l：xmy1(m0)恒過橢圓C：1(ab0)的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點(1)若拋物線x24y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；(2)對于(1)中的橢圓C，若直線l交y軸于點M，且1，2，當(dāng)m變化時，求12的值解(1)根據(jù)題意，直線l：xmy1(m0)過橢圓C：1(a>b>0)的右焦點F，F(xiàn)(1,0)，c1，又拋物線x24y的焦點為橢圓C的上頂點，b，b23.a2b2c24，橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸交于M，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)>0，y1y2，y1y2，(*)，又由1，1(1x1，y1)，11，同理21，1222，12.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點個數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；(2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；(3)有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運算.3如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記d，求d的最大值解(1)y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，1，p，拋物線C的方程為y2x.又點M(t,1)在曲線C上，t1.(2)由(1)知，點M(1,1)，從而nm，即點Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k0)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k·2m1，直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m2>0，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB|·|y1y2|·2.d2m(1m)1，當(dāng)且僅當(dāng)m1m，即m時，上式等號成立，又m滿足4m4m20.d的最大值為1. 數(shù)學(xué)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用【例4】已知定點F(0,1)和直線l1：y1，過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C.(1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P，Q，交直線l1于點R，求·的最小值解(1)由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到l1的距離，點C的軌跡是以F為焦點，l1為準(zhǔn)線的拋物線，動點C的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.又易得點R的坐標(biāo)為，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時取等號，·4×2816，即·的最小值為16.函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題中應(yīng)用廣泛，主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題.4設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)求證|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)證明：因為|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過點B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y(x1)，點A到直線m的距離為，所以|PQ|24，故四邊形MPNQ的面積S|MN|·|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)- 9 -