第三節(jié)圓的方程考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心，半徑2.點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.1圓的三個性質(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線2兩個圓系方程具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程(1)同心圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中a，b為定值，r是參數(shù)；(2)半徑相等的圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0()(4)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0()答案(1)(2)×(3)(4)2(教材改編)已知點A(1，1)，B(1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()Ax2y22Bx2y2Cx2y21Dx2y24AAB的中點坐標為(0,0)，|AB|2，所以圓的方程為x2y22.3點(m2,5)與圓x2y224的位置關系是()A點在圓外B點在圓內(nèi)C點在圓上D不能確定A將點(m2,5)代入圓方程，得m425>24.故點在圓外，故選A.4若x2y24x2y5k0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是()ARB(，1)C(，1D1，)B由方程x2y24x2y5k0可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圓，則55k>0，解得k<1.故實數(shù)k的取值范圍是(，1)故選B.5若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21A由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設圓心為(a,1)(a>0)，又圓與直線4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圓的標準方程為(x2)2(y1)21.故選A.求圓的方程1. 過點A(1，1)，B(1,1)，且圓心在xy20上的圓的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24CAB的中垂線方程為yx，所以由yx，xy20的交點得圓心(1,1)，半徑為2，因此圓的方程是(x1)2(y1)24，故選C2已知圓心在直線y4x上，且圓與直線l：xy10相切于點P(3，2)，則該圓的方程是_(x1)2(y4)28過切點且與xy10垂直的直線為y2x3，與y4x聯(lián)立可求得圓心為(1，4)所以半徑r2，故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.3(2018·天津高考)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_x2y22x0法一：設圓的方程為x2y2DxEyF0.圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)， 解得 圓的方程為x2y22x0.法二：畫出示意圖如圖所示，則OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x1)2y21，即x2y22x0.規(guī)律方法求圓的方程的方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值與圓有關的最值問題 考法1斜率型最值問題【例1】已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，則的最大值為_，最小值為_原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時，解得k±.(如圖所示)所以的最大值為，最小值為.考法2截距型最值問題【例2】已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解設txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.考法3距離型最值問題【例3】已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2,3)求|MQ|的最大值和最小值；解(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標為(2,7)，半徑r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.規(guī)律方法與圓有關的最值問題的三種幾何轉化法(1)形如形式的最值問題可轉化為動直線斜率的最值問題(2)形如taxby形式的最值問題可轉化為動直線截距的最值問題(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值問題可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題 (1)如果實數(shù)x，y滿足圓(x2)2y21，那么的取值范圍是_(2)由直線yx1上的一點向圓x26xy280引切線，則切線長的最小值為_(1)(2)(1)(x，y)在圓上，表示的是圓上的點(x，y)與點(1，3)連線的斜率，結合圖像(圖略)，求出過點(1，3)與圓相切的一條切線的斜率不存在，另一條切線斜率設為k，切線方程為kxy3k0，圓心到直線的距離等于半徑，即1，k，故取值范圍是.(2)切線長的最小值在直線yx1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d2，圓的半徑為1，故切線長的最小值為.與圓有關的軌跡問題 【例4】已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設PQ的中點為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.設O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.規(guī)律方法求與圓有關的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質得出方程求解(4)代入法(相關點法)：找出要求的點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式求解 已知點A(1,0)，點B(2,0)，動點C滿足|AC|AB|，求點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程解由題意可知：動點C的軌跡是以(1,0)為圓心，3為半徑長的圓，方程為(x1)2y29.設M(x0，y0)，則由中點坐標公式可求得C(2x01,2y04)，代入點C的軌跡方程得4x4(y02)29，化簡得x(y02)2，故點M的軌跡方程為x2(y2)2.1(2015·全國卷)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|()A2B8C4D10C設圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C2(2015·全國卷)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_2y2由題意知a4，b2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，2)，右頂點的坐標為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，2)，(4,0)三點設圓的標準方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標準方程為2y2.3(2017·全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設圓M過點P(4，2)，求直線l與圓M的方程解(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·1，所以OAOB，故坐標原點O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過點P(4，2)，因此·0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.當m1時，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當m時，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標為，圓M的半徑為，圓M的方程為.- 8 -