第八節(jié)函數(shù)與方程考綱傳真結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)1函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：把函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)解函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)：若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2101函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)，xD在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()(4)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)內(nèi)有零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函數(shù)，yln x是非奇非偶函數(shù)，yx21是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn)，只有ycos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn)4函數(shù)f(x)3xx2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故選D.5函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)f(x)的圖像為直線，由題意可得f(1)f(1)0，(3a1)·(1a)0，解得a1，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間1若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A2設(shè)x0是方程的解，則x0所在的范圍是()ABCDB構(gòu)造函數(shù)f(x)，因?yàn)閒(0)10，f 0，f 0.所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)在上存在零點(diǎn)，即x0，故選B3設(shè)函數(shù)y1x3與y2的圖像的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_(1,2)設(shè)f(x)x3，則f(x)在R上是增函數(shù)，又f(1)1210，f(2)8170，則x0(1,2)4已知x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)x為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)，則g(x0)_.2f(2)ln 210，f(3)ln 30，則x0(2,3)，故g(x0)2.規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)0易解時(shí)，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)(3)圖像法：通過(guò)畫函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷判斷函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)的個(gè)數(shù)【例1】(1)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4(2)(2019·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：定義域?yàn)镽；任意xR，都有f(x2)f(x)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)|x|1.則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A5 B6C7 D8(3)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_(1)B(2)A(3)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)(2)由f(x2)f(x)知函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出y1f(x)與y2log2|x|的圖像，如圖所示由圖像可得方程解的個(gè)數(shù)為5，故選A(3)當(dāng)x0時(shí)，作函數(shù)yln x和yx22x的圖像，由圖知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，令x220，解得x(正根舍去)所以在(，0上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上知f(x)有3個(gè)零點(diǎn)規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn) (1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0(2)(2019·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)B(2)(1，)(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)法二：函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)(2)問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)yf(x)與yxa的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖所示)，結(jié)合函數(shù)圖像可知a1.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用考法1根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)【例2】若函數(shù)f(x)log2xxk(kZ)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn)，則k_.4函數(shù)f(x)log2xxk在(2,3)上單調(diào)遞增，所以f(2)·f(3)0，即(log222k)·(log233k)0，整理得(3k)(log233k)0，解得3k3log23，而43log235，因?yàn)閗Z，故k4.考法2已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】(2019·青島模擬)已知函數(shù)f(x)其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_(3，)作出f(x)的圖像如圖所示當(dāng)x>m時(shí)，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則有4mm2<m，即m23m>0.又m>0，解得m>3.規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程根，求參數(shù)問(wèn)題的三種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解 (1)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)(1)C(2)D(1)函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上是增加的，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3，故選C(2)函數(shù)g(x)f(x)xm的零點(diǎn)就是方程f(x)mx的根，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和ymx的圖像，如圖所示，由圖像知，當(dāng)m0或m1時(shí)方程f(x)mx有根，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn)，故選D.1(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn)，則a()ABCD1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a.故選C法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a>0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C2(2014·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf (x)3ax26x，當(dāng)a3時(shí)，f (x)9x26x3x(3x2)，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f (x)>0；x時(shí)，f (x)<0；x時(shí)，f (x)>0，注意f(0)1，f >0，則f(x)的大致圖像如圖(1)所示圖(1)不符合題意，排除A、C當(dāng)a時(shí)，f (x)4x26x2x(2x3)，則當(dāng)x時(shí)，f (x)<0，x時(shí)，f (x)>0，x(0，)時(shí)，f (x)<0，注意f(0)1，f ，則f(x)的大致圖像如圖(2)所示圖(2)不符合題意，排除D.- 9 -