1.7.1　定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2　定積分在物理中的應(yīng)用 學(xué) 習(xí) 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.會用定積分求平面圖形的面積．(重點、易混點) 2.會求變速直線運動的路程和變力做功．(重點、難點) 通過利用定積分求解曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程和變力做功的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 1．定積分與平面圖形面積的關(guān)系 (1)已知函數(shù)f(x)在[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，由直線y＝0，x＝a，x＝b與曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積為S，填表： f(x)的符號 平面圖形的面積與定積分的關(guān)系 f(x)≥0 S＝f(x)dx f(x)＜0 S＝－f(x)dx (2)一般地，如圖所示，如果在公共的積分區(qū)間[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直線x＝a，x＝b與曲線y＝f(x)，y＝g(x)圍成的平面圖形的面積為S＝[f(x)－g(x)]dx.即曲邊梯形的面積等于曲邊梯形上、下兩個邊界所表示函數(shù)的差的定積分． 2．變速直線運動的路程 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝v(t)dt. 思考：變速直線運動的路程和位移相同嗎？ [提示]　不同．路程是標量，位移是矢量，兩者是不同的概念． 3．變力做功 如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所做的功為W＝F(x)dx. 1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成的圖形的面積等于(　　) A. (x－x3)dx　　　 B. (x3－x)dx C．2(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx C　[由題意知，由y＝x3及y＝x所圍成的圖形如圖所示． 顯然S＝2(x－x3)dx.] 2．一物體沿直線以v＝3t＋2(t單位：s，v單位：m/s)的速度運動，則該物體在3～6 s間的運動路程為(　　) A．46 m　　　　 B．46.5 m C．87 m D．47 m B　[s＝(3t＋2)dt＝ ＝(54＋12)－＝46.5(m)．] 3．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F(x)相同的方向，從x＝1處運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所作的功為________J. 14　[由題意可知，力F(x)所作的功 W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x) ＝14 J．] 利用定積分求平面圖形的面積問題 [探究問題] 觀察圖形，完成下列探究問題： 1．圖中陰影部分的面積能否用定積分[－(x－4)]dx表示？為什么？ [提示]　不能．由定積分的幾何意義可知，當x∈[0,8]時，被積函數(shù)y＝－(x－4)表示的圖形如圖所示： 2．若以x為積分變量，如何用定積分表示圖形中陰影部分的面積？ [提示]　S＝2dx＋[－(x－4)]dx. 3．能否以y為積分變量，用定積分表示圖形中陰影部分的面積？ [提示]　能．可表示為S＝dy. 【例1】　(1)已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為，則k＝________. (2)求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積． (1)2　[由解得 或 故陰影部分的面積為(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.] (2)[解]　畫出圖形，如圖所示． 解方程組 及 得交點坐標分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx ＝＋ ＝＋＋ ＝＋6－×9－2＋＝. 1.(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤叭鐖D所示，已知點A，點P(x0，y0)(x0＞0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等”，則x0＝________. [解]　由題意知 ×x0×＝∫x00x2dx， 即x0＝x， 解得x0＝或x0＝－或x0＝0. ∵x0＞0，∴x0＝. 2．(變條件)把本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y＝x2在點P(2,4)處的切線與曲線及x軸所圍成的圖形面積為S”，求S. [解]　∵y′|x＝2＝4，故曲線在P點處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面積S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝. 3．(變條件)把本例(2)的條件改為“求由曲線y2＝x，y＝2－x所圍成的圖形的面積．” [解]　由得或 ∴陰影部分的面積 S＝(2－y－y2)dy ＝＝－＝. 求曲邊梯形面積的一般步驟如下： 求變速直線運動的路程 【例2】　有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求： (1)P從原點出發(fā)，當t＝6時，求點P移動的路程和離開原點的位移； (2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值． [解]　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4， 即當0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動， 當t＞4時，P點向x軸負方向運動． 故t＝6時， 點P移動的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt ＝－＝. 當t＝6時，點P的位移為 (8t－2t2)dt＝＝0. (2)依題意(8t－2t2)dt＝0， 即4t2－t3＝0， 解得t＝0或t＝6，t＝0對應(yīng)于P點剛開始從原點出發(fā)的情況，t＝6是從原點出發(fā)，又返回原點所用的時間． 做變速直線運動的物體，從時刻t＝a到時刻t＝b(a＜b)所經(jīng)過的路程s和位移s′情況如下： (1)若v(t)≥0， 則s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝s′. (2)若v(t)≤0，則s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝－s′. (3)若在區(qū)間[a，c]上，v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)＜0，則s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt. 所以求路程時要事先求得速度的正負區(qū)間． 1．有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車．設(shè)汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？ [解]　設(shè)從開始剎車到停車，汽車經(jīng)過了t s. v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t. 令v(t)＝0，解得t＝5.所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為s＝(10－2t)dt＝(10t－t2)＝25(m)． 故從開始剎車到停車，汽車行駛了25 m. 求變力做功 【例3】　設(shè)有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功． [解]　設(shè)x表示彈簧伸長的長度，f(x)表示加在彈簧上的力，則f(x)＝kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù))． 因為當f(x)＝100時，x＝5， 所以k＝20.所以f(x)＝20x. 彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，故所做的功 W＝∫20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)＝22.5(J)． 求變力做功的方法步驟 (1)要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移． (2)利用變力做功的公式W＝F(x)dx計算． (3)注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳． 2．一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為(　　) A．10 J B．12 J　　　 C．14 J　　　 D．16 J B　[W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x)＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．] 1．對于簡單圖形的面積求解，我們可直接運用定積分的幾何意義，此時： (1)確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標． (2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差． 這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分了．注意區(qū)別定積分與利用定積分計算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負或為零；而平面圖形的面積總是非負的． 2．已知變速運動方程，求在某段時間內(nèi)物體運動的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分．解這類問題需注意三點：(1)分清運動過程中的變化情況；(2)如果速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；(3)明確是求位移還是求路程，求位移可以正負抵消，求路程不能正負抵消． 3．利用定積分求變力做功問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間．求變力做功時，要注意單位，F(xiàn)(x)單位：N，x單位：m. 1．在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達式中，正確的有(　　) ③ ④ A．①③　　　　 B．②③ C．①④ D．③④ D　[①錯誤，S＝[f(x)－g(x)]dx； ②錯誤，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx； ③④正確．] 2．曲線y＝cos x與坐標軸所圍圖形的面積是(　　) A．2 B．3 C.　　　 D．4 3．一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)＝27－0.9t，則列車剎車后前進多少米才能停車(　　) A．405 B．540 C．810 D．945 A　[停車時v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30， ∴s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.] 4．設(shè)a＞0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 5．一物體在變力F(x)＝(N)的作用下沿坐標平面內(nèi)x軸的正方向由x＝8 m處運動到x＝18 m處，求力F(x)在這一過程中所做的功． [解]　由題意得力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在[8,18]上的定積分，從而 W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－＝(J)． 從而可得力F(x)在這一過程中所做的功為 J. - 8 -