2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學(xué)案 文(含解析)北師大版
第八節(jié)函數(shù)與方程考綱傳真結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)1函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義:把函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系:方程f(x)0有實(shí)數(shù)解函數(shù)f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理):若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)yf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2101函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的曲線,則“f(a)·f(b)0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是單調(diào)函數(shù),且f(a)·f(b)0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x),xD在區(qū)間(a,b)D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)0()(3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0,則函數(shù)f(x)在a,b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()(4)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3Bf(1)30,f(0)10,f(x)在(1,0)內(nèi)有零點(diǎn),又f(x)為增函數(shù),函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)3下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函數(shù),yln x是非奇非偶函數(shù),yx21是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn),只有ycos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn)4函數(shù)f(x)3xx2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,1)D(1,0)Df(2),f(1),f(0)1,f(1)2,f(2)5,f(0)f(1)0,f(1)f(2)0,f(2)f(1)0,f(1)f(0)0,故選D.5函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)f(x)的圖像為直線,由題意可得f(1)f(1)0,(3a1)·(1a)0,解得a1,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間1若abc,則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a,b)和(b,c)內(nèi)B(,a)和(a,b)內(nèi)C(b,c)和(c,)內(nèi)D(,a)和(c,)內(nèi)Aabc,f(a)(ab)(ac)0,f(b)(bc)(ba)0,f(c)(ca)(cb)0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn),因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),故選A2設(shè)x0是方程的解,則x0所在的范圍是()ABCDB構(gòu)造函數(shù)f(x),因?yàn)閒(0)10,f 0,f 0.所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)在上存在零點(diǎn),即x0,故選B3設(shè)函數(shù)y1x3與y2的圖像的交點(diǎn)為(x0,y0),若x0(n,n1),nN,則x0所在的區(qū)間是_(1,2)設(shè)f(x)x3,則f(x)在R上是增函數(shù),又f(1)1210,f(2)8170,則x0(1,2)4已知x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),g(x)x為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn),則g(x0)_.2f(2)ln 210,f(3)ln 30,則x0(2,3),故g(x0)2.規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)0易解時(shí),可先解方程,然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法:利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖像是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)0.若有,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)(3)圖像法:通過(guò)畫函數(shù)圖像,觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷判斷函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)的個(gè)數(shù)【例1】(1)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4(2)(2019·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)滿足:定義域?yàn)镽;任意xR,都有f(x2)f(x);當(dāng)x1,1時(shí),f(x)|x|1.則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A5 B6C7 D8(3)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_(1)B(2)A(3)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10,可得|log0.5x|.設(shè)g(x)|log0.5x|,h(x),在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn),因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)(2)由f(x2)f(x)知函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù),在同一直角坐標(biāo)系中,畫出y1f(x)與y2log2|x|的圖像,如圖所示由圖像可得方程解的個(gè)數(shù)為5,故選A(3)當(dāng)x0時(shí),作函數(shù)yln x和yx22x的圖像,由圖知,當(dāng)x0時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x0時(shí),令x220,解得x(正根舍去)所以在(,0上有一個(gè)零點(diǎn),綜上知f(x)有3個(gè)零點(diǎn)規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)方程法:令f(x)0,如果能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn) (1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0(2)(2019·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)B(2)(1,)(1)法一:由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)法二:函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,由圖像知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)(2)問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)yf(x)與yxa的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖所示),結(jié)合函數(shù)圖像可知a1.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用考法1根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)【例2】若函數(shù)f(x)log2xxk(kZ)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn),則k_.4函數(shù)f(x)log2xxk在(2,3)上單調(diào)遞增,所以f(2)·f(3)0,即(log222k)·(log233k)0,整理得(3k)(log233k)0,解得3k3log23,而43log235,因?yàn)閗Z,故k4.考法2已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】(2019·青島模擬)已知函數(shù)f(x)其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是_(3,)作出f(x)的圖像如圖所示當(dāng)x>m時(shí),x22mx4m(xm)24mm2,要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根,則有4mm2<m,即m23m>0.又m>0,解得m>3.規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程根,求參數(shù)問(wèn)題的三種方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解 (1)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0,1)B(,1)C(,1(2,)D(,0(1,)(1)C(2)D(1)函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上是增加的,又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)0,(a)(41a)0,即a(a3)0,0a3,故選C(2)函數(shù)g(x)f(x)xm的零點(diǎn)就是方程f(x)mx的根,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和ymx的圖像,如圖所示,由圖像知,當(dāng)m0或m1時(shí)方程f(x)mx有根,即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn),故選D.1(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn),則a()ABCD1C法一:f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1,令tx1,則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t),函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0,2a10,解得a.故選C法二:f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a>0,則a(ex1ex1)2a,要使f(x)有唯一零點(diǎn),則必有2a1,即a.若a0,則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C2(2014·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是()A(2,)B(,2)C(1,)D(,1)Bf (x)3ax26x,當(dāng)a3時(shí),f (x)9x26x3x(3x2),則當(dāng)x(,0)時(shí),f (x)>0;x時(shí),f (x)<0;x時(shí),f (x)>0,注意f(0)1,f >0,則f(x)的大致圖像如圖(1)所示圖(1)不符合題意,排除A、C當(dāng)a時(shí),f (x)4x26x2x(2x3),則當(dāng)x時(shí),f (x)<0,x時(shí),f (x)>0,x(0,)時(shí),f (x)<0,注意f(0)1,f ,則f(x)的大致圖像如圖(2)所示圖(2)不符合題意,排除D.- 9 -