4、t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
3．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F(x)相同的方向，從x＝1處運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所作的功為________J.
14 [由題意可知，力F(x)所作的功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)
＝14 J．]
利用定積分求平面圖形的面積問題
[探究問題]
觀察圖形，完成下列探究問題：
1．圖中陰影部分的面積能否用定積分[－(x－4)]dx表示？為什么？
[提示] 不能．由定積分的幾何意義可知，當(dāng)x∈[0,8]時，被積函數(shù)y＝－(x－4)表示的圖形如圖
5、所示：
2．若以x為積分變量，如何用定積分表示圖形中陰影部分的面積？
[提示] S＝2dx＋[－(x－4)]dx.
3．能否以y為積分變量，用定積分表示圖形中陰影部分的面積？
[提示] 能．可表示為S＝dy.
【例1】 (1)已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為，則k＝________.
(2)求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積．
(1)2 [由解得 或
故陰影部分的面積為(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.]
(2)[解] 畫出圖形，如圖所示．
解方程組
及
得交點坐標(biāo)分別為(1,1)，(
6、0,0)，(3，－1)，
所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝.
1.(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤叭鐖D所示，已知點A，點P(x0，y0)(x0＞0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等”，則x0＝________.
[解] 由題意知
×x0×＝∫x00x2dx，
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝.
2．(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y＝x2在點P(2,4)處的切線與曲線及x軸所圍成的圖形面積為S”，求S.
[解] ∵y′|x＝2＝4，故曲線在P點處的切線方程
7、為y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面積S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.
3．(變條件)把本例(2)的條件改為“求由曲線y2＝x，y＝2－x所圍成的圖形的面積．”
[解] 由得或
∴陰影部分的面積
S＝(2－y－y2)dy
＝＝－＝.
求曲邊梯形面積的一般步驟如下：
求變速直線運動的路程
【例2】 有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：
(1)P從原點出發(fā)，當(dāng)t＝6時，求點P移動的路程和離開原點的位移；
(2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值．
[解] (1
8、)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即當(dāng)0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動，
當(dāng)t＞4時，P點向x軸負方向運動．
故t＝6時，
點P移動的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
當(dāng)t＝6時，點P的位移為
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依題意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，t＝0對應(yīng)于P點剛開始從原點出發(fā)的情況，t＝6是從原點出發(fā)，又返回原點所用的時間．
做變速直線運動的物體，從時刻t＝a到時刻t＝b(a＜b)所經(jīng)過的路程s和位移s′情況如下：
(1)若v(t)≥0，
則s＝v(t)dt；
9、s′＝v(t)dt.即s＝s′.
(2)若v(t)≤0，則s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝－s′.
(3)若在區(qū)間[a，c]上，v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)＜0，則s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
所以求路程時要事先求得速度的正負區(qū)間．
1．有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車．設(shè)汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？
[解] 設(shè)從開始剎車到停車，汽車經(jīng)過了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝
10、5.所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為s＝(10－2t)dt＝(10t－t2)＝25(m)．
故從開始剎車到停車，汽車行駛了25 m.
求變力做功
【例3】 設(shè)有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功．
[解] 設(shè)x表示彈簧伸長的長度，f(x)表示加在彈簧上的力，則f(x)＝kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù))．
因為當(dāng)f(x)＝100時，x＝5，
所以k＝20.所以f(x)＝20x.
彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，故所做的功
W＝∫20xdx＝10x
11、2＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．
求變力做功的方法步驟
(1)要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移．
(2)利用變力做功的公式W＝F(x)dx計算．
(3)注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．
2．一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為( )
A．10 J B．12 J
C．14 J D．16 J
B [W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x)＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]
1．對于簡單圖形的面
12、積求解，我們可直接運用定積分的幾何意義，此時：
(1)確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標(biāo)．
(2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差．
這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分了．注意區(qū)別定積分與利用定積分計算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負或為零；而平面圖形的面積總是非負的．
2．已知變速運動方程，求在某段時間內(nèi)物體運動的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分．解這類問題需注意三點：(1)分清運動過程中的變化情況；(2)如果速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；(3)明確是求位移還是求路程，求位移可以正負抵消，求路程不能正負抵消．
3．
13、利用定積分求變力做功問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間．求變力做功時，要注意單位，F(xiàn)(x)單位：N，x單位：m.
1．在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達式中，正確的有( )
③ ④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
D [①錯誤，S＝[f(x)－g(x)]dx；
②錯誤，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx；
③④正確．]
2．曲線y＝cos x與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是( )
A．2 B．3
C. D．4
3．一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)＝27－0.9t，則列車剎車后前進多少米才能停車( )
A
14、．405 B．540
C．810 D．945
A [停車時v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.]
4．設(shè)a＞0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________.
5．一物體在變力F(x)＝(N)的作用下沿坐標(biāo)平面內(nèi)x軸的正方向由x＝8 m處運動到x＝18 m處，求力F(x)在這一過程中所做的功．
[解] 由題意得力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在[8,18]上的定積分，從而
W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－＝(J)．
從而可得力F(x)在這一過程中所做的功為 J.
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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2
