第三章三角函數、三角恒等變換及解三角形第1課時任意角和弧度制及任意角的三角函數 了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義. 了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化. 理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義；了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數線表示任意角的正弦、余弦、正切 能進行角度與弧度的互化. 能判斷角所在的象限，會判斷半角和倍角所在的象限. 準確理解任意角的三角函數的定義，熟記特殊角的三角函數值，并能準確判斷三角函數值的符號1. (必修4P10習題9改編)小明從家步行到學校需要15 min，則這段時間內鐘表的分針走過的角度是_答案：90°解析：利用定義得分針是順時針走的，形成的角是負角又周角為360°，所以×1590°，即分針走過的角度是90°.2. (必修4P10習題4改編)若角的終邊與角的終邊相同，則在0，2)內終邊與角的終邊相同的角的集合為_(用列舉法表示)答案：解析：由題意2k(kZ)， k(kZ)由0<2，即0k<2知k<，kZ. k0或1.故在0，2)內終邊與角的終邊相同的角的集合為.3. (必修4P9例3改編)已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為_答案：6解析：設扇形的半徑為R，則R22， R2×42.而R21， R1， 扇形的周長為2R·R246.4. 已知角的終邊經過點P(8，m1)，且sin ，則m_答案：5解析：sin ，解得m5.5. 函數ylg(2cos x1)的定義域為_答案：(kZ)解析： 2cos x10， cos x.利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， x(kZ)1. 任意角(1) 角的概念的推廣 按旋轉方向不同分為正角、負角、零角 按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2) 終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成k·360°(kZ)(3) 弧度制 1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 規(guī)定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，|，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑 弧度與角度的換算：360°2 rad；180° rad；1° rad；1 rad度 弧長公式：l|r扇形面積公式：S扇形lr|r22. 任意角的三角函數(1) 任意角的三角函數的定義設P(x，y)是角終邊上任意一點，且|PO|r(r0)，則有sin ，cos ，tan ，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數(2) 三角函數在各象限內的正值口訣是：全正、正弦、正切、余弦(3) 特殊角的三角函數值角弧度數sin cos tan 0°001030°45°160°90°10/120°續(xù)表角弧度數sin cos tan 135°1150°180°010270°10/3. 三角函數線設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM垂直x軸于點M，則點M是點P在x軸上的正射影由三角函數的定義知，點P的坐標為(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan AT我們把有向線段OM，MP，AT叫做的余弦線、正弦線、正切線三角函數線備課札記,1象限角及終邊相同的角),1)(1) 已知2 017°，則與角終邊相同的最小正角為_，最大負角為_(2) (必修4P10習題12改編)已知角是第三象限角，試判斷： 是第幾象限角？ 是第幾象限角？ 2的終邊在什么位置？(1) 答案：143°217°解析：可以寫成6×360°143°的形式，則與終邊相同的角可以寫成k·360°143°(kZ)的形式當k0時，可得與角終邊相同的最小正角為143°，當k1時，可得最大負角為217°.(2) 解： 是第三象限角， 2k<<2k，kZ. 2k<<2k，kZ. 是第四象限角 k<<k，kZ， 是第二或第四象限角 4k2<2<4k3，kZ， 2的終邊在第一或第二象限或y軸非負半軸上變式訓練(必修4P10習題5改編)終邊在直線yx上的角的集合可表示為_答案：解析：直線yx 經過第一象限、第三象限，直線的傾斜角為，則終邊在該直線上的角的集合為x|xk，kZ,2三角函數的定義),2)(1) 點P是始邊與x軸的正半軸重合、頂點在原點的角的終邊上的一點，若|OP|2，60°，則點P的坐標是_；(2) (2017·泰州模擬)已知角的終邊過點P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為_答案：(1) (1，)(2) 解析：(1) 設點P的坐標為(x，y)，由三角函數的定義，得sin 60°，cos 60°，所以x2cos 60°1，y2sin 60°，故點P的坐標為(1，)(2) r， cos ， m0， ，即m.變式訓練(2017·無錫期末)已知角的終邊與單位圓的交點為P，則sin ·tan _答案：解析：由OP2y21，得y2，y±.當y時，sin ，tan ，此時sin ·tan .當y時，sin ，tan ，此時sin ·tan .,3三角函數的符號及判定),3)點A(sin 2 017°，cos(2 017°)位于第_象限答案：三解析：因為2 017°5×360°217°是第三象限角，所以sin 2 017°0.又2 017°6×360°143°是第二象限角，所以cos(2 017°)0，所以點A(sin 2 017°，cos(2 017°)位于第三象限變式訓練下列判斷正確的是_(填序號) sin 300°0； cos(305°)0； tan0； sin 100.答案：解析：300°360°60°，則300°是第四象限角；305°360°55°，則305°是第一象限角；8，則是第二象限角；因為310，所以10是第三象限角故sin 300°0，cos(305°)0，tan0，sin 100，正確,4弧長公式與扇形面積公式),4)扇形AOB的周長為8 cm.(1) 若這個扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大小；(2) 求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設扇形AOB的半徑為r cm，弧長為l cm，圓心角為，(1) 由題意可得解得或 或6.(2) 2rl8， S扇lrl·2r·×4(cm2)，當且僅當2rl，即2時，扇形面積取得最大值， r2， 弦長AB2×2sin 14sin 1(cm)已知扇形的周長是4 cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數是_；扇形的圓心角所對的弦長為_cm.答案： 22sin 1解析：設此扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，則2rl4，面積Srlr(42r)r22r(r1)21，故當r1時S最大，這時l42r2 cm.從而2.扇形的圓心角所對的弦長為2sin 1 cm.1. 若tan(45°)<0，則sin ，cos ，sin 2，cos 2中一定為負數的是_答案：cos 2解析： tan(45°)<0， k·180°135°<<k·180°45°， k·360°270°<2<k·360°90°， cos 2<0.2. (2017·蘇州期末)已知角的終邊經過點P(4，m)，且sin ，則m_答案：3解析：sin ，解得m3.3. 若k·360°，m·360°(k，mZ)，則下列關于角與的終邊的位置關系的說法正確的是_(填序號) 重合； 關于原點對稱； 關于x軸對稱； 關于y軸對稱答案：解析：顯然角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，而與的終邊關于x軸對稱，故說法正確的是.4. 已知一扇形的圓心角為 (>0)，扇形所在圓的半徑為R.(1) 若90°，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2) 若扇形的周長是一定值C cm(C>0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：(1) 設弧長為l，弓形面積為S弓，又90°，R10，則l×105(cm)，S弓S扇S三角形×5×10×1022550 (cm2)(2) 扇形周長C2Rl(2RR)cm， Rcm， S扇·R2···.當且僅當24，即2時，扇形面積有最大值 cm2.1. 給出下列命題： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的內角是第一象限角或第二象限角； 不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關； 若sin sin ，則與的終邊相同； 若cos <0，則是第二或第三象限的角其中正確的命題是_(填序號)答案：解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故錯；當三角形的內角為90°時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；正弦值相等，但角的終邊不一定相同，故錯；當時，cos 1<0，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯綜上可知，只有正確2. 已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2_答案：解析：取終邊上一點(a，2a)(a0)，根據任意角的三角函數定義，可得cos ±，故cos 22cos21.3. (2017·揚州一中月考改編)已知角的終邊與單位圓x2y21交于點P，則cos _答案：解析： r1， cos .4. (2017·蘇北四市期末)已知角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實數a的取值范圍是_答案：(2，3解析： cos 0，sin >0， 角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上 2<a3.1. (1) 要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再根據條件解方程或不等式(2) 已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義來求相關問題若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角2. 已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解的三角函數值3. 弧度制下的扇形的弧長與面積公式，比角度制下的扇形的弧長與面積公式要簡潔得多，用起來也方便得多因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長與面積公式4. 利用單位圓解有關三角函數的不等式(組)的一般步驟(1) 用邊界值定出角的終邊位置(2) 根據不等式(組)定出角的范圍(3) 求交集，找單位圓中公共的部分(4) 寫出角的表達式第2課時同角三角函數的基本關系式與 誘導公式(對應學生用書(文)、(理)5152頁) 會運用同角三角函數進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明. 能運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，會運用它們進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明 理解同角三角函數的基本關系式：sin2cos21，tan . 理解正弦、余弦、正切的誘導公式2k(kZ)，±，±1. 已知sin ，且，則tan _答案：解析：由sin ，得cos ，則tan .2. (必修4P20練習2改編)sin(585°)的值為_答案：解析：sin(585°)sin 585°sin(360°225°)sin 225°sin(180°45°)sin 45°.3. (2017·蘇北四市摸底)已知sin，則cos 的值為_答案：解析： sinsincos ， cos .4. (必修4P23習題11改編)已知tan 2，則_答案：1解析：因為tan 2，所以1.5. (必修4P21例4改編)若sin，則coscos2_答案：解析： sin ， sin， cos . cos21sin21sin21sin21. coscos2.1. 同角三角函數的基本關系(1) 平方關系：sin2cos21(2) 商數關系：tan_. 2. 誘導公式組數一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限k·±(kZ)與的三角函數關系的記憶規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限,1同角三角函數的基本關系式),1)(必修4P23習題20改編)已知<x<0，sin xcos x.(1) 求sin2xcos2x的值；(2) 求的值解：由sin xcos x，得12sin xcos x，則2sin xcos x. <x<0， sin x<0，cos x>0，即sin xcos x<0.則sin xcos x.(1) sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x)×.(2) 由得則tan x.即.變式訓練(2017·鹽城模擬)已知sin cos ，且<<，則cos sin 的值為_答案：解析： <<， cos <0，sin <0，且cos >sin ， cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12×， cos sin .,2)(必修4P23習題12(2)改編)化簡：()·()解：原式·()·()·若為第二象限角，則cos sin _答案：0解析：原式cos sin cos sin .因為是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.,2誘導公式及其運用),3)已知sin，則sinsin2的值為_答案：解析：由誘導公式得sin sin，sin2cos2，則sinsin2.變式訓練已知cosa(|a|1)，則cossin_答案：0解析：由題意知，coscoscosa.sinsincosa， cossin0.,3同角三角函數的基本關系與誘導公式的綜合應用),4)(1) 設tan(5)m，求的值；(2) 在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三個內角解：(1) 由tan(5)m，得tan m， .(2) 由已知得22得2cos2A1，即cos A±.() 當cos A時，cos B.又 A，B是三角形的內角， A，B， C(AB).() 當cos A時，cos B.又 A，B是三角形的內角， A，B，不合題意綜上知，A，B，C.變式訓練(1) (2017·江西聯考)已知tan()，且，求的值；(2) 在ABC中，若sin(3A)sin(B)，coscos(B)試判斷三角形的形狀解：(1) 由已知得tan ，.(2) 由題設條件，得sin Asin B，sin Acos B， sin Bcos B， tan B1. B(0，)， B， sin A×1.又A(0，)， A， C. ABC是等腰直角三角形1. 已知cos 31°a，則sin 239°·tan 149°的值是_答案：解析：sin 239°·tan 149°sin(270°31°)·tan(180°31°)(cos 31°)·(tan 31°)sin 31°.2. 已知為銳角，且tan()30，則sin 的值是_答案：解析：(解法1)由tan()30，得tan 3，即3，sin 3cos ，所以sin29(1sin2)，10sin29，sin2.因為為銳角，所以sin .(解法2)因為為銳角，且tan()30，所以tan 30即tan 3.在如圖所示的直角三角形中，令A，BC3，則AC1，所以AB，故sin .3. (2017·南通調研)已知sin cos ，則sin cos _答案：解析： sin cos ， 2sin cos ， (sin cos )212sin cos ， sin cos 或. ， sin <cos ， sin cos .4. 已知2，則(cos 3)(sin 1)的值為_答案：4解析：因為2，所以sin242cos 2，即cos22cos 30，解得cos 1或cos 3(舍去)由cos 1得sin 0，故(cos 3)(sin 1)4.1. 已知sin(3)2sin，則sin cos _答案：解析：因為sin(3)sin()2sin，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .2. 已知cos(80°)k，那么tan 100°_答案：解析：因為cos(80°)cos 80°k，所以sin 80°.所以tan 100°tan 80°.3. (2017·鹽城調研)若3sin cos 0，則_答案：解析： 3sin cos 0，且cos 0， tan ， .4. (2017·南京、鹽城模擬)已知cos，且<<，則cos_答案：解析：因為，所以cossinsin.因為，所以.又cos0，所以，所以sin.1. 利用平方關系解決問題時，要注意開方運算結果的符號，需要根據角的范圍進行確定2. 應熟練應用誘導公式誘導公式的應用原則是：負化正、大化小、化到銳角為終了誘導公式的應用是求任意角的三角函數值，其一般步驟： 負角變正角，再寫成2k(kZ)，02的形式； 轉化為銳角3. 同角三角函數基本關系可用于統(tǒng)一函數；誘導公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進行三角函數的求值、化簡和證明，如已知一個角的某一三角函數值，求這個角的其他三角函數值時，要特別注意平方關系的使用4. 三角求值、化簡是三角函數的基礎，在求值與化簡時，常用方法有： 弦切互化法：主要利用公式tan x進行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等類型可進行弦化切 和積轉換法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關系進行變形、轉化 注意變角技巧：如為或2等 巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan5. 在ABC中常用到以下結論：sin(AB)sin(C)sin C，cos(AB)cos(C)cos C，tan(AB)tan(C)tan C，sinsincos，coscossin .備課札記第3課時三角函數的圖象和性質(對應學生用書(文)、(理)5355頁) 知道三角函數yAsin(x)，yAcos(x)的周期為T. 能根據圖象理解正弦函數、余弦函數在0，2上，正切函數在上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等). 會用“五點法”畫出yAsin(x)在一個周期上的簡圖，能由正弦曲線ysin x通過相位、周期和振幅變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象 了解三角函數的周期性. 能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，并能根據圖象理解正弦函數、余弦函數在0，2上，正切函數在上的性質. 了解三角函數 yAsin(x)的實際意義及其參數A，對函數圖象變化的影響1. (2017·南京期初)若函數f(x)sin(0)的最小正周期為，則f的值是_答案：解析：由題意，得，所以2，f(x)sin.因此fsinsin .2. 將函數f(x)2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位，得到函數yg(x)的圖象，則g(x)_答案：2sin解析：將函數f(x)2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位，得到函數g(x)2sin 22sin的圖象本題主要考查三角函數的圖象變換(平移變換)3. 已知函數y2cos x的定義域為，值域為a，b，則ba的值是_答案：3解析：因為x，所以cos x，所以y2cos x的值域為2，1，所以ba3.4. 函數f(x)sin的單調遞增區(qū)間為_答案：(kZ)解析：由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函數的單調遞增區(qū)間為(kZ)5. (必修4P45習題9改編)電流強度I(A)隨時間t(s)變化的函數IAsin(t)的部分圖象如圖所示，則當t s時，電流強度是_A.答案：5解析：由圖象知A10， 100. I10sin(100t).為五點中的第二個點， 100×. . I10sin(100t)，當t s時，I5 A.1. 周期函數的定義周期函數的概念：對于函數yf(x)，如果存在一個非零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(xT)f(x)都成立，那么稱yf(x)為周期函數；函數yAsin(x)和yAcos(x)的周期均為T；函數yAtan(x)的周期為T.2. 三角函數的圖象和性質三角函數ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域和最值1，1最大值：1最小值：11，1最大值：1最小值：1R無最值周期22奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱性關于原點對稱關于y軸對稱關于原點對稱單調區(qū)間在2k，2k(kZ)上單調遞增；在2k，2k(kZ)上單調遞減在2k，2k(kZ)上單調遞增；在2k，2k(kZ)上單調遞減在(k，k)(kZ)上單調遞增3. “五點法”作圖在確定正弦函數ysin x在0，2上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(0，0)，(，0)，(2，0)余弦函數呢？4. 函數 yAsin(x)的特征若函數yAsin(x) (A0，0，x(，)表示一個振動量時，則A叫做振幅，T叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相備課札記,1“五點法”與“變換法”作圖),1)(必修4P40練習7改編)已知函數f(x)2sin(x)(0)的周期為.(1) 用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(2) 說明函數f(x)的圖象可由ysin x的圖象經過怎樣的變換而得到解： T， ，即2. f(x)2sin.(1) 令X2x，則y2sin2sin X.列表如下：xX02ysin X01010y2sin02020圖象如圖：(2) (解法1)把ysin x的圖象上所有點向左平移個單位，得到y(tǒng)sin的圖象；再把ysin的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，得到y(tǒng)sin的圖象；最后把ysin的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象(解法2)將ysin x的圖象上每一點的橫坐標x變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)2sin的圖象已知f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1) 求和的值；(2) 在給定坐標系中作出函數f(x)在0，上的圖象；(3) 若f(x)>，求x的取值范圍解：(1) 周期T， 2. fcoscossin .又<<0， .(2) 由(1)得f(x)cos，列表如下：x02x0f(x)1010圖象如圖：(3) cos>， 2k<2x<2k， 2k<2x<2k， k<x<k，kZ， x的取值范圍是.,2三角函數的性質)已知函數f(x)sin1.(1) 求f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3) 求f(x)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心，使得它們到y(tǒng)軸的距離分別最小【思維導圖】【規(guī)范解答】解：(1) 函數f(x)的最小正周期為T.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當x時，2x.由正弦函數ysin x在上的圖象知，當2x，即x時，f(x)取最大值1；當2x，即x時，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在上的最大值為1，最小值為0.(3) 令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當k0時，直線x是所有對稱軸中最靠近y軸的令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當k0時，是所有對稱中心中最靠近y軸的，所以所求的對稱軸為直線x，對稱中心為.【精要點評】 對于三角函數f(x)Asin(x)的性質(定義域、單調性、對稱性、最值或值域等)問題，通常用換元的方法，令tx，將其轉化為函數yAsin t，再進行其性質的研究總結歸納解有關三角函數性質的問題，通常需先將函數轉化為f(x)Asin(x)的形式，再用研究復合函數的單調性、值域的方法利用正弦函數的圖象和性質來處理若<0，還需先利用誘導公式轉化為f(x)Asin(x)(>0)的形式，再將x看成整體，利用正弦函數ysin x的性質進行求解題組練透1. 將函數ysin 2x的圖象向左平移(0)個單位，若所得的圖象過點，則的最小值為_答案：解析：易知ysin 2(x)，即ysin(2x2) 圖象過點， sin， 22k或22k，kZ，即k或k，kZ. >0， 的最小值為.2. 設函數ysin(0x)，當且僅當x時，y取得最大值，則正數的值為_答案：2解析：當x時，令x，則正數2.3. 函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_答案：解析：由已知x，得2x，所以sin，故函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.4. 設函數f(x)2sin的最小正周期為，且滿足f(x)f(x)(1) 求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；(2) 當x時，試求yf的最值，并寫出取得最值時自變量x的值解：(1) 因為f(x)的最小正周期為，所以T，解得2.又f(x)f(x)，所以f(0)0，所以sin0.又|，所以，所以2，所以f(x)2sin 2x.則2x(kZ)，解得函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當x時，2x，yf2sin 22sin.當2x，即x時，f(x)取得最大值2；當2x，即x0時，f(x)取得最小值.,3根據圖象和性質確定函數yAsin(x)的解析式),3)設函數f(x)Asin(x)(A0，0，xR)的部分圖象如圖所示(1) 求函數yf(x)的解析式；(2) 當x時，求f(x)的取值范圍解：(1) 由圖象知，A2.又，0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，將點代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.所以f(x)2sin.(2) 當x時，x，所以sin，即f(x)，2變式訓練已知函數f(x)2sin(0，0)為偶函數，且函數yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1) 求f的值；(2) 將函數yf(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數yg(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)的單調遞減區(qū)間解：(1) f(x)為偶函數， k，kZ，解得k，kZ. 0， .由題意得2×，解得2.故f(x)2cos 2x，f2cos .(2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到f的圖象，所以g(x)f()2cos2cos.當2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時，g(x)單調遞減因此g(x)的單調遞減區(qū)間為4k，4k(kZ),4三角函數的應用),4)(必修4P42例2改編)如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計算時間(1) 將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數；(2) 點P第一次到達最高點大約需要多少時間？解：(1) 建立如圖所示的直角坐標系，設角是以Ox為始邊，OP0為終邊的角OP每秒鐘內所轉過的角為.則OP在t(s)內所轉過的角為t.由題意可知水輪逆時針轉動，得z4sin2.當t0時，z0，得sin ，即.故所求函數解析式為z4sin2.(2) 令z4sin26，得sin1.令t，得t4，故點P第一次到達最高點大約需要4 s.如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m，且60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面間的距離為h.(1) 求h與之間的函數解析式；(2) 設從OA開始轉動，經過t s后到達OB，求h與t之間的函數解析式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少解：(1) 以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系則以Ox為始邊，OB為終邊的角為，故點B的坐標為， h5.64.8sin.(2) 點A在圓上轉動的角速度是 rad/s，故t s轉過的弧度數為t， h5.64.8sin，t0，)到達最高點時，h10.4 m.由sin1，得t， t30 s， 纜車到達最高點時，用的最少時間為30 s.1. 已知函數f(x)2sin(x)的最小正周期為，且它的圖象過點，則的值為_答案：解析：f(x)2sin(x) 的最小正周期為，則2，所以f(x)2sin(2x)，它的圖象過點，則sin，故.2. 函數f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示若A，B兩點之間的距離AB5，則的值為_答案：解析：AB5，|yAyB|4，則|xAxB|3，則T6，則6，.3. 將函數ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個單位得到的圖象關于點對稱，則_答案：解析：由題意得平移以后的函數為ysin，因為圖象關于點對稱，所以2×k(kZ)，解得k(kZ)因為0<<，所以.4. 函數f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示(1) 求及圖中x0的值；(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1) 由圖可知，f(0)f(x0)，即cos ，cos(x0).又，x0>0，所以，x0.(2) 由(1)可知f(x)cos.因為x，所以x.所以當x0，即x時，f(x)取得最大值1；當x，即x時，f(x)取得最小值0.1. (2017·南師附中、淮陰中學、海門中學、天一中學四校聯考)將函數ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數yf(x)的圖象，若函數f(x)的圖象過原點，則_答案：解析：將函數ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數f(x)sinsin的圖象，若函數f(x)的圖象過原點，則f(0)sin0，k，kZ，k，kZ.又0<<，則.2. 若函數ysin(x)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則，的值分別是_答案：2，解析：由題圖可知，T2，所以2.又sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)而|<，所以.3. (2017·第三次全國大聯考江蘇卷)將函數f(x)sin(2x)的圖象向右平移(0<<)個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經過點P，則的值為_答案：解析：由題意，可得sin .因為，所以.因為g(x)sin，所以sin.又因為0，所以2，2，.4. 已知函數f(x)sin 2x2cos2xm在區(qū)間上的最大值為3，則(1) m_；(2) 當f(x)在a，b上至少含20個零點時，ba的最小值為_答案：(1) 0(2) 解析：(1) f(x) sin 2x2cos2xmsin 2x1cos 2xm2sin m1.因為0x，所以2x.所以sin1，f(x)max2m13m3， m0.(2) 由(1)得f(x)2sin1，周期T，在長為的閉區(qū)間內有2個或3個零點由2sin10，得sin，2x2k，kZ或2x2k，kZ，所以xk或xk，kZ.不妨設a，則當b9時，f(x)在區(qū)間a，b上恰有19個零點，當b9時恰有20個零點，此時ba的最小值為9.1. 求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角函數不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解2. 求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型： 形如yasin xbcos xc的三角函數化為yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)； 形如yasin2xbsin xc的三角函數，可先設sin xt，化為關于t的二次函數求值域(最值)； 形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數，可先設tsin x±cos x，化為關于t的二次函數求值域(最值)3. 對于形如yAsin(x)k函數的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)，可以通過換元的方法令tx，將其轉化為研究ysin t的性質4. 求函數yAsin(x)(A0，0)的解析式，常用的解題方法是待定系數法，由最高(低)點的縱坐標確定A，由周期確定，由適合解析式的點的坐標來確定，但由條件求得yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不惟一，只有限定的取值范圍，才能得出惟一解5. 由ysin x的圖象變換到y(tǒng)Asin(x)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個單位原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于x加減多少值備課札記第4課時兩角和與差的正弦、余弦和 正切公式(對應學生用書(文)、(理)5658頁)掌握兩角和與差的三角函數公式，能運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明 了解用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程. 能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、兩角和與差的正切公式，體會化歸思想的應用1. 設，若sin ，則cos_答案：解析： ，且sin ， cos . coscos cos sin sin××.2. (必修4P106練習4改編)sin 20°cos 10 °cos 160°sin 10°_答案：解析：sin 20°·cos 10°cos 160°·sin 10°sin 20°·cos 10°cos 20°·sin 10°sin 30°.3. (必修4P109練習8改編)函數ysin xcos x的值域是_答案：2，2解析：ysin xcos x2sin2，24. (必修4P118習題9改編)若，則(tan 1)·(tan 1)的值是_答案：2解析：(tan 1)(tan 1)tan tan tan tan 1tan tan tan()(1tan tan )1tan tan tan ·(1tan tan )12.5. (必修4P110例6改編)已知sin()，sin()，則的值為_答案：解析：(解法1)從而×5.(解法2)設x， 5， 5. x，即 .1. 兩角差的余弦公式推導過程設單位圓上兩點P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，則P1OP2(>)向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，則a·b|a|b|cos()cos()，由向量數量積的坐標表示，可知a·bcos cos sin sin ，因而cos()cos cos sin sin .2. 公式之間的關系及導出過程3. 公式cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；tan()；tan()4. asin bcos sin()，其中cos ，sin ，tan .的終邊所在象限由a，b的符號來決定5. 常用公式變形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)；sin cos sin；sin cos sin.備課札記,1利用角的和、差公式進行化簡、求值或證明),1)(1) 求值：_；(2) (原創(chuàng))化簡：tan(18°)·tan(18°)tan(12°)_答案：(1) (2) 1解析：(1) 原式.(2) 原式tan(18°)·tan(18°)tan(12°)tan(18°)·tan(12°)tan(18°)(12°)1tan(18°)tan(12°)tan(18°)·tan(12°)1tan(18°)·tan(12°)1.變式訓練(1) (改編題)求4(cos 24°cos 26°cos 66°sin 26°)tan 40°的值；(2) 化簡：sin(75°)cos(45°)cos(15°)解：(1) 原式4(sin 66°cos 26°cos 66°sin 26°)tan 40°4sin 40°.(2) 原式sin(45°)30°cos(45°)·cos(45°)30°sin(45°)cos(45°)cos(45°)cos(45°)sin(45°)0.,2給值求值、求角問題)典型示例,2)已知0，tan7，cos().(1) 求s